{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDane są ciągi 𝑎𝑛= 3𝑛 oraz 𝑏𝑛= 4𝑛-2, określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nLiczba 10\nA. jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\nB. jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i nie jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\nC. nie jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\nD. nie jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i nie jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\n𝑦\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑥\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nDane są ciągi a_n=3n oraz b_n=4n-2, określone dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba 10 A. jest wyrazem ciągu (a_n) i jest wyrazem ciągu (b_n). B. jest wyrazem ciągu (a_n) i nie jest wyrazem ciągu (b_n). C. nie jest wyrazem ciągu (a_n) i jest wyrazem ciągu (b_n). D. nie jest wyrazem ciągu (a_n) i nie jest wyrazem ciągu (b_n).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nLiczba \\(10\\) **nie jest** wyrazem ciągu \\((a_n)\\) i **jest** wyrazem ciągu \\((b_n)\\).\n\n## Sposób 1 - sprawdzenie równania wprost\n\n**Badamy ciąg \\((a_n) = 3n\\):**\n\nPytamy: czy istnieje liczba naturalna \\(n \\geq 1\\) taka, że \\(3n = 10\\)?\n\n\\[3n = 10 \\implies n = \\frac{10}{3} \\approx 3{,}33\\ldots\\]\n\nWynik nie jest liczbą naturalną, więc **10 nie jest wyrazem ciągu \\((a_n)\\)**.\n\n**Badamy ciąg \\((b_n) = 4n - 2\\):**\n\nPytamy: czy istnieje liczba naturalna \\(n \\geq 1\\) taka, że \\(4n - 2 = 10\\)?\n\n\\[4n - 2 = 10\\]\n\\[4n = 12\\]\n\\[n = 3\\]\n\nWynik \\(n = 3\\) jest liczbą naturalną większą od \\(0\\), więc sprawdzamy:\n\n\\[b_3 = 4 \\cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10 \\checkmark\\]\n\n**10 jest wyrazem ciągu \\((b_n)\\)** - konkretnie trzecim.\n\n**Wniosek:** 10 nie należy do \\((a_n)\\), ale należy do \\((b_n)\\) → odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - analiza podzielności i parzystości\n\n**Ciąg \\((a_n) = 3n\\)** zawiera wyłącznie wielokrotności liczby 3:\n\\[3, 6, 9, 12, 15, \\ldots\\]\n\nLiczba \\(10\\) **nie jest wielokrotnością 3** (bo \\(10 = 3 \\cdot 3 + 1\\), czyli reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1), więc na pewno nie należy do \\((a_n)\\).\n\n**Ciąg \\((b_n) = 4n - 2\\)** można przepisać jako:\n\\[b_n = 2(2n - 1)\\]\n\nWyrazy tego ciągu to liczby parzyste **niebędące wielokrotnościami 4**:\n\\[2, 6, 10, 14, 18, \\ldots\\]\n\nLiczba \\(10 = 2 \\cdot 5 = 2(2 \\cdot 3 - 1)\\), co odpowiada \\(n = 3\\). Potwierdzamy: \\(10\\) **należy do \\((b_n)\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja wyrazu ogólnego ciągu i rozwiązanie prostego równania liniowego. Wzory na ciąg arytmetyczny (Dział 8, s. 9) mogą pomóc w zrozumieniu struktury ciągu, ale nie są niezbędne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń zakłada, że \\(10 \\div 3 = 3\\) (zaokrągla), i \"sprawdza\" \\(b_n\\) poprawnie - błędne sprawdzanie \\((a_n)\\) |\n| B | Uczeń poprawnie eliminuje \\((a_n)\\), ale przy \\((b_n)\\) popełnia błąd arytmetyczny (np. \\(4n = 10 \\Rightarrow n = 2{,}5\\) - zapomina odjąć 2 przed podziałem) |\n| D | Uczeń popełnia błąd przy obu ciągach - np. rozwiązuje \\(4n = 10\\) zamiast \\(4n - 2 = 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzając przynależność do ciągu, musisz otrzymać **liczbę naturalną** \\(n \\geq 1\\). Wynik \\(n = 2{,}5\\) lub \\(n = 0\\) oznacza, że liczba **nie jest** wyrazem ciągu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy ciągu \\(b_n = 4n - 2\\) łatwo zapomnieć o odjęciu \\(2\\) i rozwiązać \\(4n = 10\\) zamiast \\(4n - 2 = 10\\) - to prowadzi prosto do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie sprawdzaj \"na oko\" - zawsze zapisz równanie i je rozwiąż. Liczba \\(12 = 3 \\cdot 4\\) należy do \\((a_n)\\), a \\(10\\) już nie, choć obydwie są zbliżone.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Sprawdzenie równań dla \\(n\\in\\mathbb{N}_+\\)\n\\(a_n=10\\): \\(3n=10 \\Rightarrow n=\\tfrac{10}{3}\\notin\\mathbb{N}_+\\). Nie jest wyrazem \\((a_n)\\).\n\\(b_n=10\\): \\(4n-2=10 \\Rightarrow n=3\\in\\mathbb{N}_+\\). JEST wyrazem \\((b_n)\\), konkretnie \\(b_3\\).\n\n### Sposób 2 - Wypisanie pierwszych wyrazów\n\\((a_n): 3, 6, 9, 12, 15, \\ldots\\) - brak 10.\n\\((b_n): 2, 6, 10, 14, \\ldots\\) - 10 występuje (trzeci wyraz).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - błędnie twierdzą, że \\(10\\in(a_n)\\).\n- **D** - błędnie odrzuca \\(10\\) z \\((b_n)\\).\n\n**Trik:** by sprawdzić, czy \\(k\\) jest wyrazem, rozwiąż \\(k = \\text{wzór}\\) i sprawdź, czy \\(n\\) jest dodatnią liczbą całkowitą.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Dane są ciągi 𝑎𝑛= 3𝑛 oraz 𝑏𝑛= 4𝑛-2, określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Liczba 10
A. jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).
B. jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i nie jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).
C. nie jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).
D. nie jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i nie jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).
𝑦
5
4
3
2
1
-1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑥
𝑦= 𝑓(𝑥)

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Dane są ciągi a_n=3n oraz b_n=4n-2, określone dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba 10 A. jest wyrazem ciągu (a_n) i jest wyrazem ciągu (b_n). B. jest wyrazem ciągu (a_n) i nie jest wyrazem ciągu (b_n). C. nie jest wyrazem ciągu (a_n) i jest wyrazem ciągu (b_n). D. nie jest wyrazem ciągu (a_n) i nie jest wyrazem ciągu (b_n).

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Liczba \\(10\\) nie jest wyrazem ciągu \\((a_n)\\) i jest wyrazem ciągu \\((b_n)\\).

\n

Sposób 1 - sprawdzenie równania wprost

\n

Badamy ciąg \\((a_n) = 3n\\):

\n

Pytamy: czy istnieje liczba naturalna \\(n \\geq 1\\) taka, że \\(3n = 10\\)?

\n

\\[3n = 10 \\implies n = \\frac{10}{3} \\approx 3{,}33\\ldots\\]

\n

Wynik nie jest liczbą naturalną, więc 10 nie jest wyrazem ciągu \\((a_n)\\).

\n

Badamy ciąg \\((b_n) = 4n - 2\\):

\n

Pytamy: czy istnieje liczba naturalna \\(n \\geq 1\\) taka, że \\(4n - 2 = 10\\)?

\n

\\[4n - 2 = 10\\]
\\[4n = 12\\]
\\[n = 3\\]

\n

Wynik \\(n = 3\\) jest liczbą naturalną większą od \\(0\\), więc sprawdzamy:

\n

\\[b_3 = 4 \\cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10 \\checkmark\\]

\n

10 jest wyrazem ciągu \\((b_n)\\) - konkretnie trzecim.

\n

Wniosek: 10 nie należy do \\((a_n)\\), ale należy do \\((b_n)\\) → odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - analiza podzielności i parzystości

\n

Ciąg \\((a_n) = 3n\\) zawiera wyłącznie wielokrotności liczby 3:
\\[3, 6, 9, 12, 15, \\ldots\\]

\n

Liczba \\(10\\) nie jest wielokrotnością 3 (bo \\(10 = 3 \\cdot 3 + 1\\), czyli reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1), więc na pewno nie należy do \\((a_n)\\).

\n

Ciąg \\((b_n) = 4n - 2\\) można przepisać jako:
\\[b_n = 2(2n - 1)\\]

\n

Wyrazy tego ciągu to liczby parzyste niebędące wielokrotnościami 4:
\\[2, 6, 10, 14, 18, \\ldots\\]

\n

Liczba \\(10 = 2 \\cdot 5 = 2(2 \\cdot 3 - 1)\\), co odpowiada \\(n = 3\\). Potwierdzamy: \\(10\\) należy do \\((b_n)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja wyrazu ogólnego ciągu i rozwiązanie prostego równania liniowego. Wzory na ciąg arytmetyczny (Dział 8, s. 9) mogą pomóc w zrozumieniu struktury ciągu, ale nie są niezbędne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń zakłada, że \\(10 \\div 3 = 3\\) (zaokrągla), i "sprawdza" \\(b_n\\) poprawnie - błędne sprawdzanie \\((a_n)\\) |
| B | Uczeń poprawnie eliminuje \\((a_n)\\), ale przy \\((b_n)\\) popełnia błąd arytmetyczny (np. \\(4n = 10 \\Rightarrow n = 2{,}5\\) - zapomina odjąć 2 przed podziałem) |
| D | Uczeń popełnia błąd przy obu ciągach - np. rozwiązuje \\(4n = 10\\) zamiast \\(4n - 2 = 10\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Sprawdzając przynależność do ciągu, musisz otrzymać liczbę naturalną \\(n \\geq 1\\). Wynik \\(n = 2{,}5\\) lub \\(n = 0\\) oznacza, że liczba nie jest wyrazem ciągu!
\n
⚠️ Uwaga: Przy ciągu \\(b_n = 4n - 2\\) łatwo zapomnieć o odjęciu \\(2\\) i rozwiązać \\(4n = 10\\) zamiast \\(4n - 2 = 10\\) - to prowadzi prosto do odpowiedzi D.
\n
⚠️ Uwaga: Nie sprawdzaj "na oko" - zawsze zapisz równanie i je rozwiąż. Liczba \\(12 = 3 \\cdot 4\\) należy do \\((a_n)\\), a \\(10\\) już nie, choć obydwie są zbliżone.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Sprawdzenie równań dla \\(n\\in\\mathbb{N}_+\\)
\n

\\(a_n=10\\): \\(3n=10 \\Rightarrow n=\\tfrac{10}{3}\\notin\\mathbb{N}_+\\). Nie jest wyrazem \\((a_n)\\).
\\(b_n=10\\): \\(4n-2=10 \\Rightarrow n=3\\in\\mathbb{N}_+\\). JEST wyrazem \\((b_n)\\), konkretnie \\(b_3\\).

\n
Sposób 2 - Wypisanie pierwszych wyrazów
\n

\\((a_n): 3, 6, 9, 12, 15, \\ldots\\) - brak 10.
\\((b_n): 2, 6, 10, 14, \\ldots\\) - 10 występuje (trzeci wyraz).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: by sprawdzić, czy \\(k\\) jest wyrazem, rozwiąż \\(k = \\text{wzór}\\) i sprawdź, czy \\(n\\) jest dodatnią liczbą całkowitą.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, liczba $10$ nie jest wyrazem ciągu $(a_n)$, ponieważ $10$ nie jest wielokrotnością $3$, a jest wyrazem ciągu $(b_n)$, gdyż $b_3 = 4\\cdot 3 - 2 = 10$.

"}]}