{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nReszta z dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -6𝑥2 -(5𝑚+ 1)𝑥-2𝑚 przez dwumian 𝑥+ 2\njest równa (-30).\nOblicz 𝑚 i dla wyznaczonej wartości 𝑚 rozwiąż nierówność 𝑊(𝑥) ≥0.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nReszta z dzielenia wielomianu W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)-2m przez dwumian x+2 jest równa (-30). Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)≥0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.4) stosuje twierdzenie o reszcie\nz dzielenia wielomianu przez dwumian 𝑥-𝑎;\nR3.6) rozwiązuje łatwe nierówności\nwielomianowe.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z niewiadomą 𝑚 wynikające z warunków zadania:\n4 ⋅(-2)3 -6 ⋅(-2)2 -(5𝑚+ 1) ⋅(-2) -2𝑚= -30\nALBO\nwyznaczy resztę z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥+ 2) i zapisze\nrównanie -2𝑚+ 2(5𝑚-27) = -30.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy 𝑚: 𝑚= 3.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy obliczy/poda wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6:\n𝑥1 = -1, 𝑥2 = -1\n2 , 𝑥3 = 3.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy rozwiąże nierówność 𝑊(𝑥) ≥0: 𝑥∈⟨-1, -1\n2 ⟩∪〈3, +∞〉.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje warunki zadania 𝑊(-2) = -30, ale popełnia błędy\nrachunkowe, zapisując równanie wynikające z tego warunku, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji warunków zadania, zapisując np. 𝑊(2) = -30,\nw konsekwencji którego zapisuje błędne równanie wynikające z tego warunku, lecz\notrzyma wielomian o trzech różnych pierwiastkach i konsekwentnie doprowadzi\nrozwiązanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający w wyniku błędów rachunkowych przekształci wielomian 𝑊 do postaci,\nw której otrzymany wielomian ma co najwyżej dwa pierwiastki (jeden dwukrotny i jeden\npierwiastek jednokrotny), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej:\n3 punkty - jeśli uwzględnia krotności pierwiastków,\n2 punkty - jeśli nie uwzględnia krotności pierwiastków.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nReszta z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian 𝑥+ 2 jest równa (-30), zatem\n𝑊(-2) = -30. Stąd otrzymujemy\n4 ∙(-2)3 -6 ∙(-2)2 -(5𝑚+ 1)(-2) -2𝑚= -30\nRozwiązaniem tego równania jest 𝑚= 3.\nRozwiązujemy nierówność 4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6 ≥0, stosując przekształcenia\nrównoważne, i otrzymujemy kolejno:\n4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6 ≥0\n2(𝑥+ 1)(2𝑥2 -5𝑥-3) ≥0\n4(𝑥+ 1)(𝑥-3) (𝑥+ 1\n2) ≥0\nSzkicujemy wykres wielomianu 𝑊(𝑥) = 4(𝑥+ 1)(𝑥-3) (𝑥+ 1\n2)\ni odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności 𝑊(𝑥) ≥0: ⟨-1, -1\n2⟩∪⟨3, +∞).\n3\n𝑥\n-1\n2\n-1\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m = 3\\), rozwiązanie nierówności: \\(x \\in \\langle -1,\\ -\\tfrac{1}{2} \\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta + rozkład na czynniki\n\n### Krok 1: Wyznaczenie \\(m\\)\n\n**Twierdzenie Bézouta:** reszta z dzielenia wielomianu \\(W(x)\\) przez \\((x - a)\\) jest równa \\(W(a)\\).\n\nDzielimy przez \\((x+2) = (x - (-2))\\), więc \\(a = -2\\).\n\nObliczamy \\(W(-2)\\):\n\\[\nW(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - (5m+1)(-2) - 2m\n\\]\n\\[\n= 4 \\cdot (-8) - 6 \\cdot 4 + 2(5m+1) - 2m\n\\]\n\\[\n= -32 - 24 + 10m + 2 - 2m\n\\]\n\\[\n= -54 + 8m\n\\]\n\nZ warunku \\(W(-2) = -30\\):\n\\[\n-54 + 8m = -30 \\quad\\Rightarrow\\quad 8m = 24 \\quad\\Rightarrow\\quad \\boxed{m = 3}\n\\]\n\n### Krok 2: Zapisanie \\(W(x)\\) dla \\(m = 3\\)\n\n\\[\nW(x) = 4x^3 - 6x^2 - (15+1)x - 6 = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\n\\]\n\n### Krok 3: Rozkład \\(W(x)\\) na czynniki liniowe\n\nSzukamy pierwiastka wymiernego - sprawdzamy kandydatów z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: \\(\\pm 1, \\pm \\frac{1}{2}, \\pm 3, \\ldots\\)\n\n\\[\nW(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 - 16(-1) - 6 = -4 - 6 + 16 - 6 = 0 \\checkmark\n\\]\n\n**\\(x = -1\\) jest pierwiastkiem!** Dzielimy przez \\((x+1)\\) (dzielenie pisemne lub schemat Hornera):\n\n\\[\n4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 = (x+1)(4x^2 - 10x - 6)\n\\]\n\nRozkładamy \\(4x^2 - 10x - 6\\):\n\\[\n4x^2 - 10x - 6 = 2(2x^2 - 5x - 3)\n\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 25 + 24 = 49\\), więc\n\\[\nx = \\frac{5 \\pm 7}{4}\n\\]\n\\[\nx_1 = -\\frac{1}{2}, \\quad x_2 = 3\n\\]\n\nZatem:\n\\[\n2(2x^2 - 5x - 3) = 2(2x+1)(x-3)\n\\]\n\n**Pełny rozkład:**\n\\[\nW(x) = 2(x+1)(2x+1)(x-3)\n\\]\n\n### Krok 4: Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\)\n\nPierwiastki (w kolejności na osi liczbowej):\n\\[\nx_1 = -1, \\quad x_2 = -\\tfrac{1}{2}, \\quad x_3 = 3\n\\]\n\nCzynnik \\(2 > 0\\) nie zmienia znaku. Badamy znaki na przedziałach:\n\n| Przedział | \\((x+1)\\) | \\((2x+1)\\) | \\((x-3)\\) | \\(W(x)\\) |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = -1\\) | \\(0\\) | - | - | \\(0\\) |\n| \\(-1 < x < -\\tfrac{1}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -\\tfrac{1}{2}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | - | \\(0\\) |\n| \\(-\\tfrac{1}{2} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\):**\n\\[\n\\boxed{x \\in \\left\\langle -1,\\ -\\tfrac{1}{2} \\right\\rangle \\cup \\left\\langle 3,\\ +\\infty \\right)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera dla wyznaczenia \\(m\\) i weryfikacja rozkładu\n\n### Wyznaczenie \\(m\\) schematem Hornera\n\nWyliczamy \\(W(-2)\\) zapisując współczynniki wielomianu: \\(4,\\ -6,\\ -(5m+1),\\ -2m\\).\n\n| | \\(4\\) | \\(-6\\) | \\(-(5m+1)\\) | \\(-2m\\) |\n| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-8\\) | \\(28\\) | \\(-2(27-5m)\\) |\n\nObliczamy krok po kroku:\n\\[\n4\n\\]\n\\[\n4 \\cdot (-2) = -8;\\quad -6 + (-8) = -14\n\\]\n\\[\n-14 \\cdot (-2) = 28;\\quad -(5m+1) + 28 = 27 - 5m\n\\]\n\\[\n(27-5m) \\cdot (-2) = -54 + 10m;\\quad -2m + (-54 + 10m) = -54 + 8m\n\\]\n\nReszta: \\(-54 + 8m = -30\\), stąd \\(m = 3\\) - **ten sam wynik**.\n\n### Weryfikacja rozkładu\n\nSprawdzamy, czy \\(W(x) = 2(x+1)(2x+1)(x-3)\\) zgadza się z \\(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\\):\n\n\\[\n(x+1)(2x+1) = 2x^2 + 3x + 1\n\\]\n\\[\n(2x^2 + 3x + 1)(x-3) = 2x^3 - 6x^2 + 3x^2 - 9x + x - 3 = 2x^3 - 3x^2 - 8x - 3\n\\]\n\\[\n2 \\cdot (2x^3 - 3x^2 - 8x - 3) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 \\checkmark\n\\]\n\nDodatkowo sprawdzamy warunek z treści:\n\\[\nW(-2) = 2(-2+1)(2(-2)+1)(-2-3) = 2(-1)(-3)(-5) = 2 \\cdot (-15) = -30 \\checkmark\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[\nx_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\n\\]\nUżyliśmy w Kroku 3 do rozwiązania \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\) (\\(a=2, b=-5, c=-3\\), \\(\\Delta = 49\\)).\n\n> Twierdzenie Bézouta (o reszcie z dzielenia przez dwumian liniowy) nie jest osobno wylistowane w karcie CKE jako numerowany wzór, ale jest standardowym twierdzeniem o wielomianach - maturzysta powinien je znać z pamięci.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielimy przez \\((x+2)\\), więc podstawiamy \\(x = \\mathbf{-2}\\) (nie \\(+2\\)!) do twierdzenia Bézouta. Pomylenie znaku to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu wielomianu stopnia 3 - najpierw szukamy jednego pierwiastka (np. metodą prób dla liczb całkowitych), a dopiero potem wyłuczamy czynnik liniowy i rozwiązujemy otrzymany trójmian. Nie próbujemy od razu wyciągać wzoru na pierwiastki sześcienne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tabeli znaków pamiętaj, że trzy czynniki ujemne dają wynik **ujemny** (nie dodatni!). Łatwo pomylić parzyste i nieparzyste liczby czynników ujemnych - warto sprawdzić jeden punkt na każdym przedziale, np. \\(W(0) = -6 < 0\\) potwierdza znak na \\((-\\tfrac{1}{2}, 3)\\).\n\n### Sposób 1. (twierdzenie Bezouta + rozkład na czynniki)\n\n**Krok 1. Wyznaczenie \\(m\\).**\n\nZ twierdzenia o reszcie (Bezouta): reszta z dzielenia \\(W(x)\\) przez \\(x+2 = x-(-2)\\) jest równa \\(W(-2)\\):\n\n\\(W(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - (5m+1)(-2) - 2m = -32 - 24 + 10m + 2 - 2m = 8m - 54\\)\n\nZ warunku zadania: \\(8m - 54 = -30\\), stąd \\(8m = 24\\), czyli \\(m = 3\\).\n\n**Krok 2. Wielomian dla \\(m=3\\).**\n\n\\(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\\)\n\n**Krok 3. Pierwiastki wielomianu.**\n\nWyłączamy \\(2\\): \\(W(x) = 2(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3)\\).\n\nSprawdzamy \\(x = -1\\): \\(2(-2 - 3 + 8 - 3) = 0\\). Więc \\(x=-1\\) jest pierwiastkiem.\n\nDzielimy \\(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3\\) przez \\(x+1\\):\n\\(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = (x+1)(2x^2 - 5x - 3)\\)\n\nPierwiastki \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\): \\(\\Delta = 25 + 24 = 49\\), \\(x = \\dfrac{5\\pm 7}{4}\\), czyli \\(x=3\\) lub \\(x=-\\dfrac{1}{2}\\).\n\nZatem \\(W(x) = 4(x+1)\\left(x+\\dfrac{1}{2}\\right)(x-3)\\).\n\n**Krok 4. Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\).**\n\nPierwiastki (uporządkowane rosnąco): \\(-1,\\; -\\dfrac{1}{2},\\; 3\\). Wielomian 3. stopnia ze współczynnikiem dodatnim zmienia znak w każdym pierwiastku.\n\nSzkic wykresu (metoda wężykowa): zaczynamy od \"plusa\" po prawej stronie.\n- \\(x > 3\\): +\n- \\(-\\dfrac{1}{2} < x < 3\\): -\n- \\(-1 < x < -\\dfrac{1}{2}\\): +\n- \\(x < -1\\): -\n\nZbiór rozwiązań \\(W(x) \\geq 0\\) (ze znakami równości w miejscach zerowych):\n\n\\(x \\in \\left\\langle -1,\\; -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2. (bezpośrednie dzielenie)\n\nDzielimy \\(W(x)\\) przez \\(x+2\\) (schemat Hornera lub dzielenie pisemne):\n\n\\(W(x) = (x+2)(4x^2 + ax + b) + R\\)\n\nPo wykonaniu dzielenia reszta \\(R = -2m + 2(5m-27) = 8m-54\\).\n\nZ \\(R = -30\\): \\(m = 3\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n**Trik:** Twierdzenie Bezouta (reszta = \\(W(a)\\) dla dzielenia przez \\(x-a\\)) jest 10x szybsze niż dzielenie pisemne. Dla wielomianu 3. stopnia z wymiernymi pierwiastkami - zawsze zgaduj \\(\\pm 1, \\pm\\dfrac{1}{2}, \\pm 3\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-4)\n- **1 pkt**: zapisanie równania z niewiadomą \\(m\\) wynikającego z warunku \\(W(-2)=-30\\).\n- **2 pkt**: obliczenie \\(m = 3\\).\n- **3 pkt**: znalezienie wszystkich pierwiastków wielomianu: \\(x_1=-1,\\; x_2=-\\dfrac{1}{2},\\; x_3=3\\).\n- **4 pkt**: rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\): \\(x \\in \\left\\langle -1, -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"wielomiany","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Reszta z dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -6𝑥2 -(5𝑚+ 1)𝑥-2𝑚 przez dwumian 𝑥+ 2
jest równa (-30).
Oblicz 𝑚 i dla wyznaczonej wartości 𝑚 rozwiąż nierówność 𝑊(𝑥) ≥0.

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)-2m przez dwumian x+2 jest równa (-30). Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)≥0.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R3.4) stosuje twierdzenie o reszcie
z dzielenia wielomianu przez dwumian 𝑥-𝑎;
R3.6) rozwiązuje łatwe nierówności
wielomianowe.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
zapisze równanie z niewiadomą 𝑚 wynikające z warunków zadania:
4 ⋅(-2)3 -6 ⋅(-2)2 -(5𝑚+ 1) ⋅(-2) -2𝑚= -30
ALBO
wyznaczy resztę z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥+ 2) i zapisze
równanie -2𝑚+ 2(5𝑚-27) = -30.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy 𝑚: 𝑚= 3.
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy obliczy/poda wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6:
𝑥1 = -1, 𝑥2 = -1
2 , 𝑥3 = 3.
Zdający otrzymuje 4 pkt
gdy rozwiąże nierówność 𝑊(𝑥) ≥0: 𝑥∈⟨-1, -1
2 ⟩∪〈3, +∞〉.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje warunki zadania 𝑊(-2) = -30, ale popełnia błędy
\n

rachunkowe, zapisując równanie wynikające z tego warunku, to może otrzymać co
najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji warunków zadania, zapisując np. 𝑊(2) = -30,
\n

w konsekwencji którego zapisuje błędne równanie wynikające z tego warunku, lecz
otrzyma wielomian o trzech różnych pierwiastkach i konsekwentnie doprowadzi
rozwiązanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający w wyniku błędów rachunkowych przekształci wielomian 𝑊 do postaci,
\n

w której otrzymany wielomian ma co najwyżej dwa pierwiastki (jeden dwukrotny i jeden
pierwiastek jednokrotny), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej:
3 punkty - jeśli uwzględnia krotności pierwiastków,
2 punkty - jeśli nie uwzględnia krotności pierwiastków.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Reszta z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian 𝑥+ 2 jest równa (-30), zatem
𝑊(-2) = -30. Stąd otrzymujemy
4 ∙(-2)3 -6 ∙(-2)2 -(5𝑚+ 1)(-2) -2𝑚= -30
Rozwiązaniem tego równania jest 𝑚= 3.
Rozwiązujemy nierówność 4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6 ≥0, stosując przekształcenia
równoważne, i otrzymujemy kolejno:
4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6 ≥0
2(𝑥+ 1)(2𝑥2 -5𝑥-3) ≥0
4(𝑥+ 1)(𝑥-3) (𝑥+ 1

\n
  1. ≥0
\n

Szkicujemy wykres wielomianu 𝑊(𝑥) = 4(𝑥+ 1)(𝑥-3) (𝑥+ 1
2)
i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności 𝑊(𝑥) ≥0: ⟨-1, -1
2⟩∪⟨3, +∞).
3
𝑥
-1
2
-1
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m = 3\\), rozwiązanie nierówności: \\(x \\in \\langle -1,\\ -\\tfrac{1}{2} \\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta + rozkład na czynniki

\n
Krok 1: Wyznaczenie \\(m\\)
\n

Twierdzenie Bézouta: reszta z dzielenia wielomianu \\(W(x)\\) przez \\((x - a)\\) jest równa \\(W(a)\\).

\n

Dzielimy przez \\((x+2) = (x - (-2))\\), więc \\(a = -2\\).

\n

Obliczamy \\(W(-2)\\):
\\[
W(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - (5m+1)(-2) - 2m
\\]
\\[
= 4 \\cdot (-8) - 6 \\cdot 4 + 2(5m+1) - 2m
\\]
\\[
= -32 - 24 + 10m + 2 - 2m
\\]
\\[
= -54 + 8m
\\]

\n

Z warunku \\(W(-2) = -30\\):
\\[
-54 + 8m = -30 \\quad\\Rightarrow\\quad 8m = 24 \\quad\\Rightarrow\\quad \\boxed{m = 3}
\\]

\n
Krok 2: Zapisanie \\(W(x)\\) dla \\(m = 3\\)
\n

\\[
W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (15+1)x - 6 = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6
\\]

\n
Krok 3: Rozkład \\(W(x)\\) na czynniki liniowe
\n

Szukamy pierwiastka wymiernego - sprawdzamy kandydatów z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: \\(\\pm 1, \\pm \\frac{1}{2}, \\pm 3, \\ldots\\)

\n

\\[
W(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 - 16(-1) - 6 = -4 - 6 + 16 - 6 = 0 \\checkmark
\\]

\n

\\(x = -1\\) jest pierwiastkiem! Dzielimy przez \\((x+1)\\) (dzielenie pisemne lub schemat Hornera):

\n

\\[
4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 = (x+1)(4x^2 - 10x - 6)
\\]

\n

Rozkładamy \\(4x^2 - 10x - 6\\):
\\[
4x^2 - 10x - 6 = 2(2x^2 - 5x - 3)
\\]

\n

Wyróżnik: \\(\\Delta = 25 + 24 = 49\\), więc
\\[
x = \\frac{5 \\pm 7}{4}
\\]
\\[
x_1 = -\\frac{1}{2}, \\quad x_2 = 3
\\]

\n

Zatem:
\\[
2(2x^2 - 5x - 3) = 2(2x+1)(x-3)
\\]

\n

Pełny rozkład:
\\[
W(x) = 2(x+1)(2x+1)(x-3)
\\]

\n
Krok 4: Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\)
\n

Pierwiastki (w kolejności na osi liczbowej):
\\[
x_1 = -1, \\quad x_2 = -\\tfrac{1}{2}, \\quad x_3 = 3
\\]

\n

Czynnik \\(2 > 0\\) nie zmienia znaku. Badamy znaki na przedziałach:

\n

| Przedział | \\((x+1)\\) | \\((2x+1)\\) | \\((x-3)\\) | \\(W(x)\\) |
| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(x = -1\\) | \\(0\\) | - | - | \\(0\\) |
| \\(-1 < x < -\\tfrac{1}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = -\\tfrac{1}{2}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | - | \\(0\\) |
| \\(-\\tfrac{1}{2} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |
| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\):
\\[
\\boxed{x \\in \\left\\langle -1,\\ -\\tfrac{1}{2} \\right\\rangle \\cup \\left\\langle 3,\\ +\\infty \\right)}
\\]

\n

Sposób 2 - Schemat Hornera dla wyznaczenia \\(m\\) i weryfikacja rozkładu

\n
Wyznaczenie \\(m\\) schematem Hornera
\n

Wyliczamy \\(W(-2)\\) zapisując współczynniki wielomianu: \\(4,\\ -6,\\ -(5m+1),\\ -2m\\).

\n

| | \\(4\\) | \\(-6\\) | \\(-(5m+1)\\) | \\(-2m\\) |
| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-8\\) | \\(28\\) | \\(-2(27-5m)\\) |

\n

Obliczamy krok po kroku:
\\[
4
\\]
\\[
4 \\cdot (-2) = -8;\\quad -6 + (-8) = -14
\\]
\\[
-14 \\cdot (-2) = 28;\\quad -(5m+1) + 28 = 27 - 5m
\\]
\\[
(27-5m) \\cdot (-2) = -54 + 10m;\\quad -2m + (-54 + 10m) = -54 + 8m
\\]

\n

Reszta: \\(-54 + 8m = -30\\), stąd \\(m = 3\\) - ten sam wynik.

\n
Weryfikacja rozkładu
\n

Sprawdzamy, czy \\(W(x) = 2(x+1)(2x+1)(x-3)\\) zgadza się z \\(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\\):

\n

\\[
(x+1)(2x+1) = 2x^2 + 3x + 1
\\]
\\[
(2x^2 + 3x + 1)(x-3) = 2x^3 - 6x^2 + 3x^2 - 9x + x - 3 = 2x^3 - 3x^2 - 8x - 3
\\]
\\[
2 \\cdot (2x^3 - 3x^2 - 8x - 3) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 \\checkmark
\\]

\n

Dodatkowo sprawdzamy warunek z treści:
\\[
W(-2) = 2(-2+1)(2(-2)+1)(-2-3) = 2(-1)(-3)(-5) = 2 \\cdot (-15) = -30 \\checkmark
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\\[
x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac
\\]
Użyliśmy w Kroku 3 do rozwiązania \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\) (\\(a=2, b=-5, c=-3\\), \\(\\Delta = 49\\)).

\n
Twierdzenie Bézouta (o reszcie z dzielenia przez dwumian liniowy) nie jest osobno wylistowane w karcie CKE jako numerowany wzór, ale jest standardowym twierdzeniem o wielomianach - maturzysta powinien je znać z pamięci.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dzielimy przez \\((x+2)\\), więc podstawiamy \\(x = \\mathbf{-2}\\) (nie \\(+2\\)!) do twierdzenia Bézouta. Pomylenie znaku to najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładaniu wielomianu stopnia 3 - najpierw szukamy jednego pierwiastka (np. metodą prób dla liczb całkowitych), a dopiero potem wyłuczamy czynnik liniowy i rozwiązujemy otrzymany trójmian. Nie próbujemy od razu wyciągać wzoru na pierwiastki sześcienne.
\n
⚠️ Uwaga: W tabeli znaków pamiętaj, że trzy czynniki ujemne dają wynik ujemny (nie dodatni!). Łatwo pomylić parzyste i nieparzyste liczby czynników ujemnych - warto sprawdzić jeden punkt na każdym przedziale, np. \\(W(0) = -6 < 0\\) potwierdza znak na \\((-\\tfrac{1}{2}, 3)\\).
\n
Sposób 1. (twierdzenie Bezouta + rozkład na czynniki)
\n

Krok 1. Wyznaczenie \\(m\\).

\n

Z twierdzenia o reszcie (Bezouta): reszta z dzielenia \\(W(x)\\) przez \\(x+2 = x-(-2)\\) jest równa \\(W(-2)\\):

\n

\\(W(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - (5m+1)(-2) - 2m = -32 - 24 + 10m + 2 - 2m = 8m - 54\\)

\n

Z warunku zadania: \\(8m - 54 = -30\\), stąd \\(8m = 24\\), czyli \\(m = 3\\).

\n

Krok 2. Wielomian dla \\(m=3\\).

\n

\\(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\\)

\n

Krok 3. Pierwiastki wielomianu.

\n

Wyłączamy \\(2\\): \\(W(x) = 2(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3)\\).

\n

Sprawdzamy \\(x = -1\\): \\(2(-2 - 3 + 8 - 3) = 0\\). Więc \\(x=-1\\) jest pierwiastkiem.

\n

Dzielimy \\(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3\\) przez \\(x+1\\):
\\(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = (x+1)(2x^2 - 5x - 3)\\)

\n

Pierwiastki \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\): \\(\\Delta = 25 + 24 = 49\\), \\(x = \\dfrac{5\\pm 7}{4}\\), czyli \\(x=3\\) lub \\(x=-\\dfrac{1}{2}\\).

\n

Zatem \\(W(x) = 4(x+1)\\left(x+\\dfrac{1}{2}\\right)(x-3)\\).

\n

Krok 4. Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\).

\n

Pierwiastki (uporządkowane rosnąco): \\(-1,\\; -\\dfrac{1}{2},\\; 3\\). Wielomian 3. stopnia ze współczynnikiem dodatnim zmienia znak w każdym pierwiastku.

\n

Szkic wykresu (metoda wężykowa): zaczynamy od "plusa" po prawej stronie.

\n\n

Zbiór rozwiązań \\(W(x) \\geq 0\\) (ze znakami równości w miejscach zerowych):

\n

\\(x \\in \\left\\langle -1,\\; -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).

\n
Sposób 2. (bezpośrednie dzielenie)
\n

Dzielimy \\(W(x)\\) przez \\(x+2\\) (schemat Hornera lub dzielenie pisemne):

\n

\\(W(x) = (x+2)(4x^2 + ax + b) + R\\)

\n

Po wykonaniu dzielenia reszta \\(R = -2m + 2(5m-27) = 8m-54\\).

\n

Z \\(R = -30\\): \\(m = 3\\). Dalej jak w sposobie 1.

\n

Trik: Twierdzenie Bezouta (reszta = \\(W(a)\\) dla dzielenia przez \\(x-a\\)) jest 10x szybsze niż dzielenie pisemne. Dla wielomianu 3. stopnia z wymiernymi pierwiastkami - zawsze zgaduj \\(\\pm 1, \\pm\\dfrac{1}{2}, \\pm 3\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n

(0-4)

\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\left\\langle -1, -\\dfrac{1}{2} \\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty \\rangle$

"}]}