{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej na zbiorze ⟨-2, 5).\nFunkcja 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-1). Wykres\nfunkcji 𝑔 można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji 𝑓. Dziedziną\nfunkcji 𝑔 jest zbiór\nA. ⟨0, 2)\nB. ⟨-1, 6)\nC. ⟨-3, 4)\nD. ⟨1, 3)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej na zbiorze <-2,5). [rysunek] Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x-1). Wykres funkcji g można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji f. Dziedziną funkcji g jest zbiór A. <0,2) B. <-1,6) C. <-3,4) D. <1,3)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\langle -1, 6)\\)\n\n## Sposób 1 - przesunięcie dziedziny o 1 w prawo\n\nMamy \\(g(x) = f(x - 1)\\). Żeby \\(g(x)\\) było określone, argument funkcji \\(f\\) musi należeć do dziedziny \\(f\\).\n\n**Dziedzina \\(f\\):** \\(\\langle -2, 5)\\), czyli warunek na argument to:\n\\[-2 \\leq \\text{argument} < 5\\]\n\nW \\(g(x) = f(x-1)\\) argumentem funkcji \\(f\\) jest \\((x - 1)\\). Wstawiamy:\n\\[-2 \\leq x - 1 < 5\\]\n\nDodajemy \\(1\\) do każdej części nierówności:\n\\[-2 + 1 \\leq x < 5 + 1\\]\n\\[\\boxed{-1 \\leq x < 6}\\]\n\n**Dziedzina funkcji \\(g\\) to \\(\\langle -1, 6)\\).**\n\nUwaga na nawiasy: lewy koniec \\(-2\\) był domknięty (nawiasem kwadratowym) → \\(-1\\) też jest domknięty. Prawy koniec \\(5\\) był otwarty (nawiasem okrągłym) → \\(6\\) też jest otwarty.\n\n## Sposób 2 - interpretacja geometryczna (przesunięcie wykresu)\n\nWzór \\(g(x) = f(x - 1)\\) oznacza **przesunięcie wykresu funkcji \\(f\\) o \\(1\\) jednostkę w prawo**.\n\nDziedzina to zbiór argumentów, dla których wykres istnieje. Po przesunięciu w prawo o \\(1\\) każdy punkt wykresu \\(f\\) przesuwa się o \\(1\\) w prawo, więc cała dziedzina też przesuwa się o \\(1\\) w prawo:\n\n\\[\\langle -2, 5) \\xrightarrow{+1} \\langle -2+1,\\; 5+1) = \\langle -1, 6)\\]\n\nWynik ten samo co w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji złożonej i rozwiązanie prostej nierówności liniowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\langle 0, 2)\\) - zupełnie inny zbiór, brak związku z przesunięciem; być może uczeń odczytał coś z wykresu bez żadnego obliczenia |\n| C | \\(\\langle -3, 4)\\) - odjęto \\(1\\) zamiast dodać (przesunięcie w **lewo** zamiast w prawo); błąd znaku: \\(g(x) = f(x+1)\\) dawałoby właśnie taki wynik |\n| D | \\(\\langle 1, 3)\\) - niezrozumienie wzoru; prawdopodobnie uczeń „przesunął\" tylko koniec przedziału lub pomylił którą wartość zmieniać |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x - 1)\\) to przesunięcie w **prawo** o \\(1\\), nie w lewo! Znak minus przy \\(x\\) w środku jest mylący - pamiętaj, że jeśli „odejmujesz od \\(x\\)\", wykres idzie w prawo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przesuwaniu dziedziny trzeba zachować typ nawiasów! Jeśli koniec przedziału był otwarty (np. \\(5\\)), to po przesunięciu też musi być otwarty (np. \\(6\\)). Nie zmieniaj nawiasów kwadratowych na okrągłe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl \\(g(x) = f(x-1)\\) z \\(g(x) = f(x) - 1\\). Pierwsze to przesunięcie poziome (dziedzina się zmienia!), drugie to przesunięcie pionowe (dziedzina zostaje ta sama, zmienia się tylko zbiór wartości).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie wzdłuż osi \\(Ox\\)\n\\(g(x) = f(x-1)\\) oznacza przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(1\\) jednostkę W PRAWO.\nDziedzina \\(f\\): \\(\\langle -2, 5)\\). Po przesunięciu: \\(\\langle -2+1, 5+1) = \\langle -1, 6)\\).\n\n### Sposób 2 - Warunek na dziedzinę\n\\(g(x) = f(x-1)\\) jest określona, gdy \\(x-1 \\in \\langle -2, 5)\\), czyli \\(-2 \\leq x-1 < 5\\), stąd \\(-1 \\leq x < 6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\langle 0,2)\\)** - bez związku z przesunięciem.\n- **C. \\(\\langle-3,4)\\)** - przesunięcie W LEWO (byłoby dla \\(f(x+1)\\)).\n- **D. \\(\\langle 1,3)\\)** - liczby nieodpowiadające dziedzinie.\n\n**Trik:** \\(f(x-c)\\) przesuwa wykres w PRAWO o \\(c\\); \\(f(x+c)\\) - w LEWO o \\(c\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej na zbiorze ⟨-2, 5).<br>Funkcja 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-1). Wykres<br>funkcji 𝑔 można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji 𝑓. Dziedziną<br>funkcji 𝑔 jest zbiór<br>A. ⟨0, 2)<br>B. ⟨-1, 6)<br>C. ⟨-3, 4)<br>D. ⟨1, 3)<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej na zbiorze &lt;-2,5). [rysunek] Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x-1). Wykres funkcji g można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji f. Dziedziną funkcji g jest zbiór A. &lt;0,2) B. &lt;-1,6) C. &lt;-3,4) D. &lt;1,3)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\langle -1, 6)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - przesunięcie dziedziny o 1 w prawo</h4>\n<p>Mamy \\(g(x) = f(x - 1)\\). Żeby \\(g(x)\\) było określone, argument funkcji \\(f\\) musi należeć do dziedziny \\(f\\).</p>\n<p><strong>Dziedzina \\(f\\):</strong> \\(\\langle -2, 5)\\), czyli warunek na argument to:<br>\\[-2 \\leq \\text{argument} &lt; 5\\]</p>\n<p>W \\(g(x) = f(x-1)\\) argumentem funkcji \\(f\\) jest \\((x - 1)\\). Wstawiamy:<br>\\[-2 \\leq x - 1 &lt; 5\\]</p>\n<p>Dodajemy \\(1\\) do każdej części nierówności:<br>\\[-2 + 1 \\leq x &lt; 5 + 1\\]<br>\\[\\boxed{-1 \\leq x &lt; 6}\\]</p>\n<p><strong>Dziedzina funkcji \\(g\\) to \\(\\langle -1, 6)\\).</strong></p>\n<p>Uwaga na nawiasy: lewy koniec \\(-2\\) był domknięty (nawiasem kwadratowym) → \\(-1\\) też jest domknięty. Prawy koniec \\(5\\) był otwarty (nawiasem okrągłym) → \\(6\\) też jest otwarty.</p>\n<h4>Sposób 2 - interpretacja geometryczna (przesunięcie wykresu)</h4>\n<p>Wzór \\(g(x) = f(x - 1)\\) oznacza <strong>przesunięcie wykresu funkcji \\(f\\) o \\(1\\) jednostkę w prawo</strong>.</p>\n<p>Dziedzina to zbiór argumentów, dla których wykres istnieje. Po przesunięciu w prawo o \\(1\\) każdy punkt wykresu \\(f\\) przesuwa się o \\(1\\) w prawo, więc cała dziedzina też przesuwa się o \\(1\\) w prawo:</p>\n<p>\\[\\langle -2, 5) \\xrightarrow{+1} \\langle -2+1,\\; 5+1) = \\langle -1, 6)\\]</p>\n<p>Wynik ten samo co w Sposobie 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji złożonej i rozwiązanie prostej nierówności liniowej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(\\langle 0, 2)\\) - zupełnie inny zbiór, brak związku z przesunięciem; być może uczeń odczytał coś z wykresu bez żadnego obliczenia |<br>| C | \\(\\langle -3, 4)\\) - odjęto \\(1\\) zamiast dodać (przesunięcie w <strong>lewo</strong> zamiast w prawo); błąd znaku: \\(g(x) = f(x+1)\\) dawałoby właśnie taki wynik |<br>| D | \\(\\langle 1, 3)\\) - niezrozumienie wzoru; prawdopodobnie uczeń „przesunął&quot; tylko koniec przedziału lub pomylił którą wartość zmieniać |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(g(x) = f(x - 1)\\) to przesunięcie w <strong>prawo</strong> o \\(1\\), nie w lewo! Znak minus przy \\(x\\) w środku jest mylący - pamiętaj, że jeśli „odejmujesz od \\(x\\)&quot;, wykres idzie w prawo.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy przesuwaniu dziedziny trzeba zachować typ nawiasów! Jeśli koniec przedziału był otwarty (np. \\(5\\)), to po przesunięciu też musi być otwarty (np. \\(6\\)). Nie zmieniaj nawiasów kwadratowych na okrągłe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie pomyl \\(g(x) = f(x-1)\\) z \\(g(x) = f(x) - 1\\). Pierwsze to przesunięcie poziome (dziedzina się zmienia!), drugie to przesunięcie pionowe (dziedzina zostaje ta sama, zmienia się tylko zbiór wartości).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przesunięcie wzdłuż osi \\(Ox\\)</h5>\n<p>\\(g(x) = f(x-1)\\) oznacza przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(1\\) jednostkę W PRAWO.<br>Dziedzina \\(f\\): \\(\\langle -2, 5)\\). Po przesunięciu: \\(\\langle -2+1, 5+1) = \\langle -1, 6)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Warunek na dziedzinę</h5>\n<p>\\(g(x) = f(x-1)\\) jest określona, gdy \\(x-1 \\in \\langle -2, 5)\\), czyli \\(-2 \\leq x-1 &lt; 5\\), stąd \\(-1 \\leq x &lt; 6\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\langle 0,2)\\)</strong> - bez związku z przesunięciem.</li><li><strong>C. \\(\\langle-3,4)\\)</strong> - przesunięcie W LEWO (byłoby dla \\(f(x+1)\\)).</li><li><strong>D. \\(\\langle 1,3)\\)</strong> - liczby nieodpowiadające dziedzinie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(f(x-c)\\) przesuwa wykres w PRAWO o \\(c\\); \\(f(x+c)\\) - w LEWO o \\(c\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wykres danej funkcji $f$ przesuwamy o $1$ jednostkę w prawo, a więc dziedziną funkcji $g$ jest zbiór $\\langle-1,6)$.</p>"}]}