{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nRozwiąż równanie:\n|𝑥-3| = 2𝑥+ 11\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiąż równanie: |x-3| = 2x+11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.8) rozwiązuje równania […] z wartością\nbezwzględną […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze przedziały (-∞, 3) oraz ⟨3, +∞) i co najmniej w jednym z nich zapisze\npoprawną postać równania bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\nzapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i rozwiąże\noba otrzymane równania: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 ,\nALBO\nzapisze równanie (𝑥-3)2 = (2𝑥+ 11)2 i rozwiąże je: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 ,\nALBO\nzapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i zapisze\nzałożenie 2𝑥+ 11 ≥0,\nALBO\nnarysuje w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji 𝑓 i 𝑔 określonych\nwzorami 𝑓(𝑥) = |𝑥-3| oraz 𝑔(𝑥) = 2𝑥+ 11.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nw każdym z przedziałów (-∞, 3) oraz ⟨3, +∞) zapisze poprawną postać równania\n|𝑥-3| = 2𝑥+ 11 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej i w jednym z tych\nprzedziałów rozwiąże równanie\nALBO\nrozwiąże alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i sprawdzi\nrachunkowo, czy otrzymane liczby są rozwiązaniami równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11,\nale w trakcie rozwiązania popełni błędy rachunkowe,\nALBO\nzapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i założenie\n2𝑥+ 11 ≥0 oraz rozwiąże oba równania: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3,\nALBO\nzapisze odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔: 𝑥= -8\n3 .\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania i otrzyma prawidłowy wynik:\n𝑥= -8\n3, a w przypadku metody graficznej sprawdzi rachunkowo, że liczba (-8\n3) jest\nrozwiązaniem równania.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający opuści symbol wartości bezwzględnej, nie uwzględniając w żaden sposób\nprzedziału, w którym odpowiednie wyrażenie jest dodatnie/ujemne, i w rezultacie zapisze\njedynie alternatywę 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i na tym poprzestanie, to\notrzymuje 0 punktów.\n2. Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (-∞ , 3) oraz (3, +∞) i nie rozważa\nprzypadku 𝑥= 3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (-∞, 0) oraz ⟨0, +∞), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeśli zdający przedstawia dwa rozwiązania, z których jedno jest w pełni poprawne,\na drugie niekompletne/błędne, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRównanie zapisujemy w każdym z przedziałów (-∞, 3), ⟨3, +∞) bez użycia symbolu\nwartości bezwzględnej.\nGdy 𝑥∈(-∞, 3), to równanie ma postać 3 -𝑥= 2𝑥+ 11.\nRównanie 3 -𝑥= 2𝑥+ 11 ma jedno rozwiązanie 𝑥= -8\n3 . Jest to liczba należąca do\nprzedziału (-∞, 3), więc jest to jedno z rozwiązań równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.\nGdy 𝑥∈⟨3, +∞), to równanie ma postać 𝑥-3 = 2𝑥+ 11.\nRównanie 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 ma również jedno rozwiązanie 𝑥= -14. Ta liczba nie należy\njednak do przedziału ⟨3, +∞), więc nie jest rozwiązaniem równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.\nW rezultacie równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 ma jedno rozwiązanie: 𝑥= -8\n3 .\nSposób 2.\nJeżeli istnieją rozwiązania równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11, to są one rozwiązaniami\nalternatywy równań\n𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11\nStąd otrzymujemy 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 .\nSprawdzamy, która z tych liczb jest rozwiązaniem równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.\nGdy 𝑥= -14, to lewa strona równania jest równa | -14 -3| = 17, natomiast prawa\nstrona jest równa 2 ⋅(-14) + 11 = -17. Zatem liczba (-14) nie jest rozwiązaniem\nrównania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nGdy 𝑥= -8\n3 , to lewa strona równania jest równa |-8\n3 -3| = 17\n3 , natomiast prawa strona\njest równa 2 ⋅(-8\n3) + 11 = 17\n3 . Zatem liczba (-8\n3) jest rozwiązaniem równania.\nW rezultacie równanie ma jedno rozwiązanie: 𝑥= -8\n3 .\nSposób 3.\nGdy 2𝑥+ 11 < 0, czyli 𝑥< -11\n2 , to równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 jest sprzeczne, gdyż\nlewa jego strona jest nieujemna, a prawa ujemna.\nGdy 2𝑥+ 11 ≥0, czyli 𝑥≥-11\n2 , to równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 jest równoważne\nalternatywie równań\n𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11\nStąd otrzymujemy 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 .\nTylko druga z tych liczb jest nie mniejsza od (-11\n2 ). Zatem równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11\nma tylko jedno rozwiązanie: 𝑥= -8\n3 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej (podział na przypadki)\n\nKorzystamy z definicji: \\(|A| = A\\) gdy \\(A \\geq 0\\), oraz \\(|A| = -A\\) gdy \\(A < 0\\).\n\n**Warunek wstępny** - prawa strona musi być nieujemna (bo wartość bezwzględna jest zawsze \\(\\geq 0\\)):\n\\[2x + 11 \\geq 0 \\implies x \\geq -\\frac{11}{2}\\]\n\nPamiętaj o tym - każde rozwiązanie musimy sprawdzić pod tym kątem.\n\n**Przypadek 1:** \\(x - 3 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq 3\\)\n\nWtedy \\(|x-3| = x-3\\), więc:\n\\[x - 3 = 2x + 11\\]\n\\[x - 2x = 11 + 3\\]\n\\[-x = 14\\]\n\\[x = -14\\]\n\nSprawdzenie: czy \\(x = -14\\) spełnia warunek \\(x \\geq 3\\)?\n\n**Nie** - sprzeczność. Brak rozwiązania w tym przypadku.\n\n**Przypadek 2:** \\(x - 3 < 0\\), czyli \\(x < 3\\)\n\nWtedy \\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\\), więc:\n\\[-x + 3 = 2x + 11\\]\n\\[3 - 11 = 2x + x\\]\n\\[-8 = 3x\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{8}{3}}\\]\n\nSprawdzenie: czy \\(x = -\\dfrac{8}{3} \\approx -2{,}67\\) spełnia warunek \\(x < 3\\)?\n\n**Tak** ✓\n\n**Weryfikacja w oryginalnym równaniu:**\n\\[|{-\\tfrac{8}{3} - 3}| = |{-\\tfrac{8}{3} - \\tfrac{9}{3}}| = \\left|-\\frac{17}{3}\\right| = \\frac{17}{3}\\]\n\\[2 \\cdot \\left(-\\frac{8}{3}\\right) + 11 = -\\frac{16}{3} + \\frac{33}{3} = \\frac{17}{3} \\checkmark\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna + weryfikacja algebraiczna\n\nInterpretacja: \\(|x - 3|\\) to **odległość punktu \\(x\\) od liczby \\(3\\)** na osi liczbowej.\n\nSzukamy takich \\(x\\), dla których ta odległość równa się wartości funkcji liniowej \\(2x+11\\).\n\nGeometrycznie: szukamy przecięcia wykresu \\(y = |x-3|\\) z prostą \\(y = 2x+11\\).\n\n- Dla \\(x < 3\\): wykres \\(|x-3|\\) to prosta o nachyleniu \\(-1\\) (wzór: \\(y = -x+3\\))\n- Prosta \\(y = 2x+11\\) ma nachylenie \\(+2\\)\n\nPrzecięcie dla \\(x < 3\\):\n\\[-x + 3 = 2x + 11 \\implies x = -\\frac{8}{3}\\]\n\nDla \\(x \\geq 3\\): wykres \\(|x-3|\\) to prosta o nachyleniu \\(+1\\), a \\(y=2x+11\\) ma większe nachylenie i już dla \\(x=3\\) wartość \\(2\\cdot3+11=17\\) jest większa niż \\(|3-3|=0\\), więc obie proste się rozchodzą - brak przecięcia.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nTo jest fundament całego rozwiązania - właśnie ta definicja pozwala rozbić równanie na dwa przypadki. Karta podaje też nierówności z \\(|\\cdot|\\), ale tutaj wystarczy sama definicja.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów zapomina sprawdzić, czy znalezione \\(x\\) spełnia warunek przypadku (tu: \\(x \\geq 3\\) lub \\(x < 3\\)). To podstawowy błąd - zawsze weryfikuj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawa strona równania \\(2x+11\\) musi być \\(\\geq 0\\), bo wartość bezwzględna nie może być ujemna. Gdyby obliczone \\(x\\) dało \\(2x+11 < 0\\), byłoby odrzucone - tu na szczęście tak nie jest.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Typowy błąd to pomyłka znaku przy usuwaniu wartości bezwzględnej w Przypadku 2 - pamiętaj, że \\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\\), NIE \\(x-3\\)!\n\n### Sposób 1. (rozbicie na przedziały)\n\n**Krok 1.** Z definicji wartości bezwzględnej:\n\\(|x-3| = \\begin{cases} 3-x, & x \\in (-\\infty, 3) \\\\ x-3, & x \\in \\langle 3, +\\infty) \\end{cases}\\)\n\n**Krok 2.** Przypadek \\(x \\in (-\\infty, 3)\\):\n\n\\(3 - x = 2x + 11\\)\n\n\\(-3x = 8\\), czyli \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\nSprawdzamy: \\(-\\dfrac{8}{3} \\approx -2{,}67 < 3\\) - należy do przedziału. \\(\\checkmark\\)\n\n**Krok 3.** Przypadek \\(x \\in \\langle 3, +\\infty)\\):\n\n\\(x - 3 = 2x + 11\\)\n\n\\(-x = 14\\), czyli \\(x = -14\\).\n\nSprawdzamy: \\(-14 < 3\\) - NIE należy do przedziału \\(\\langle 3, +\\infty)\\). Odrzucamy.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n### Sposób 2. (alternatywa równań)\n\nJeśli istnieją rozwiązania równania \\(|x-3| = 2x+11\\), to spełniają one jedną z alternatyw:\n\n\\(x - 3 = 2x + 11\\) lub \\(x - 3 = -(2x+11)\\)\n\nStąd \\(x = -14\\) lub \\(3x = -8\\), czyli \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n**Warunek:** Prawa strona \\(2x+11 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\), bo \\(|x-3| \\geq 0\\).\n\nSprawdzamy:\n- \\(x = -14\\): \\(2 \\cdot (-14) + 11 = -17 < 0\\). Odrzucamy.\n- \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\): \\(2 \\cdot \\left(-\\dfrac{8}{3}\\right) + 11 = -\\dfrac{16}{3} + \\dfrac{33}{3} = \\dfrac{17}{3} > 0\\). \\(\\checkmark\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n### Sposób 3. (podniesienie do kwadratu)\n\nWarunek: \\(2x+11 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\).\n\n\\((x-3)^2 = (2x+11)^2\\)\n\n\\(x^2 - 6x + 9 = 4x^2 + 44x + 121\\)\n\n\\(3x^2 + 50x + 112 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 2500 - 1344 = 1156,\\; \\sqrt{\\Delta} = 34\\)\n\n\\(x = \\dfrac{-50 \\pm 34}{6}\\): \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) lub \\(x = -14\\).\n\nTylko \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) spełnia warunek \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n**Trik:** Najszybciej: zauważ że \\(|x-3| \\geq 0\\) implikuje \\(2x+11 \\geq 0\\). To od razu eliminuje błędne pierwiastki. Sprawdzanie warunku jest kluczowe!\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-3)\n- **1 pkt**: zapisanie przedziałów \\((-\\infty, 3)\\) oraz \\(\\langle 3, +\\infty)\\) i poprawnej postaci równania w co najmniej jednym; LUB alternatywa \\(x-3=2x+11\\) lub \\(x-3=-2x-11\\) i rozwiązanie obu; LUB równanie \\((x-3)^2 = (2x+11)^2\\) z rozwiązaniami.\n- **2 pkt**: zapisanie poprawnej postaci równania w każdym z przedziałów i rozwiązanie w jednym; LUB rozwiązanie alternatywy i sprawdzenie rachunkowe.\n- **3 pkt**: metoda poprawna + wynik \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) + sprawdzenie.\n\n**UWAGA:** Opuszczenie symbolu wartości bezwzględnej bez rozpatrzenia przedziałów = **0 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"bezwgledna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Rozwiąż równanie:<br>|𝑥-3| = 2𝑥+ 11</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>7.<br>Maks. liczba pkt<br>3<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Rozwiąż równanie: |x-3| = 2x+11</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>R3.8) rozwiązuje równania […] z wartością<br>bezwzględną […].<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy:<br>zapisze przedziały (-∞, 3) oraz ⟨3, +∞) i co najmniej w jednym z nich zapisze<br>poprawną postać równania bez użycia symbolu wartości bezwzględnej<br>ALBO<br>zapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i rozwiąże<br>oba otrzymane równania: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8<br>3 ,<br>ALBO<br>zapisze równanie (𝑥-3)2 = (2𝑥+ 11)2 i rozwiąże je: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8<br>3 ,<br>ALBO<br>zapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i zapisze<br>założenie 2𝑥+ 11 ≥0,<br>ALBO<br>narysuje w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji 𝑓 i 𝑔 określonych<br>wzorami 𝑓(𝑥) = |𝑥-3| oraz 𝑔(𝑥) = 2𝑥+ 11.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy:<br>w każdym z przedziałów (-∞, 3) oraz ⟨3, +∞) zapisze poprawną postać równania<br>|𝑥-3| = 2𝑥+ 11 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej i w jednym z tych<br>przedziałów rozwiąże równanie<br>ALBO<br>rozwiąże alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i sprawdzi<br>rachunkowo, czy otrzymane liczby są rozwiązaniami równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11,<br>ale w trakcie rozwiązania popełni błędy rachunkowe,<br>ALBO<br>zapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i założenie<br>2𝑥+ 11 ≥0 oraz rozwiąże oba równania: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8<br>3,<br>ALBO<br>zapisze odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔: 𝑥= -8<br>3 .<br>Zdający otrzymuje 3 pkt<br>gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania i otrzyma prawidłowy wynik:<br>𝑥= -8<br>3, a w przypadku metody graficznej sprawdzi rachunkowo, że liczba (-8</p>\n<ol><li>jest</li></ol>\n<p>rozwiązaniem równania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeśli zdający opuści symbol wartości bezwzględnej, nie uwzględniając w żaden sposób</li></ol>\n<p>przedziału, w którym odpowiednie wyrażenie jest dodatnie/ujemne, i w rezultacie zapisze<br>jedynie alternatywę 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i na tym poprzestanie, to<br>otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (-∞ , 3) oraz (3, +∞) i nie rozważa</li></ol>\n<p>przypadku 𝑥= 3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (-∞, 0) oraz ⟨0, +∞), to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia dwa rozwiązania, z których jedno jest w pełni poprawne,</li></ol>\n<p>a drugie niekompletne/błędne, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Równanie zapisujemy w każdym z przedziałów (-∞, 3), ⟨3, +∞) bez użycia symbolu<br>wartości bezwzględnej.<br>Gdy 𝑥∈(-∞, 3), to równanie ma postać 3 -𝑥= 2𝑥+ 11.<br>Równanie 3 -𝑥= 2𝑥+ 11 ma jedno rozwiązanie 𝑥= -8<br>3 . Jest to liczba należąca do<br>przedziału (-∞, 3), więc jest to jedno z rozwiązań równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.<br>Gdy 𝑥∈⟨3, +∞), to równanie ma postać 𝑥-3 = 2𝑥+ 11.<br>Równanie 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 ma również jedno rozwiązanie 𝑥= -14. Ta liczba nie należy<br>jednak do przedziału ⟨3, +∞), więc nie jest rozwiązaniem równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.<br>W rezultacie równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 ma jedno rozwiązanie: 𝑥= -8<br>3 .<br>Sposób 2.<br>Jeżeli istnieją rozwiązania równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11, to są one rozwiązaniami<br>alternatywy równań<br>𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11<br>Stąd otrzymujemy 𝑥= -14 lub 𝑥= -8<br>3 .<br>Sprawdzamy, która z tych liczb jest rozwiązaniem równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.<br>Gdy 𝑥= -14, to lewa strona równania jest równa | -14 -3| = 17, natomiast prawa<br>strona jest równa 2 ⋅(-14) + 11 = -17. Zatem liczba (-14) nie jest rozwiązaniem<br>równania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Gdy 𝑥= -8<br>3 , to lewa strona równania jest równa |-8<br>3 -3| = 17<br>3 , natomiast prawa strona<br>jest równa 2 ⋅(-8</p>\n<ol><li>+ 11 = 17</li></ol>\n<p>3 . Zatem liczba (-8</p>\n<ol><li>jest rozwiązaniem równania.</li></ol>\n<p>W rezultacie równanie ma jedno rozwiązanie: 𝑥= -8<br>3 .<br>Sposób 3.<br>Gdy 2𝑥+ 11 &lt; 0, czyli 𝑥&lt; -11<br>2 , to równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 jest sprzeczne, gdyż<br>lewa jego strona jest nieujemna, a prawa ujemna.<br>Gdy 2𝑥+ 11 ≥0, czyli 𝑥≥-11<br>2 , to równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 jest równoważne<br>alternatywie równań<br>𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11<br>Stąd otrzymujemy 𝑥= -14 lub 𝑥= -8<br>3 .<br>Tylko druga z tych liczb jest nie mniejsza od (-11<br>2 ). Zatem równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11<br>ma tylko jedno rozwiązanie: 𝑥= -8<br>3 .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej (podział na przypadki)</h4>\n<p>Korzystamy z definicji: \\(|A| = A\\) gdy \\(A \\geq 0\\), oraz \\(|A| = -A\\) gdy \\(A &lt; 0\\).</p>\n<p><strong>Warunek wstępny</strong> - prawa strona musi być nieujemna (bo wartość bezwzględna jest zawsze \\(\\geq 0\\)):<br>\\[2x + 11 \\geq 0 \\implies x \\geq -\\frac{11}{2}\\]</p>\n<p>Pamiętaj o tym - każde rozwiązanie musimy sprawdzić pod tym kątem.</p>\n<p><strong>Przypadek 1:</strong> \\(x - 3 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq 3\\)</p>\n<p>Wtedy \\(|x-3| = x-3\\), więc:<br>\\[x - 3 = 2x + 11\\]<br>\\[x - 2x = 11 + 3\\]<br>\\[-x = 14\\]<br>\\[x = -14\\]</p>\n<p>Sprawdzenie: czy \\(x = -14\\) spełnia warunek \\(x \\geq 3\\)?</p>\n<p><strong>Nie</strong> - sprzeczność. Brak rozwiązania w tym przypadku.</p>\n<p><strong>Przypadek 2:</strong> \\(x - 3 &lt; 0\\), czyli \\(x &lt; 3\\)</p>\n<p>Wtedy \\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\\), więc:<br>\\[-x + 3 = 2x + 11\\]<br>\\[3 - 11 = 2x + x\\]<br>\\[-8 = 3x\\]<br>\\[\\boxed{x = -\\frac{8}{3}}\\]</p>\n<p>Sprawdzenie: czy \\(x = -\\dfrac{8}{3} \\approx -2{,}67\\) spełnia warunek \\(x &lt; 3\\)?</p>\n<p><strong>Tak</strong> ✓</p>\n<p><strong>Weryfikacja w oryginalnym równaniu:</strong><br>\\[|{-\\tfrac{8}{3} - 3}| = |{-\\tfrac{8}{3} - \\tfrac{9}{3}}| = \\left|-\\frac{17}{3}\\right| = \\frac{17}{3}\\]<br>\\[2 \\cdot \\left(-\\frac{8}{3}\\right) + 11 = -\\frac{16}{3} + \\frac{33}{3} = \\frac{17}{3} \\checkmark\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Interpretacja geometryczna + weryfikacja algebraiczna</h4>\n<p>Interpretacja: \\(|x - 3|\\) to <strong>odległość punktu \\(x\\) od liczby \\(3\\)</strong> na osi liczbowej.</p>\n<p>Szukamy takich \\(x\\), dla których ta odległość równa się wartości funkcji liniowej \\(2x+11\\).</p>\n<p>Geometrycznie: szukamy przecięcia wykresu \\(y = |x-3|\\) z prostą \\(y = 2x+11\\).</p>\n<ul><li>Dla \\(x &lt; 3\\): wykres \\(|x-3|\\) to prosta o nachyleniu \\(-1\\) (wzór: \\(y = -x+3\\))</li><li>Prosta \\(y = 2x+11\\) ma nachylenie \\(+2\\)</li></ul>\n<p>Przecięcie dla \\(x &lt; 3\\):<br>\\[-x + 3 = 2x + 11 \\implies x = -\\frac{8}{3}\\]</p>\n<p>Dla \\(x \\geq 3\\): wykres \\(|x-3|\\) to prosta o nachyleniu \\(+1\\), a \\(y=2x+11\\) ma większe nachylenie i już dla \\(x=3\\) wartość \\(2\\cdot3+11=17\\) jest większa niż \\(|3-3|=0\\), więc obie proste się rozchodzą - brak przecięcia.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)</strong> - definicja:<br>\\[|x| = \\begin{cases} x &amp; \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x &amp; \\text{dla } x &lt; 0 \\end{cases}\\]</p>\n<p>To jest fundament całego rozwiązania - właśnie ta definicja pozwala rozbić równanie na dwa przypadki. Karta podaje też nierówności z \\(|\\cdot|\\), ale tutaj wystarczy sama definicja.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wielu uczniów zapomina sprawdzić, czy znalezione \\(x\\) spełnia warunek przypadku (tu: \\(x \\geq 3\\) lub \\(x &lt; 3\\)). To podstawowy błąd - zawsze weryfikuj!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prawa strona równania \\(2x+11\\) musi być \\(\\geq 0\\), bo wartość bezwzględna nie może być ujemna. Gdyby obliczone \\(x\\) dało \\(2x+11 &lt; 0\\), byłoby odrzucone - tu na szczęście tak nie jest.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Typowy błąd to pomyłka znaku przy usuwaniu wartości bezwzględnej w Przypadku 2 - pamiętaj, że \\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\\), NIE \\(x-3\\)!</blockquote>\n<h5>Sposób 1. (rozbicie na przedziały)</h5>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Z definicji wartości bezwzględnej:<br>\\(|x-3| = \\begin{cases} 3-x, &amp; x \\in (-\\infty, 3) \\\\ x-3, &amp; x \\in \\langle 3, +\\infty) \\end{cases}\\)</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Przypadek \\(x \\in (-\\infty, 3)\\):</p>\n<p>\\(3 - x = 2x + 11\\)</p>\n<p>\\(-3x = 8\\), czyli \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).</p>\n<p>Sprawdzamy: \\(-\\dfrac{8}{3} \\approx -2{,}67 &lt; 3\\) - należy do przedziału. \\(\\checkmark\\)</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Przypadek \\(x \\in \\langle 3, +\\infty)\\):</p>\n<p>\\(x - 3 = 2x + 11\\)</p>\n<p>\\(-x = 14\\), czyli \\(x = -14\\).</p>\n<p>Sprawdzamy: \\(-14 &lt; 3\\) - NIE należy do przedziału \\(\\langle 3, +\\infty)\\). Odrzucamy.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2. (alternatywa równań)</h5>\n<p>Jeśli istnieją rozwiązania równania \\(|x-3| = 2x+11\\), to spełniają one jedną z alternatyw:</p>\n<p>\\(x - 3 = 2x + 11\\) lub \\(x - 3 = -(2x+11)\\)</p>\n<p>Stąd \\(x = -14\\) lub \\(3x = -8\\), czyli \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).</p>\n<p><strong>Warunek:</strong> Prawa strona \\(2x+11 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\), bo \\(|x-3| \\geq 0\\).</p>\n<p>Sprawdzamy:</p>\n<ul><li>\\(x = -14\\): \\(2 \\cdot (-14) + 11 = -17 &lt; 0\\). Odrzucamy.</li><li>\\(x = -\\dfrac{8}{3}\\): \\(2 \\cdot \\left(-\\dfrac{8}{3}\\right) + 11 = -\\dfrac{16}{3} + \\dfrac{33}{3} = \\dfrac{17}{3} &gt; 0\\). \\(\\checkmark\\)</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 3. (podniesienie do kwadratu)</h5>\n<p>Warunek: \\(2x+11 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\).</p>\n<p>\\((x-3)^2 = (2x+11)^2\\)</p>\n<p>\\(x^2 - 6x + 9 = 4x^2 + 44x + 121\\)</p>\n<p>\\(3x^2 + 50x + 112 = 0\\)</p>\n<p>\\(\\Delta = 2500 - 1344 = 1156,\\; \\sqrt{\\Delta} = 34\\)</p>\n<p>\\(x = \\dfrac{-50 \\pm 34}{6}\\): \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) lub \\(x = -14\\).</p>\n<p>Tylko \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) spełnia warunek \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Najszybciej: zauważ że \\(|x-3| \\geq 0\\) implikuje \\(2x+11 \\geq 0\\). To od razu eliminuje błędne pierwiastki. Sprawdzanie warunku jest kluczowe!</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>(0-3)</p>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong>: zapisanie przedziałów \\((-\\infty, 3)\\) oraz \\(\\langle 3, +\\infty)\\) i poprawnej postaci równania w co najmniej jednym; LUB alternatywa \\(x-3=2x+11\\) lub \\(x-3=-2x-11\\) i rozwiązanie obu; LUB równanie \\((x-3)^2 = (2x+11)^2\\) z rozwiązaniami.</li><li><strong>2 pkt</strong>: zapisanie poprawnej postaci równania w każdym z przedziałów i rozwiązanie w jednym; LUB rozwiązanie alternatywy i sprawdzenie rachunkowe.</li><li><strong>3 pkt</strong>: metoda poprawna + wynik \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) + sprawdzenie.</li></ul>\n<p><strong>UWAGA:</strong> Opuszczenie symbolu wartości bezwzględnej bez rozpatrzenia przedziałów = <strong>0 pkt</strong>.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x = -\\dfrac{8}{3}$</p>"}]}