{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 wzorem 𝑎𝑛=\n(7𝑝-1)𝑛3+5𝑝𝑛-3\n(𝑝+1)𝑛3+𝑛2+𝑝 ,\ngdzie 𝑝 jest liczbą rzeczywistą dodatnią.\nOblicz wartość 𝑝, dla której granica ciągu (𝑎𝑛) jest równa 4\n3 .\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po\nprzecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nCiąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorem a_n = (7p-1)n³ + 5pn - 3 / (p+1)n³ + n² + p gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa {4/3}. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":"4","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n4\n1\n1\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: cyfry 4, 1, 1 (czyli \\(p = \\frac{7}{17} \\approx 0{,}411 \\))\n\n## Sposób 1 - Granica ilorazu wielomianów (podział przez \\(n^3\\))\n\n**Krok 1: Wyznaczamy granicę ciągu.**\n\nMamy:\n\\[a_n = \\frac{(7p-1)n^3 + 5pn - 3}{(p+1)n^3 + n^2 + p}\\]\n\nLicznik i mianownik to wielomiany stopnia 3 w zmiennej \\(n\\). Dzielimy licznik i mianownik przez \\(n^3\\) (najwyższa potęga):\n\n\\[a_n = \\frac{(7p-1) + \\dfrac{5p}{n^2} - \\dfrac{3}{n^3}}{(p+1) + \\dfrac{1}{n} + \\dfrac{p}{n^3}}\\]\n\n**Krok 2: Przechodzimy do granicy.**\n\nGdy \\(n \\to \\infty\\), wszystkie ułamki z \\(n\\) w mianowniku dążą do zera:\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\frac{7p - 1 + 0 - 0}{p + 1 + 0 + 0} = \\frac{7p - 1}{p + 1}\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy do \\(\\frac{4}{3}\\).**\n\n\\[\\frac{7p - 1}{p + 1} = \\frac{4}{3}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[3(7p - 1) = 4(p + 1)\\]\n\\[21p - 3 = 4p + 4\\]\n\\[17p = 7\\]\n\\[\\boxed{p = \\frac{7}{17}}\\]\n\n**Krok 4: Rozwinięcie dziesiętne.**\n\nWykonujemy dzielenie \\(7 \\div 17\\) sposobem pisemnym:\n\n\\[7{,}000000\\ldots \\div 17\\]\n\n| Reszta | Cyfra |\n| 70 ÷ 17 = **4**, reszta 2 | **4** |\n| 20 ÷ 17 = **1**, reszta 3 | **1** |\n| 30 ÷ 17 = **1**, reszta 13 | **1** |\n| 130 ÷ 17 = 7, reszta 11 | 7… |\n\nZatem:\n\\[p = \\frac{7}{17} = 0{,}\\mathbf{411}7647\\ldots\\]\n\nPierwsze trzy cyfry po przecinku: **4, 1, 1** ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy \\(p = \\frac{7}{17}\\). Sprawdzamy, czy granica wynosi rzeczywiście \\(\\frac{4}{3}\\):\n\n\\[\\frac{7p - 1}{p + 1} = \\frac{7 \\cdot \\frac{7}{17} - 1}{\\frac{7}{17} + 1} = \\frac{\\frac{49}{17} - \\frac{17}{17}}{\\frac{7}{17} + \\frac{17}{17}} = \\frac{\\frac{32}{17}}{\\frac{24}{17}} = \\frac{32}{24} = \\frac{4}{3} \\checkmark\\]\n\nDodatkowo sprawdzamy warunek \\(p > 0\\):\n\\[p = \\frac{7}{17} > 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy wyłącznie z podstawowej własności granic ciągów wymiernych - dzielenia przez \\(n^k\\) (najwyższa potęga), co jest standardową techniką obliczeniową omawianą na lekcjach, nieujętą wprost w karcie wzorów.\n\nMożna jednak skojarzyć z **Działem 8 (Ciągi, s. 9-11)** - granice ciągów:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} q^n = 0 \\text{ dla } q \\in (-1,1)\\]\nco jest analogicznym \"znikaniem\" wyrazów przy \\(n \\to \\infty\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów dzieli tylko licznik (lub tylko mianownik) przez \\(n^3\\), zamiast obu jednocześnie - wtedy granica wychodzi źle. Zawsze dzielimy **i licznik, i mianownik** przez tę samą potęgę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wielomianach różnych stopni granica jest 0 lub \\(\\pm\\infty\\) - tu oba mają stopień 3, więc granica jest skończona i równa ilorazowi współczynników wiodących. Można od razu napisać \\(\\frac{7p-1}{p+1}\\) bez pełnego rachunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego - nie o samą wartość \\(p\\). Nie zapomnij wykonać dzielenia \\(7 \\div 17\\) i odczytać cyfr 4, 1, 1.\n\n### Sposób 1. (dzielenie przez najwyższą potęgę)\n\nZ karty wzorów (dział V Ciągi), granica ciągu wymiernego: granicą jest iloraz współczynników przy najwyższej potędze \\(n\\) (jeśli są tego samego stopnia).\n\nStopień licznika = 3 (współczynnik \\(7p-1\\)), stopień mianownika = 3 (współczynnik \\(p+1\\)).\n\n\\(\\lim_{n\\to\\infty} a_{n} = \\dfrac{7p-1}{p+1} = \\dfrac{4}{3}\\)\n\nRozwiązujemy: \\(3(7p-1) = 4(p+1)\\)\n\n\\(21p - 3 = 4p + 4\\)\n\n\\(17p = 7\\)\n\n\\(p = \\dfrac{7}{17}\\)\n\n**Krok 2. Rozwinięcie dziesiętne.**\n\n\\(\\dfrac{7}{17} = 0{,}411764\\ldots\\)\n\nPierwsze trzy cyfry po przecinku: **4, 1, 1**.\n\n### Sposób 2. (dzielenie licznika i mianownika przez \\(n^3\\))\n\n\\(a_{n} = \\dfrac{(7p-1) + \\dfrac{5p}{n^2} - \\dfrac{3}{n^3}}{(p+1) + \\dfrac{1}{n} + \\dfrac{p}{n^3}}\\)\n\nSkładniki z \\(n\\) w mianowniku dążą do 0, więc:\n\\(\\lim_{n\\to\\infty} a_{n} = \\dfrac{7p-1}{p+1}\\)\n\nDalej jak w sposobie 1: \\(p = \\dfrac{7}{17}\\).\n\nWykonujemy dzielenie pisemne: \\(7 \\div 17 = 0{,}411764\\ldots\\)\n\nCyfry: **4, 1, 1**.\n\n**Trik:** Dla \\(\\dfrac{a n^k + \\ldots}{b n^k + \\ldots}\\) granica to \\(\\dfrac{a}{b}\\). Pamiętaj też o dzieleniu pisemnym \\(7:17\\): \\(70:17 = 4\\) r. 2, \\(20:17 = 1\\) r. 3, \\(30:17 = 1\\) r. 13.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-2) 2 pkt za całkowicie poprawną odpowiedź **4 1 1**. 0 pkt za niepełną, niepoprawną lub brak odpowiedzi.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 wzorem 𝑎𝑛=<br>(7𝑝-1)𝑛3+5𝑝𝑛-3<br>(𝑝+1)𝑛3+𝑛2+𝑝 ,<br>gdzie 𝑝 jest liczbą rzeczywistą dodatnią.<br>Oblicz wartość 𝑝, dla której granica ciągu (𝑎𝑛) jest równa 4<br>3 .<br>W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po<br>przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorem a_n = (7p-1)n³ + 5pn - 3 / (p+1)n³ + n² + p gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa {4/3}. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>4<br>1<br>1<br>ZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)<br>Uwagi ogólne:</p>\n<ol><li>Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki</li></ol>\n<p>zadania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie</li></ol>\n<p>upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę<br>i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może<br>otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do<br>uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: cyfry 4, 1, 1 (czyli \\(p = \\frac{7}{17} \\approx 0{,}411 \\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Granica ilorazu wielomianów (podział przez \\(n^3\\))</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy granicę ciągu.</strong></p>\n<p>Mamy:<br>\\[a_n = \\frac{(7p-1)n^3 + 5pn - 3}{(p+1)n^3 + n^2 + p}\\]</p>\n<p>Licznik i mianownik to wielomiany stopnia 3 w zmiennej \\(n\\). Dzielimy licznik i mianownik przez \\(n^3\\) (najwyższa potęga):</p>\n<p>\\[a_n = \\frac{(7p-1) + \\dfrac{5p}{n^2} - \\dfrac{3}{n^3}}{(p+1) + \\dfrac{1}{n} + \\dfrac{p}{n^3}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Przechodzimy do granicy.</strong></p>\n<p>Gdy \\(n \\to \\infty\\), wszystkie ułamki z \\(n\\) w mianowniku dążą do zera:</p>\n<p>\\[\\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\frac{7p - 1 + 0 - 0}{p + 1 + 0 + 0} = \\frac{7p - 1}{p + 1}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Przyrównujemy do \\(\\frac{4}{3}\\).</strong></p>\n<p>\\[\\frac{7p - 1}{p + 1} = \\frac{4}{3}\\]</p>\n<p>Mnożymy na krzyż:<br>\\[3(7p - 1) = 4(p + 1)\\]<br>\\[21p - 3 = 4p + 4\\]<br>\\[17p = 7\\]<br>\\[\\boxed{p = \\frac{7}{17}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Rozwinięcie dziesiętne.</strong></p>\n<p>Wykonujemy dzielenie \\(7 \\div 17\\) sposobem pisemnym:</p>\n<p>\\[7{,}000000\\ldots \\div 17\\]</p>\n<p>| Reszta | Cyfra |<br>| 70 ÷ 17 = <strong>4</strong>, reszta 2 | <strong>4</strong> |<br>| 20 ÷ 17 = <strong>1</strong>, reszta 3 | <strong>1</strong> |<br>| 30 ÷ 17 = <strong>1</strong>, reszta 13 | <strong>1</strong> |<br>| 130 ÷ 17 = 7, reszta 11 | 7… |</p>\n<p>Zatem:<br>\\[p = \\frac{7}{17} = 0{,}\\mathbf{411}7647\\ldots\\]</p>\n<p>Pierwsze trzy cyfry po przecinku: <strong>4, 1, 1</strong> ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Mamy \\(p = \\frac{7}{17}\\). Sprawdzamy, czy granica wynosi rzeczywiście \\(\\frac{4}{3}\\):</p>\n<p>\\[\\frac{7p - 1}{p + 1} = \\frac{7 \\cdot \\frac{7}{17} - 1}{\\frac{7}{17} + 1} = \\frac{\\frac{49}{17} - \\frac{17}{17}}{\\frac{7}{17} + \\frac{17}{17}} = \\frac{\\frac{32}{17}}{\\frac{24}{17}} = \\frac{32}{24} = \\frac{4}{3} \\checkmark\\]</p>\n<p>Dodatkowo sprawdzamy warunek \\(p &gt; 0\\):<br>\\[p = \\frac{7}{17} &gt; 0 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy wyłącznie z podstawowej własności granic ciągów wymiernych - dzielenia przez \\(n^k\\) (najwyższa potęga), co jest standardową techniką obliczeniową omawianą na lekcjach, nieujętą wprost w karcie wzorów.</p>\n<p>Można jednak skojarzyć z <strong>Działem 8 (Ciągi, s. 9-11)</strong> - granice ciągów:<br>\\[\\lim_{n \\to \\infty} q^n = 0 \\text{ dla } q \\in (-1,1)\\]<br>co jest analogicznym &quot;znikaniem&quot; wyrazów przy \\(n \\to \\infty\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wielu uczniów dzieli tylko licznik (lub tylko mianownik) przez \\(n^3\\), zamiast obu jednocześnie - wtedy granica wychodzi źle. Zawsze dzielimy <strong>i licznik, i mianownik</strong> przez tę samą potęgę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wielomianach różnych stopni granica jest 0 lub \\(\\pm\\infty\\) - tu oba mają stopień 3, więc granica jest skończona i równa ilorazowi współczynników wiodących. Można od razu napisać \\(\\frac{7p-1}{p+1}\\) bez pełnego rachunku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego - nie o samą wartość \\(p\\). Nie zapomnij wykonać dzielenia \\(7 \\div 17\\) i odczytać cyfr 4, 1, 1.</blockquote>\n<h5>Sposób 1. (dzielenie przez najwyższą potęgę)</h5>\n<p>Z karty wzorów (dział V Ciągi), granica ciągu wymiernego: granicą jest iloraz współczynników przy najwyższej potędze \\(n\\) (jeśli są tego samego stopnia).</p>\n<p>Stopień licznika = 3 (współczynnik \\(7p-1\\)), stopień mianownika = 3 (współczynnik \\(p+1\\)).</p>\n<p>\\(\\lim_{n\\to\\infty} a_{n} = \\dfrac{7p-1}{p+1} = \\dfrac{4}{3}\\)</p>\n<p>Rozwiązujemy: \\(3(7p-1) = 4(p+1)\\)</p>\n<p>\\(21p - 3 = 4p + 4\\)</p>\n<p>\\(17p = 7\\)</p>\n<p>\\(p = \\dfrac{7}{17}\\)</p>\n<p><strong>Krok 2. Rozwinięcie dziesiętne.</strong></p>\n<p>\\(\\dfrac{7}{17} = 0{,}411764\\ldots\\)</p>\n<p>Pierwsze trzy cyfry po przecinku: <strong>4, 1, 1</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2. (dzielenie licznika i mianownika przez \\(n^3\\))</h5>\n<p>\\(a_{n} = \\dfrac{(7p-1) + \\dfrac{5p}{n^2} - \\dfrac{3}{n^3}}{(p+1) + \\dfrac{1}{n} + \\dfrac{p}{n^3}}\\)</p>\n<p>Składniki z \\(n\\) w mianowniku dążą do 0, więc:<br>\\(\\lim_{n\\to\\infty} a_{n} = \\dfrac{7p-1}{p+1}\\)</p>\n<p>Dalej jak w sposobie 1: \\(p = \\dfrac{7}{17}\\).</p>\n<p>Wykonujemy dzielenie pisemne: \\(7 \\div 17 = 0{,}411764\\ldots\\)</p>\n<p>Cyfry: <strong>4, 1, 1</strong>.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla \\(\\dfrac{a n^k + \\ldots}{b n^k + \\ldots}\\) granica to \\(\\dfrac{a}{b}\\). Pamiętaj też o dzieleniu pisemnym \\(7:17\\): \\(70:17 = 4\\) r. 2, \\(20:17 = 1\\) r. 3, \\(30:17 = 1\\) r. 13.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>(0-2) 2 pkt za całkowicie poprawną odpowiedź <strong>4 1 1</strong>. 0 pkt za niepełną, niepoprawną lub brak odpowiedzi.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>4 1 1</p>"}]}