{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDana jest funkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥-2)(𝑥+ 1). Funkcja 𝑓\njest rosnąca w zbiorze\nA. (-∞, 1\n2 ⟩\nB. (-1, 2)\nC. (0, 5\n2)\nD. ⟨5\n2 , +∞)\nDana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x-2)(x+1). Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A. (-∞,1/2> B. (-1,2) C. (0,5/2) D. <5/2,+∞)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek paraboli i monotoniczność\n\nFunkcja kwadratowa jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -2(x-2)(x+1)\\]\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik wiodący.**\n\nWspółczynnik \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** (jak ∩). Oznacza to, że funkcja najpierw rośnie, osiąga maksimum w wierzchołku, potem maleje.\n\n**Krok 2: Wyznacz wierzchołek - oś symetrii.**\n\nMiejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 2\\). Oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między nimi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-1 + 2}{2} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWierzchołek ma pierwszą współrzędną \\(p = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Krok 3: Określ monotoniczność.**\n\nParabola skierowana w dół (∩):\n- **rośnie** na \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n- **maleje** na \\(\\left\\langle\\dfrac{1}{2}, +\\infty\\right)\\)\n\n**Odpowiedź: A** \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna i wzór na wierzchołek\n\n**Krok 1: Rozwiń postać iloczynową do ogólnej.**\n\\[f(x) = -2(x-2)(x+1) = -2(x^2 + x - 2x - 2) = -2(x^2 - x - 2)\\]\n\\[f(x) = -2x^2 + 2x + 4\\]\n\nZatem \\(a = -2\\), \\(b = 2\\), \\(c = 4\\).\n\n**Krok 2: Wzór na oś symetrii.**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{2}{-4} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3: Wnioski o monotoniczności.**\n\nPonieważ \\(a = -2 < 0\\), parabola jest skierowana w dół:\n- rośnie dla \\(x \\leq \\dfrac{1}{2}\\), czyli na \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n\nWynik ten zgadza się z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nOś symetrii i wierzchołek:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 2 do wyznaczenia współrzędnej \\(x\\) wierzchołka, który oddziela przedział wzrostu od przedziału spadku.\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 - bezpośrednio odczytaliśmy miejsca zerowe, by obliczyć oś symetrii jako ich średnią arytmetyczną.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) to przedział **między miejscami zerowymi** - uczeń myli „przedział, gdzie funkcja jest dodatnia\" z „przedziałem wzrostu\". To dwa różne pojęcia! |\n| C | \\(\\left\\langle 0, \\dfrac{5}{2}\\right\\rangle\\) nie ma związku z zadaniem - prawdopodobnie błędne obliczenie osi symetrii (np. wzięcie \\(\\frac{2+3}{2}\\) zamiast \\(\\frac{-1+2}{2}\\)) |\n| D | \\(\\left\\langle\\dfrac{5}{2}, +\\infty\\right)\\) to przedział **malejący**, ale przesunięty. Uczeń mógł dobrze znaleźć wierzchołek \\(x = \\frac{1}{2}\\), ale pomylić kierunek i wybrać przedział malejący zamiast rosnącego, albo pomylić ramiona paraboli (jakby \\(a > 0\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola z \\(a < 0\\) (ramiona w dół) **rośnie po lewej stronie wierzchołka**, nie po prawej - odwrotnie niż parabola z \\(a > 0\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl przedziału wzrostu z przedziałem, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Funkcja może rosnąć, mając wartości ujemne, i odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii wyznaczasz jako **średnią miejsc zerowych** - sprawdź znak: \\(\\frac{(-1) + 2}{2} = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{1+2}{2}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współrzędna wierzchołka z miejsc zerowych\nMiejsca zerowe: \\(x=2, x=-1\\). Oś symetrii: \\(x_w = \\dfrac{2+(-1)}{2} = \\dfrac{1}{2}\\).\nWspółczynnik przy \\(x^2\\): \\(-2 < 0\\) - parabola w dół.\nFunkcja rośnie na \\((-\\infty, \\tfrac{1}{2}\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = -2(x^2 - x - 2) = -2\\left[(x-\\tfrac{1}{2})^2 - \\tfrac{9}{4}\\right] = -2(x-\\tfrac{1}{2})^2 + \\tfrac{9}{2}\\).\nWierzchołek \\((\\tfrac{1}{2}, \\tfrac{9}{2})\\); rośnie w \\((-\\infty, \\tfrac{1}{2}\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle-1,2\\rangle\\)** - to zbiór, na którym \\(f\\geq 0\\), nie zbiór monotoniczności.\n- **C. \\(\\langle 0, \\tfrac{5}{2}\\rangle\\)** - przesunięty błędnie przedział.\n- **D. \\(\\langle \\tfrac{5}{2}, +\\infty)\\)** - tam funkcja maleje.\n\n**Trik:** dla paraboli o \\(a<0\\) funkcja ROŚNIE do wierzchołka i MALEJE po nim.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Dana jest funkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥-2)(𝑥+ 1). Funkcja 𝑓<br>jest rosnąca w zbiorze<br>A. (-∞, 1<br>2 ⟩<br>B. (-1, 2)<br>C. (0, 5<br>2)<br>D. ⟨5<br>2 , +∞)<br>Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x-2)(x+1). Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A. (-∞,1/2&gt; B. (-1,2) C. (0,5/2) D. &lt;5/2,+∞)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wierzchołek paraboli i monotoniczność</h4>\n<p>Funkcja kwadratowa jest dana w <strong>postaci iloczynowej</strong>:<br>\\[f(x) = -2(x-2)(x+1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 1: Odczytaj współczynnik wiodący.</strong></p>\n<p>Współczynnik \\(a = -2 &lt; 0\\), więc parabola jest <strong>skierowana ramionami w dół</strong> (jak ∩). Oznacza to, że funkcja najpierw rośnie, osiąga maksimum w wierzchołku, potem maleje.</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz wierzchołek - oś symetrii.</strong></p>\n<p>Miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 2\\). Oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między nimi:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-1 + 2}{2} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Wierzchołek ma pierwszą współrzędną \\(p = \\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Określ monotoniczność.</strong></p>\n<p>Parabola skierowana w dół (∩):</p>\n<ul><li><strong>rośnie</strong> na \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)</li><li><strong>maleje</strong> na \\(\\left\\langle\\dfrac{1}{2}, +\\infty\\right)\\)</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź: A</strong> \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Postać ogólna i wzór na wierzchołek</h4>\n<p><strong>Krok 1: Rozwiń postać iloczynową do ogólnej.</strong><br>\\[f(x) = -2(x-2)(x+1) = -2(x^2 + x - 2x - 2) = -2(x^2 - x - 2)\\]<br>\\[f(x) = -2x^2 + 2x + 4\\]</p>\n<p>Zatem \\(a = -2\\), \\(b = 2\\), \\(c = 4\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Wzór na oś symetrii.</strong><br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{2}{-4} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wnioski o monotoniczności.</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(a = -2 &lt; 0\\), parabola jest skierowana w dół:</p>\n<ul><li>rośnie dla \\(x \\leq \\dfrac{1}{2}\\), czyli na \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)</li></ul>\n<p>Wynik ten zgadza się z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):</strong></p>\n<p>Oś symetrii i wierzchołek:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 2 do wyznaczenia współrzędnej \\(x\\) wierzchołka, który oddziela przedział wzrostu od przedziału spadku.</p>\n<p>Postać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]</p>\n<p>Użyliśmy jej w Sposobie 1 - bezpośrednio odczytaliśmy miejsca zerowe, by obliczyć oś symetrii jako ich średnią arytmetyczną.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) to przedział <strong>między miejscami zerowymi</strong> - uczeń myli „przedział, gdzie funkcja jest dodatnia&quot; z „przedziałem wzrostu&quot;. To dwa różne pojęcia! |<br>| C | \\(\\left\\langle 0, \\dfrac{5}{2}\\right\\rangle\\) nie ma związku z zadaniem - prawdopodobnie błędne obliczenie osi symetrii (np. wzięcie \\(\\frac{2+3}{2}\\) zamiast \\(\\frac{-1+2}{2}\\)) |<br>| D | \\(\\left\\langle\\dfrac{5}{2}, +\\infty\\right)\\) to przedział <strong>malejący</strong>, ale przesunięty. Uczeń mógł dobrze znaleźć wierzchołek \\(x = \\frac{1}{2}\\), ale pomylić kierunek i wybrać przedział malejący zamiast rosnącego, albo pomylić ramiona paraboli (jakby \\(a &gt; 0\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola z \\(a &lt; 0\\) (ramiona w dół) <strong>rośnie po lewej stronie wierzchołka</strong>, nie po prawej - odwrotnie niż parabola z \\(a &gt; 0\\). To najczęstszy błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl przedziału wzrostu z przedziałem, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Funkcja może rosnąć, mając wartości ujemne, i odwrotnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii wyznaczasz jako <strong>średnią miejsc zerowych</strong> - sprawdź znak: \\(\\frac{(-1) + 2}{2} = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{1+2}{2}\\)!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Współrzędna wierzchołka z miejsc zerowych</h5>\n<p>Miejsca zerowe: \\(x=2, x=-1\\). Oś symetrii: \\(x_w = \\dfrac{2+(-1)}{2} = \\dfrac{1}{2}\\).<br>Współczynnik przy \\(x^2\\): \\(-2 &lt; 0\\) - parabola w dół.<br>Funkcja rośnie na \\((-\\infty, \\tfrac{1}{2}\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>\\(f(x) = -2(x^2 - x - 2) = -2\\left[(x-\\tfrac{1}{2})^2 - \\tfrac{9}{4}\\right] = -2(x-\\tfrac{1}{2})^2 + \\tfrac{9}{2}\\).<br>Wierzchołek \\((\\tfrac{1}{2}, \\tfrac{9}{2})\\); rośnie w \\((-\\infty, \\tfrac{1}{2}\\rangle\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\langle-1,2\\rangle\\)</strong> - to zbiór, na którym \\(f\\geq 0\\), nie zbiór monotoniczności.</li><li><strong>C. \\(\\langle 0, \\tfrac{5}{2}\\rangle\\)</strong> - przesunięty błędnie przedział.</li><li><strong>D. \\(\\langle \\tfrac{5}{2}, +\\infty)\\)</strong> - tam funkcja maleje.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla paraboli o \\(a&lt;0\\) funkcja ROŚNIE do wierzchołka i MALEJE po nim.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, funkcja kwadratowa ma postać $f(x) = -2(x-2)(x+1)$, co oznacza, że współczynnik przy $x^2$ jest ujemny. Parabola ma ramiona skierowane w dół, a miejscami zerowymi są $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 2$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli wynosi $q=\\frac{2+(-1)}{2}=\\frac{1}{2}$. Funkcja rośnie w przedziale $\\displaystyle \\small(-\\infin,\\frac{1}{2}\\rangle$.</p>"}]}