{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że\n2𝑥> 𝑦, spełniona jest nierówność\n7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x>y, spełniona jest nierówność 7x³ + 4x^2y ≥ y³ + 2xy² - x³.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzastosuje wzór na różnicę sześcianów i zapisze nierówność w postaci\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0 lub\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥-2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦)\nALBO\nzastosuje wzór na sześcian różnicy i zapisze nierówność w postaci\n(2𝑥-𝑦)3 + 8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0 lub\n(2𝑥-𝑦)3 ≥-8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦),\nALBO\nprzekształci nierówność do postaci\n2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(4𝑥2 -𝑦2) ≥0 lub\n2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) ≥-𝑦(4𝑥2 -𝑦2), lub\n4𝑥2(2𝑥+ 𝑦) -𝑦2(2𝑥+ 𝑦) ≥0, lub\n4𝑥2(2𝑥+ 𝑦) ≥𝑦2(2𝑥+ 𝑦).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przekształci nierówność do postaci (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie - zdający musi spełnić warunek określony\nw zasadach oceniania za 2 punkty oraz uzasadnić, że (2𝑥-𝑦) > 0, powołując się na\nzałożenie, oraz zapisać, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (różnica sześcianów)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 , korzystając ze\nwzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów:\n8𝑥3 -𝑦3 + 4𝑥2𝑦-2𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 4𝑥2𝑦-2𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 4𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy\n(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0\nZ założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej\ni nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że\nnierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.\nSposób 2. (sześcian różnicy)\nPrzekształcamy nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 do postaci\n8𝑥3 -𝑦3 -2𝑥𝑦2 + 4𝑥2𝑦≥0\nPonieważ (2𝑥-𝑦)3 = 8𝑥3 -𝑦3 -12𝑥2𝑦+ 6𝑥𝑦2, więc otrzymujemy\n8𝑥3 -𝑦3 -12𝑥2𝑦+ 6𝑥𝑦2 + 16𝑥2𝑦-8𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)3 + 16𝑥2𝑦-8𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)3 + 8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)[(2𝑥-𝑦)2 + 8𝑥𝑦] ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 -4𝑥𝑦+ 𝑦2 + 8𝑥𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0\nZ założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej\ni nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że\nnierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.\nSposób 3. (różnica kwadratów)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 , korzystając ze\nwzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:\n8𝑥3 -2𝑥𝑦2 + 4𝑥2𝑦-𝑦3 ≥0\n2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(4𝑥2 -𝑦2) ≥0\n(2𝑥+ 𝑦)(4𝑥2 -𝑦2) ≥0\n(2𝑥+ 𝑦)(2𝑥+ 𝑦)(2𝑥-𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0\nZ założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej\ni nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że\nnierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\nZadanie prosi o wykazanie nierówności - nie ma wyboru ABCD. Pokażemy, że lewa strona minus prawa strona jest **zawsze nieujemna** przy warunku \\(2x > y\\).\n\n## Sposób 1 - Faktoryzacja różnicy stron\n\n**Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę.**\n\nNierówność do udowodnienia:\n\\[7x^3 + 4x^2y \\geq y^3 + 2xy^2 - x^3\\]\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą:\n\\[7x^3 + 4x^2y - y^3 - 2xy^2 + x^3 \\geq 0\\]\n\\[8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 \\geq 0\\]\n\n**Krok 2: Grupujemy i faktoryzujemy.**\n\nGrupujemy wyrazy parami:\n\\[8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 = 4x^2(2x + y) - y^2(2x + y)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik \\((2x + y)\\):\n\\[= (4x^2 - y^2)(2x + y)\\]\n\nStosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) z \\(a = 2x,\\; b = y\\):\n\\[= (2x - y)(2x + y)(2x + y) = (2x - y)(2x + y)^2\\]\n\n**Krok 3: Oceniamy znak.**\n\nMamy zatem równość:\n\\[\\boxed{8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 = (2x - y)(2x + y)^2}\\]\n\nOceniamy każdy czynnik:\n- \\((2x + y)^2 \\geq 0\\) - kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny,\n- \\((2x - y) > 0\\) - wprost z założenia \\(2x > y\\).\n\nZatem:\n\\[(2x - y)(2x + y)^2 > 0 \\cdot 0 = 0\\]\n\n(dokładniej: iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest nieujemny).\n\n**Stąd wynika, że \\((2x-y)(2x+y)^2 \\geq 0\\), co kończy dowód.** ∎\n\n> Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\((2x+y)^2 = 0\\), czyli \\(y = -2x\\).\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(t = 2x - y\\)\n\n**Pomysł:** skoro warunek \\(2x > y\\) mówi o różnicy \\(2x - y\\), podstawiamy \\(t = 2x - y\\), gdzie \\(t > 0\\).\n\nZ poprzedniego sposobu wiemy już, że wyrażenie po lewej stronie równa się:\n\\[(2x - y)(2x + y)^2\\]\n\nOznaczmy:\n\\[t = 2x - y > 0, \\qquad s = 2x + y\\]\n\n(Nie nakładamy żadnego warunku na \\(s\\) - może być dowolne.)\n\nWyrażenie przyjmuje postać:\n\\[t \\cdot s^2\\]\n\nPonieważ \\(t > 0\\) i \\(s^2 \\geq 0\\), mamy:\n\\[t \\cdot s^2 \\geq 0\\]\n\nco kończy dowód alternatywną drogą. Zaletą tego zapisu jest **widoczna struktura**: warunek \\(2x > y\\) dostarcza dokładnie tego czynnika dodatniego, który \"ratuje\" wyrażenie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru do rozłożenia czynnika \\(4x^2 - y^2\\) (przy \\(a = 2x,\\; b = y\\)).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba dowodu \"w przód\" (mnożenie obu stron przez coś, podstawianie liczb) - to nie jest dowód ogólny! Dowód musi działać dla **wszystkich** \\(x, y\\) z \\(2x > y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu łatwo się pomylić w znakach. Sprawdź: \\(-2xy^2 - y^3 = -y^2(2x + y)\\) - minus przed \\(y^2\\) nie znika, bo \\((-y^2)(2x+y) = -2xy^2 - y^3\\) ✓.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać \"\\((2x+y)^2 \\geq 0\\) i \\(2x - y > 0\\), więc jest OK\" - trzeba **pokazać** najpierw, że całe wyrażenie **równa się** \\((2x-y)(2x+y)^2\\). Faza faktoryzacji jest sednem dowodu.\n\n### Sposób 1. (różnica sześcianów)\n\nPrzekształcamy równoważnie nierówność \\(7x^{3}+4x^{2}y \\geq y^{3}+2xy^{2}-x^{3}\\), przenosząc wszystko na lewą stronę:\n\n\\(8x^{3}-y^{3}+4x^{2}y-2xy^{2} \\geq 0\\)\n\nZ karty wzorów (dział II): \\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\). Dla \\(a=2x,\\; b=y\\):\n\n\\(8x^3-y^3 = (2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\\)\n\nZ pozostałej części wyłączamy \\(2xy\\):\n\n\\(4x^{2}y-2xy^{2} = 2xy(2x-y)\\)\n\nZatem:\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2}) + 2xy(2x-y) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2}+2xy) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+4xy+y^{2}) \\geq 0\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na kwadrat sumy (karta wzorów, dział II): \\((2x+y)^2 = 4x^2+4xy+y^2\\).\n\n\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)\n\n**Uzasadnienie:**\n- Z założenia \\(2x > y\\), więc \\(2x - y > 0\\).\n- Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \\((2x+y)^{2} \\geq 0\\).\n- Iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest nieujemny.\n\nZatem \\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\), co oznacza, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla każdej pary \\((x,y)\\) spełniającej warunek \\(2x > y\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2. (sześcian różnicy)\n\nPrzekształcamy nierówność do postaci: \\(8x^{3}-y^{3}-2xy^{2}+4x^{2}y \\geq 0\\).\n\nZ karty wzorów: \\((2x-y)^3 = 8x^3 - 12x^2 y + 6xy^2 - y^3\\).\n\nZatem \\(8x^3 - y^3 = (2x-y)^3 + 12x^2 y - 6xy^2\\).\n\nPodstawiamy:\n\n\\((2x-y)^{3} + 12x^{2}y-6xy^{2}+4x^{2}y-2xy^{2} \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)^{3}+16x^{2}y-8xy^{2} \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)^{3}+8xy(2x-y) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)\\left[(2x-y)^{2}+8xy\\right] \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}-4xy+y^{2}+8xy) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+4xy+y^{2}) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)\n\nUzasadnienie jak w sposobie 1. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3. (różnica kwadratów)\n\n\\(8x^3 - 2xy^2 + 4x^2 y - y^3 \\geq 0\\)\n\nGrupujemy: \\(2x(4x^2 - y^2) + y(4x^2 - y^2) \\geq 0\\)\n\n\\((2x+y)(4x^2 - y^2) \\geq 0\\)\n\n\\((2x+y)(2x+y)(2x-y) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)\n\n**Trik:** Przy dowodach nierówności z wielomianów trzeciego stopnia sprawdzaj, czy da się sprowadzić do postaci \\((\\text{czynnik znany z założenia})\\cdot(\\text{kwadrat}) \\geq 0\\). Tu mnożnik \\(2x-y > 0\\) wraz z kwadratem \\((2x+y)^2 \\geq 0\\) daje natychmiastowy dowód.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-3)\n- **1 pkt**: zastosowanie wzoru na różnicę sześcianów / sześcian różnicy / różnicę kwadratów i zapisanie nierówności w odpowiedniej postaci pośredniej.\n- **2 pkt**: przekształcenie do postaci \\((2x-y)(2x+y)^2 \\geq 0\\).\n- **3 pkt**: pełne rozumowanie - uzasadnienie \\((2x-y) > 0\\) z założenia oraz \\((2x+y)^2 \\geq 0\\) jako kwadratu liczby rzeczywistej.\n\n**UWAGA:** Sprawdzenie prawdziwości nierówności tylko dla wybranych wartości x i y = **0 punktów** za całe rozwiązanie!","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że
2𝑥> 𝑦, spełniona jest nierówność
7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
6.
Maks. liczba pkt
2
3
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x>y, spełniona jest nierówność 7x³ + 4x^2y ≥ y³ + 2xy² - x³.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
R2.1) używa wzorów skróconego mnożenia
na (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
zastosuje wzór na różnicę sześcianów i zapisze nierówność w postaci
(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0 lub
(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥-2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦)
ALBO
zastosuje wzór na sześcian różnicy i zapisze nierówność w postaci
(2𝑥-𝑦)3 + 8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0 lub
(2𝑥-𝑦)3 ≥-8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦),
ALBO
przekształci nierówność do postaci
2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(4𝑥2 -𝑦2) ≥0 lub
2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) ≥-𝑦(4𝑥2 -𝑦2), lub
4𝑥2(2𝑥+ 𝑦) -𝑦2(2𝑥+ 𝑦) ≥0, lub
4𝑥2(2𝑥+ 𝑦) ≥𝑦2(2𝑥+ 𝑦).
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przekształci nierówność do postaci (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie - zdający musi spełnić warunek określony
w zasadach oceniania za 2 punkty oraz uzasadnić, że (2𝑥-𝑦) > 0, powołując się na
założenie, oraz zapisać, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (różnica sześcianów)
Przekształcamy równoważnie nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 , korzystając ze
wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów:
8𝑥3 -𝑦3 + 4𝑥2𝑦-2𝑥𝑦2 ≥0
(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 4𝑥2𝑦-2𝑥𝑦2 ≥0
(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0
(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 4𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy
(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0
Z założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.
Zatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej
i nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że
nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.
Sposób 2. (sześcian różnicy)
Przekształcamy nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 do postaci
8𝑥3 -𝑦3 -2𝑥𝑦2 + 4𝑥2𝑦≥0
Ponieważ (2𝑥-𝑦)3 = 8𝑥3 -𝑦3 -12𝑥2𝑦+ 6𝑥𝑦2, więc otrzymujemy
8𝑥3 -𝑦3 -12𝑥2𝑦+ 6𝑥𝑦2 + 16𝑥2𝑦-8𝑥𝑦2 ≥0
(2𝑥-𝑦)3 + 16𝑥2𝑦-8𝑥𝑦2 ≥0
(2𝑥-𝑦)3 + 8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0
(2𝑥-𝑦)[(2𝑥-𝑦)2 + 8𝑥𝑦] ≥0
(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 -4𝑥𝑦+ 𝑦2 + 8𝑥𝑦) ≥0
(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0
Z założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.
Zatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej
i nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że
nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.
Sposób 3. (różnica kwadratów)
Przekształcamy równoważnie nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 , korzystając ze
wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
8𝑥3 -2𝑥𝑦2 + 4𝑥2𝑦-𝑦3 ≥0
2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(4𝑥2 -𝑦2) ≥0
(2𝑥+ 𝑦)(4𝑥2 -𝑦2) ≥0
(2𝑥+ 𝑦)(2𝑥+ 𝑦)(2𝑥-𝑦) ≥0
(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0
Z założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.
Zatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej
i nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że
nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód

\n

Zadanie prosi o wykazanie nierówności - nie ma wyboru ABCD. Pokażemy, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze nieujemna przy warunku \\(2x > y\\).

\n

Sposób 1 - Faktoryzacja różnicy stron

\n

Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę.

\n

Nierówność do udowodnienia:
\\[7x^3 + 4x^2y \\geq y^3 + 2xy^2 - x^3\\]

\n

Przenosimy prawą stronę na lewą:
\\[7x^3 + 4x^2y - y^3 - 2xy^2 + x^3 \\geq 0\\]
\\[8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 \\geq 0\\]

\n

Krok 2: Grupujemy i faktoryzujemy.

\n

Grupujemy wyrazy parami:
\\[8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 = 4x^2(2x + y) - y^2(2x + y)\\]

\n

Wyciągamy wspólny czynnik \\((2x + y)\\):
\\[= (4x^2 - y^2)(2x + y)\\]

\n

Stosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) z \\(a = 2x,\\; b = y\\):
\\[= (2x - y)(2x + y)(2x + y) = (2x - y)(2x + y)^2\\]

\n

Krok 3: Oceniamy znak.

\n

Mamy zatem równość:
\\[\\boxed{8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 = (2x - y)(2x + y)^2}\\]

\n

Oceniamy każdy czynnik:

\n\n

Zatem:
\\[(2x - y)(2x + y)^2 > 0 \\cdot 0 = 0\\]

\n

(dokładniej: iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest nieujemny).

\n

Stąd wynika, że \\((2x-y)(2x+y)^2 \\geq 0\\), co kończy dowód. ∎

\n
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\((2x+y)^2 = 0\\), czyli \\(y = -2x\\).
\n

Sposób 2 - Podstawienie \\(t = 2x - y\\)

\n

Pomysł: skoro warunek \\(2x > y\\) mówi o różnicy \\(2x - y\\), podstawiamy \\(t = 2x - y\\), gdzie \\(t > 0\\).

\n

Z poprzedniego sposobu wiemy już, że wyrażenie po lewej stronie równa się:
\\[(2x - y)(2x + y)^2\\]

\n

Oznaczmy:
\\[t = 2x - y > 0, \\qquad s = 2x + y\\]

\n

(Nie nakładamy żadnego warunku na \\(s\\) - może być dowolne.)

\n

Wyrażenie przyjmuje postać:
\\[t \\cdot s^2\\]

\n

Ponieważ \\(t > 0\\) i \\(s^2 \\geq 0\\), mamy:
\\[t \\cdot s^2 \\geq 0\\]

\n

co kończy dowód alternatywną drogą. Zaletą tego zapisu jest widoczna struktura: warunek \\(2x > y\\) dostarcza dokładnie tego czynnika dodatniego, który "ratuje" wyrażenie.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]
Użyliśmy tego wzoru do rozłożenia czynnika \\(4x^2 - y^2\\) (przy \\(a = 2x,\\; b = y\\)).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to próba dowodu "w przód" (mnożenie obu stron przez coś, podstawianie liczb) - to nie jest dowód ogólny! Dowód musi działać dla wszystkich \\(x, y\\) z \\(2x > y\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu łatwo się pomylić w znakach. Sprawdź: \\(-2xy^2 - y^3 = -y^2(2x + y)\\) - minus przed \\(y^2\\) nie znika, bo \\((-y^2)(2x+y) = -2xy^2 - y^3\\) ✓.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy napisać "\\((2x+y)^2 \\geq 0\\) i \\(2x - y > 0\\), więc jest OK" - trzeba pokazać najpierw, że całe wyrażenie równa się \\((2x-y)(2x+y)^2\\). Faza faktoryzacji jest sednem dowodu.
\n
Sposób 1. (różnica sześcianów)
\n

Przekształcamy równoważnie nierówność \\(7x^{3}+4x^{2}y \\geq y^{3}+2xy^{2}-x^{3}\\), przenosząc wszystko na lewą stronę:

\n

\\(8x^{3}-y^{3}+4x^{2}y-2xy^{2} \\geq 0\\)

\n

Z karty wzorów (dział II): \\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\). Dla \\(a=2x,\\; b=y\\):

\n

\\(8x^3-y^3 = (2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\\)

\n

Z pozostałej części wyłączamy \\(2xy\\):

\n

\\(4x^{2}y-2xy^{2} = 2xy(2x-y)\\)

\n

Zatem:

\n

\\((2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2}) + 2xy(2x-y) \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2}+2xy) \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)(4x^{2}+4xy+y^{2}) \\geq 0\\)

\n

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy (karta wzorów, dział II): \\((2x+y)^2 = 4x^2+4xy+y^2\\).

\n

\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)

\n

Uzasadnienie:

\n\n

Zatem \\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\), co oznacza, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla każdej pary \\((x,y)\\) spełniającej warunek \\(2x > y\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2. (sześcian różnicy)
\n

Przekształcamy nierówność do postaci: \\(8x^{3}-y^{3}-2xy^{2}+4x^{2}y \\geq 0\\).

\n

Z karty wzorów: \\((2x-y)^3 = 8x^3 - 12x^2 y + 6xy^2 - y^3\\).

\n

Zatem \\(8x^3 - y^3 = (2x-y)^3 + 12x^2 y - 6xy^2\\).

\n

Podstawiamy:

\n

\\((2x-y)^{3} + 12x^{2}y-6xy^{2}+4x^{2}y-2xy^{2} \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)^{3}+16x^{2}y-8xy^{2} \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)^{3}+8xy(2x-y) \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)\\left[(2x-y)^{2}+8xy\\right] \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)(4x^{2}-4xy+y^{2}+8xy) \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)(4x^{2}+4xy+y^{2}) \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)

\n

Uzasadnienie jak w sposobie 1. \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 3. (różnica kwadratów)
\n

\\(8x^3 - 2xy^2 + 4x^2 y - y^3 \\geq 0\\)

\n

Grupujemy: \\(2x(4x^2 - y^2) + y(4x^2 - y^2) \\geq 0\\)

\n

\\((2x+y)(4x^2 - y^2) \\geq 0\\)

\n

\\((2x+y)(2x+y)(2x-y) \\geq 0\\)

\n

\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)

\n

Trik: Przy dowodach nierówności z wielomianów trzeciego stopnia sprawdzaj, czy da się sprowadzić do postaci \\((\\text{czynnik znany z założenia})\\cdot(\\text{kwadrat}) \\geq 0\\). Tu mnożnik \\(2x-y > 0\\) wraz z kwadratem \\((2x+y)^2 \\geq 0\\) daje natychmiastowy dowód.

\n
Uwagi o punktacji
\n

(0-3)

\n\n

UWAGA: Sprawdzenie prawdziwości nierówności tylko dla wybranych wartości x i y = 0 punktów za całe rozwiązanie!

"}]}