{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 osiąga dla 𝑥= 2 wartość\nnajmniejszą równą 4. Wtedy\nA. 𝑏= -4, 𝑐= 8\nB. 𝑏= 4, 𝑐= -8\nC. 𝑏= -4, 𝑐= -8\nD. 𝑏= 4, 𝑐= 8\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=x^2+bx+c osiąga dla x=2 wartość najmniejszą równą 4. Wtedy A. b=-4, c=8 B. b=4, c=-8 C. b=-4, c=-8 D. b=4, c=8.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(b = -4, \\ c = 8\\)\n\n## Sposób 1 - wierzchołek paraboli\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 + bx + c\\) ma najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli (bo \\(a = 1 > 0\\), ramiona skierowane w górę).\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z warunku na odciętą wierzchołka.**\n\nOdcięta wierzchołka wynosi:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2}\\]\n\nSkoro wartość najmniejsza jest osiągana dla \\(x = 2\\):\n\\[-\\frac{b}{2} = 2\\]\n\\[b = -4\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z warunku na wartość najmniejszą.**\n\nWartość najmniejsza to rzędna wierzchołka \\(q\\). Skoro \\(f(2) = 4\\):\n\\[f(2) = 2^2 + (-4) \\cdot 2 + c = 4\\]\n\\[4 - 8 + c = 4\\]\n\\[-4 + c = 4\\]\n\\[c = 8\\]\n\n**Zatem \\(b = -4\\), \\(c = 8\\) - odpowiedź A.**\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna\n\nSkoro wierzchołek paraboli to \\(W = (2, 4)\\), możemy od razu zapisać funkcję w postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q = 1 \\cdot (x - 2)^2 + 4\\]\n\nRozwijamy:\n\\[f(x) = (x-2)^2 + 4 = x^2 - 4x + 4 + 4 = x^2 - 4x + 8\\]\n\nPorównując z \\(f(x) = x^2 + bx + c\\):\n\\[b = -4, \\quad c = 8\\]\n\n**Wynik zgodny z odpowiedzią A.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(b\\) z odciętej wierzchołka.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\nUżyta w Sposobie 2 - od razu zapisujemy wzór ze znanych danych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Obliczono \\(p = -\\frac{b}{2}\\) z odwróconym znakiem: wzięto \\(b = 4\\) (bez minusa). Błąd w znaku przy wyznaczaniu \\(b\\). |\n| C | Poprawnie policzono \\(b = -4\\), ale przy obliczaniu \\(c\\) odjęto zamiast dodać: \\(-4 + c = 4\\) rozwiązano jako \\(c = -8\\). |\n| D | Oba znaki błędne jednocześnie: błąd w \\(b\\) jak w odp. B oraz błąd w \\(c\\) jak w odp. C (ale \\(c\\) wychodzi poprawnie jako 8 przy złym \\(b\\), więc to specyficzna kombinacja pomyłek). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na odciętą wierzchołka to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - jest **minus**! Bardzo łatwo zapomnieć o tym minusie i wziąć \\(b = 4\\) zamiast \\(b = -4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wartość najmniejsza równa 4 dla \\(x = 2\\)\" oznacza, że \\(f(2) = 4\\) ORAZ wierzchołek jest w \\(x = 2\\). To dwa warunki naraz - nie wystarczy podstawić samo \\(f(2) = 4\\) bez sprawdzenia warunku na wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość najmniejsza istnieje tylko wtedy, gdy parabola jest skierowana ramionami **w górę** (czyli \\(a > 0\\)). Tu \\(a = 1 > 0\\) - wszystko gra. Gdyby \\(a < 0\\), funkcja miałaby wartość największą, nie najmniejszą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna (karta wzorów)\nWierzchołek: \\(W=(p,q)=(2,4)\\). \\(f(x) = (x-2)^2 + 4 = x^2 - 4x + 4 + 4 = x^2 - 4x + 8\\).\nStąd \\(b=-4\\), \\(c=8\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na współrzędne wierzchołka\n\\(p = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{b}{2} = 2 \\Rightarrow b=-4\\).\n\\(f(2) = 4 + 2b + c = 4 \\Rightarrow 4 - 8 + c = 4 \\Rightarrow c = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(b=4,\\, c=-8\\)** - znak \\(b\\) odwrotny (\\(p = -b/2 = -2\\)).\n- **C. \\(b=-4,\\, c=-8\\)** - błędny wyraz wolny: \\(f(2)=4-8-8=-12\\).\n- **D. \\(b=4,\\, c=8\\)** - \\(p=-2\\), nie \\(2\\).\n\n**Trik:** dla \\(x^2+bx+c\\) wierzchołek jest w \\(x = -b/2\\); najmniejsza wartość w wierzchołku.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Funkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 osiąga dla 𝑥= 2 wartość
najmniejszą równą 4. Wtedy
A. 𝑏= -4, 𝑐= 8
B. 𝑏= 4, 𝑐= -8
C. 𝑏= -4, 𝑐= -8
D. 𝑏= 4, 𝑐= 8

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=x^2+bx+c osiąga dla x=2 wartość najmniejszą równą 4. Wtedy A. b=-4, c=8 B. b=4, c=-8 C. b=-4, c=-8 D. b=4, c=8.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(b = -4, \\ c = 8\\)

\n

Sposób 1 - wierzchołek paraboli

\n

Funkcja \\(f(x) = x^2 + bx + c\\) ma najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli (bo \\(a = 1 > 0\\), ramiona skierowane w górę).

\n

Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z warunku na odciętą wierzchołka.

\n

Odcięta wierzchołka wynosi:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2}\\]

\n

Skoro wartość najmniejsza jest osiągana dla \\(x = 2\\):
\\[-\\frac{b}{2} = 2\\]
\\[b = -4\\]

\n

Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z warunku na wartość najmniejszą.

\n

Wartość najmniejsza to rzędna wierzchołka \\(q\\). Skoro \\(f(2) = 4\\):
\\[f(2) = 2^2 + (-4) \\cdot 2 + c = 4\\]
\\[4 - 8 + c = 4\\]
\\[-4 + c = 4\\]
\\[c = 8\\]

\n

Zatem \\(b = -4\\), \\(c = 8\\) - odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - postać kanoniczna

\n

Skoro wierzchołek paraboli to \\(W = (2, 4)\\), możemy od razu zapisać funkcję w postaci kanonicznej:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q = 1 \\cdot (x - 2)^2 + 4\\]

\n

Rozwijamy:
\\[f(x) = (x-2)^2 + 4 = x^2 - 4x + 4 + 4 = x^2 - 4x + 8\\]

\n

Porównując z \\(f(x) = x^2 + bx + c\\):
\\[b = -4, \\quad c = 8\\]

\n

Wynik zgodny z odpowiedzią A. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(b\\) z odciętej wierzchołka.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]
Użyta w Sposobie 2 - od razu zapisujemy wzór ze znanych danych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Obliczono \\(p = -\\frac{b}{2}\\) z odwróconym znakiem: wzięto \\(b = 4\\) (bez minusa). Błąd w znaku przy wyznaczaniu \\(b\\). |
| C | Poprawnie policzono \\(b = -4\\), ale przy obliczaniu \\(c\\) odjęto zamiast dodać: \\(-4 + c = 4\\) rozwiązano jako \\(c = -8\\). |
| D | Oba znaki błędne jednocześnie: błąd w \\(b\\) jak w odp. B oraz błąd w \\(c\\) jak w odp. C (ale \\(c\\) wychodzi poprawnie jako 8 przy złym \\(b\\), więc to specyficzna kombinacja pomyłek). |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wzór na odciętą wierzchołka to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - jest minus! Bardzo łatwo zapomnieć o tym minusie i wziąć \\(b = 4\\) zamiast \\(b = -4\\).
\n
⚠️ Uwaga: "Wartość najmniejsza równa 4 dla \\(x = 2\\)" oznacza, że \\(f(2) = 4\\) ORAZ wierzchołek jest w \\(x = 2\\). To dwa warunki naraz - nie wystarczy podstawić samo \\(f(2) = 4\\) bez sprawdzenia warunku na wierzchołek.
\n
⚠️ Uwaga: Wartość najmniejsza istnieje tylko wtedy, gdy parabola jest skierowana ramionami w górę (czyli \\(a > 0\\)). Tu \\(a = 1 > 0\\) - wszystko gra. Gdyby \\(a < 0\\), funkcja miałaby wartość największą, nie najmniejszą.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Postać kanoniczna (karta wzorów)
\n

Wierzchołek: \\(W=(p,q)=(2,4)\\). \\(f(x) = (x-2)^2 + 4 = x^2 - 4x + 4 + 4 = x^2 - 4x + 8\\).
Stąd \\(b=-4\\), \\(c=8\\).

\n
Sposób 2 - Wzór na współrzędne wierzchołka
\n

\\(p = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{b}{2} = 2 \\Rightarrow b=-4\\).
\\(f(2) = 4 + 2b + c = 4 \\Rightarrow 4 - 8 + c = 4 \\Rightarrow c = 8\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dla \\(x^2+bx+c\\) wierzchołek jest w \\(x = -b/2\\); najmniejsza wartość w wierzchołku.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej, który mamy: $$f(x) = x^2 + bx + c$$.
\n
  1. Zauważamy, że funkcja osiąga minimum dla $x = 2$. Oznacza to, że współrzędna wierzchołka paraboli, określona wzorem $$x_{w} = -\\frac{b}{2}$$, musi być równa $2$. Zapisujemy równanie:
\n

$$-\\frac{b}{2} = 2$$.

\n
  1. Rozwiązujemy równanie z kroku 2: Mnożymy obie strony przez $-2$:
\n

$$b = -4$$.

\n
  1. Wiemy już, że $b = -4$. Wstawiamy tę wartość do wzoru funkcji:
\n

$$f(x) = x^2 - 4x + c$$.

\n
  1. Funkcja osiąga wartość najmniejszą równą $4$ dla $x = 2$. Zapisujemy więc równanie:
\n

$$f(2) = 4$$.

\n
  1. Podstawiamy $x = 2$ do wzoru funkcji:
\n

$$f(2) = (2)^2 - 4(2) + c$$.

\n
  1. Obliczamy wartość:
\n

$$f(2) = 4 - 8 + c = c - 4$$.

\n
  1. Zauważamy, że wartość $f(2)$ ma być równa $4$, więc zapisujemy równanie:
\n

$$c - 4 = 4$$.

\n
  1. Rozwiązujemy równanie z kroku 8:
\n

$$c = 8$$.

\n
  1. Mamy teraz wartości: $b = -4$ oraz $c = 8$. Zapisujemy je jako odpowiedź.
\n

Odpowiedź: $b = -4$, $c = 8$, co odpowiada opcji A.

"}]}