{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 8-40\n210 jest równa\nA. 4-4\nB. 4-50\nC. 2-47\nD. 2-130\nLiczba 8^{-40} / 2^{10} jest równa A. 4^{-4} B. 4^{-50} C. 2^{-47} D. 2^{-130}","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\dfrac{8^{-40}}{2^{10}}\\) jest równa \\(\\mathbf{2^{-130}}\\).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy 2\n\nKluczowa obserwacja: \\(8 = 2^3\\). Zamieniamy wszystko na potęgi liczby 2.\n\n**Krok 1.** Przelicz \\(8^{-40}\\) na podstawę 2:\n\\[8^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{3 \\cdot (-40)} = 2^{-120}\\]\n\n**Krok 2.** Podstaw do ułamka:\n\\[\\frac{8^{-40}}{2^{10}} = \\frac{2^{-120}}{2^{10}}\\]\n\n**Krok 3.** Podziel potęgi o tej samej podstawie (odejmij wykładniki):\n\\[\\frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120 - 10} = \\mathbf{2^{-130}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez rozbicie ułamka na iloczyn\n\nZapisujemy dzielenie jako mnożenie przez odwrotność:\n\\[\\frac{8^{-40}}{2^{10}} = 8^{-40} \\cdot 2^{-10}\\]\n\nTeraz zamieniamy \\(8^{-40}\\):\n\\[8^{-40} = \\frac{1}{8^{40}} = \\frac{1}{(2^3)^{40}} = \\frac{1}{2^{120}}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[8^{-40} \\cdot 2^{-10} = 2^{-120} \\cdot 2^{-10} = 2^{-120 + (-10)} = \\mathbf{2^{-130}}\\]\n\nTen sam wynik - odpowiedź D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - wzory na działania na potęgach:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy pierwszego wzoru do przeliczenia \\((2^3)^{-40} = 2^{-120}\\), a drugiego - do podzielenia \\(\\frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-130}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(4^{-4}\\) - \"dzielenie\" wykładników zamiast przeliczenia: \\(-40 \\div 10 = -4\\). To nie ma sensu matematycznego - działania na potęgach wymagają tej **samej podstawy**. |\n| B | \\(4^{-50}\\) - błąd przy zamianie na podstawę 4: założono \\(8 = 4^1\\) (zamiast \\(8 = 4^{3/2}\\)), a \\(2^{10} = 4^{10}\\) (zamiast \\(4^5\\)), co daje \\(4^{-40-10} = 4^{-50}\\). Dwie pomyłki naraz. |\n| C | \\(2^{-47}\\) - klasyczny błąd przy wzorze \\((a^r)^s = a^{r+s}\\) **zamiast** \\(a^{r \\cdot s}\\): ktoś liczy \\((2^3)^{-40} = 2^{3+(-40)} = 2^{-37}\\), po czym \\(2^{-37} / 2^{10} = 2^{-47}\\). Wykładniki mnoży się, a nie dodaje! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) wykładniki **MNOŻYMY**. Najczęstszy błąd to dodawanie: \\((2^3)^{-40} \\neq 2^{3+(-40)}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\) pamiętaj o **odejmowaniu** wykładnika z mianownika: \\(2^{-120} / 2^{10} = 2^{-120-10} = 2^{-130}\\). Łatwo zgubić się ze znakiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadania z mieszanymi podstawami (tu 8 i 2) zawsze sprowadzaj do **jednej podstawy** zanim wykonasz jakiekolwiek działania. Nigdy nie próbuj operować na potęgach różnych podstaw bezpośrednio.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do podstawy 2 (karta wzorów: działania na potęgach)\n\\(8 = 2^3\\), więc \\(8^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{-120}\\).\nZatem \\(\\dfrac{8^{-40}}{2^{10}} = \\dfrac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120-10} = 2^{-130}\\).\n\n### Sposób 2 - Własność \\(\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\)\nZapisujemy \\(8^{-40} = 2^{-120}\\) i dzielimy potęgi o tej samej podstawie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4^{-4}\\)** - zupełnie inna wartość, błąd w wykładnikach.\n- **B. \\(4^{-50}\\)** - \\(4^{-50} = 2^{-100}\\), nie \\(2^{-130}\\).\n- **C. \\(2^{-47}\\)** - wynik błędnego liczenia wykładników.\n\n**Trik:** \\(8 = 2^3\\), więc \\(8^n\\) zamień na \\(2^{3n}\\) i dopiero potem dziel potęgi.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Liczba 8-40<br>210 jest równa<br>A. 4-4<br>B. 4-50<br>C. 2-47<br>D. 2-130<br>Liczba 8^{-40} / 2^{10} jest równa A. 4^{-4} B. 4^{-50} C. 2^{-47} D. 2^{-130}</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Liczba \\(\\dfrac{8^{-40}}{2^{10}}\\) jest równa \\(\\mathbf{2^{-130}}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy 2</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: \\(8 = 2^3\\). Zamieniamy wszystko na potęgi liczby 2.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Przelicz \\(8^{-40}\\) na podstawę 2:<br>\\[8^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{3 \\cdot (-40)} = 2^{-120}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Podstaw do ułamka:<br>\\[\\frac{8^{-40}}{2^{10}} = \\frac{2^{-120}}{2^{10}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Podziel potęgi o tej samej podstawie (odejmij wykładniki):<br>\\[\\frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120 - 10} = \\mathbf{2^{-130}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez rozbicie ułamka na iloczyn</h4>\n<p>Zapisujemy dzielenie jako mnożenie przez odwrotność:<br>\\[\\frac{8^{-40}}{2^{10}} = 8^{-40} \\cdot 2^{-10}\\]</p>\n<p>Teraz zamieniamy \\(8^{-40}\\):<br>\\[8^{-40} = \\frac{1}{8^{40}} = \\frac{1}{(2^3)^{40}} = \\frac{1}{2^{120}}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[8^{-40} \\cdot 2^{-10} = 2^{-120} \\cdot 2^{-10} = 2^{-120 + (-10)} = \\mathbf{2^{-130}}\\]</p>\n<p>Ten sam wynik - odpowiedź D.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - wzory na działania na potęgach:<br>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]<br>\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]</p>\n<p>W Sposobie 1 użyliśmy pierwszego wzoru do przeliczenia \\((2^3)^{-40} = 2^{-120}\\), a drugiego - do podzielenia \\(\\frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-130}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(4^{-4}\\) - &quot;dzielenie&quot; wykładników zamiast przeliczenia: \\(-40 \\div 10 = -4\\). To nie ma sensu matematycznego - działania na potęgach wymagają tej <strong>samej podstawy</strong>. |<br>| B | \\(4^{-50}\\) - błąd przy zamianie na podstawę 4: założono \\(8 = 4^1\\) (zamiast \\(8 = 4^{3/2}\\)), a \\(2^{10} = 4^{10}\\) (zamiast \\(4^5\\)), co daje \\(4^{-40-10} = 4^{-50}\\). Dwie pomyłki naraz. |<br>| C | \\(2^{-47}\\) - klasyczny błąd przy wzorze \\((a^r)^s = a^{r+s}\\) <strong>zamiast</strong> \\(a^{r \\cdot s}\\): ktoś liczy \\((2^3)^{-40} = 2^{3+(-40)} = 2^{-37}\\), po czym \\(2^{-37} / 2^{10} = 2^{-47}\\). Wykładniki mnoży się, a nie dodaje! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wzorze \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) wykładniki <strong>MNOŻYMY</strong>. Najczęstszy błąd to dodawanie: \\((2^3)^{-40} \\neq 2^{3+(-40)}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu \\(\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\) pamiętaj o <strong>odejmowaniu</strong> wykładnika z mianownika: \\(2^{-120} / 2^{10} = 2^{-120-10} = 2^{-130}\\). Łatwo zgubić się ze znakiem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadania z mieszanymi podstawami (tu 8 i 2) zawsze sprowadzaj do <strong>jednej podstawy</strong> zanim wykonasz jakiekolwiek działania. Nigdy nie próbuj operować na potęgach różnych podstaw bezpośrednio.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Sprowadzenie do podstawy 2 (karta wzorów: działania na potęgach)</h5>\n<p>\\(8 = 2^3\\), więc \\(8^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{-120}\\).<br>Zatem \\(\\dfrac{8^{-40}}{2^{10}} = \\dfrac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120-10} = 2^{-130}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Własność \\(\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\)</h5>\n<p>Zapisujemy \\(8^{-40} = 2^{-120}\\) i dzielimy potęgi o tej samej podstawie.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(4^{-4}\\)</strong> - zupełnie inna wartość, błąd w wykładnikach.</li><li><strong>B. \\(4^{-50}\\)</strong> - \\(4^{-50} = 2^{-100}\\), nie \\(2^{-130}\\).</li><li><strong>C. \\(2^{-47}\\)</strong> - wynik błędnego liczenia wykładników.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(8 = 2^3\\), więc \\(8^n\\) zamień na \\(2^{3n}\\) i dopiero potem dziel potęgi.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania liczby, którą mamy obliczyć: $$\\frac{8^{-40}}{2^{10}}$$.</li></ol>\n<ol><li>Zauważmy, że liczba 8 można zapisać jako potęgę liczby 2: $$8 = 2^3$$.\\</li></ol>\n<p>Zatem możemy przekształcić naszą liczba: $$8^{-40} = (2^3)^{-40}$$.</p>\n<ol><li>Zastosujmy wzór na potęgowanie potęgi, czyli $$a^{m \\cdot n} = a^{m \\times n}$$. W naszym przypadku będziemy mieli:</li></ol>\n<p>$$ (2^3)^{-40} = 2^{3 \\cdot (-40)} = 2^{-120} $$.</p>\n<ol><li>Podstawiamy to do naszego wyrażenia: $$\\frac{8^{-40}}{2^{10}} = \\frac{2^{-120}}{2^{10}}$$.</li></ol>\n<ol><li>Zastosujemy wzór do dzielenia potęg, czyli $$\\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$. W naszym przypadku mamy:</li></ol>\n<p>$$ \\frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120 - 10} = 2^{-130} $$.</p>\n<ol><li>Widzimy, że nasze obliczenia prowadzą do wyniku: $$2^{-130}$$.</li></ol>\n<ol><li>Porównujemy uzyskany wynik z opcjami odpowiedzi. Zauważamy, że odpowiedź D to $$2^{-130}$$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 2^{-130}</p>"}]}