{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Drugi\nwyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (𝑎𝑛) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych\nwyrazów tego ciągu jest równa\nA. 1\nB. 11\nC. 21\nD. 31\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (a_n) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. 1 B. 11 C. 21 D. 31","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(31\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwszego wyrazu i wzór na sumę\n\n**Dane z treści zadania:**\n- \\(a_2 = 2\\)\n- iloraz \\(q = 2\\)\n\n**Krok 1: Znajdź pierwszy wyraz \\(a_1\\).**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = a_1 \\cdot 2 = 2\\]\n\\[a_1 = 1\\]\n\n**Krok 2: Oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów.**\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \\(q \\neq 1\\)):\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 1\\), \\(q = 2\\), \\(n = 5\\):\n\\[S_5 = 1 \\cdot \\frac{1 - 2^5}{1 - 2} = \\frac{1 - 32}{-1} = \\frac{-31}{-1} = \\mathbf{31}\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie wyrazów i zsumowanie wprost\n\nSkoro \\(a_1 = 1\\) i \\(q = 2\\), kolejne wyrazy to:\n\n| \\(n\\) | \\(a_n = 1 \\cdot 2^{n-1}\\) | wartość |\n| 1 | \\(2^0\\) | \\(1\\) |\n| 2 | \\(2^1\\) | \\(2\\) |\n| 3 | \\(2^2\\) | \\(4\\) |\n| 4 | \\(2^3\\) | \\(8\\) |\n| 5 | \\(2^4\\) | \\(16\\) |\n\nSuma:\n\\[S_5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = \\mathbf{31}\\]\n\nWynik zgodny z Podejściem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_1\\) z warunku \\(a_2 = 2\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(S_5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((1)\\) | Uczeń mylnie uznaje, że \\(a_1 = 1\\) jest od razu odpowiedzią - zapomina o poleceniu „suma pięciu wyrazów\" |\n| B \\((11)\\) | Błędne założenie \\(q = 1\\) i suma \\(5 \\cdot a_2 = 10\\), lub pominięcie wyrazu \\(a_1\\) i policzenie \\(2+4+8+16 = 30\\) zaokrąglone \"w dół\" |\n| C \\((21)\\) | Policzenie sumy tylko czterech wyrazów: \\(1+2+4+8+16\\) ale z pomyłką na \\(a_4 = 8\\) zamiast pięciu, lub przyjęcie \\(a_1 = 2\\) i sumy \\(2+4+8+16 = 30\\) z błędem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi o **drugim** wyrazie, nie pierwszym. Musimy cofnąć się o jeden krok: \\(a_1 = \\frac{a_2}{q}\\). Mylenie \\(a_1\\) z \\(a_2\\) to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(S_5\\) dla \\(q = 2\\) mianownik \\(1 - q = -1\\) - pamiętaj, że dzielenie przez \\(-1\\) zmienia znak. Łatwo tu o błąd przy upraszczaniu ułamka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź metodą „na piechotę\" (wypisz wyrazy i dodaj) - to zajmuje 30 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego (karta wzorów)\n\\(a_2 = a_1\\cdot q = 2\\) i \\(q=2\\), więc \\(a_1 = 1\\).\nWypisujemy: \\(1, 2, 4, 8, 16\\). Suma: \\(1+2+4+8+16 = 31\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(S_n = a_1\\cdot\\dfrac{q^n - 1}{q-1}\\)\n\\(S_5 = 1\\cdot\\dfrac{2^5 - 1}{2-1} = \\dfrac{31}{1} = 31\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - tylko \\(a_1\\).\n- **B. \\(11\\)** - suma pierwszych czterech wyrazów byłaby \\(15\\), też nie.\n- **C. \\(21\\)** - pomyłka \\(16+5\\) lub podobnej natury.\n\n**Trik:** dla \\(q=2\\) suma potęg \\(1+2+4+\\ldots+2^{n-1} = 2^n - 1\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Dany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Drugi<br>wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (𝑎𝑛) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych<br>wyrazów tego ciągu jest równa<br>A. 1<br>B. 11<br>C. 21<br>D. 31<br>Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (a_n) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. 1 B. 11 C. 21 D. 31</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(31\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie pierwszego wyrazu i wzór na sumę</h4>\n<p><strong>Dane z treści zadania:</strong></p>\n<ul><li>\\(a_2 = 2\\)</li><li>iloraz \\(q = 2\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź pierwszy wyraz \\(a_1\\).</strong></p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(n = 2\\):<br>\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = a_1 \\cdot 2 = 2\\]<br>\\[a_1 = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów.</strong></p>\n<p>Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \\(q \\neq 1\\)):<br>\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a_1 = 1\\), \\(q = 2\\), \\(n = 5\\):<br>\\[S_5 = 1 \\cdot \\frac{1 - 2^5}{1 - 2} = \\frac{1 - 32}{-1} = \\frac{-31}{-1} = \\mathbf{31}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wypisanie wyrazów i zsumowanie wprost</h4>\n<p>Skoro \\(a_1 = 1\\) i \\(q = 2\\), kolejne wyrazy to:</p>\n<p>| \\(n\\) | \\(a_n = 1 \\cdot 2^{n-1}\\) | wartość |<br>| 1 | \\(2^0\\) | \\(1\\) |<br>| 2 | \\(2^1\\) | \\(2\\) |<br>| 3 | \\(2^2\\) | \\(4\\) |<br>| 4 | \\(2^3\\) | \\(8\\) |<br>| 5 | \\(2^4\\) | \\(16\\) |</p>\n<p>Suma:<br>\\[S_5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = \\mathbf{31}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Podejściem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong></p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia \\(a_1\\) z warunku \\(a_2 = 2\\).</p>\n<p>Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:<br>\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(S_5\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((1)\\) | Uczeń mylnie uznaje, że \\(a_1 = 1\\) jest od razu odpowiedzią - zapomina o poleceniu „suma pięciu wyrazów&quot; |<br>| B \\((11)\\) | Błędne założenie \\(q = 1\\) i suma \\(5 \\cdot a_2 = 10\\), lub pominięcie wyrazu \\(a_1\\) i policzenie \\(2+4+8+16 = 30\\) zaokrąglone &quot;w dół&quot; |<br>| C \\((21)\\) | Policzenie sumy tylko czterech wyrazów: \\(1+2+4+8+16\\) ale z pomyłką na \\(a_4 = 8\\) zamiast pięciu, lub przyjęcie \\(a_1 = 2\\) i sumy \\(2+4+8+16 = 30\\) z błędem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie mówi o <strong>drugim</strong> wyrazie, nie pierwszym. Musimy cofnąć się o jeden krok: \\(a_1 = \\frac{a_2}{q}\\). Mylenie \\(a_1\\) z \\(a_2\\) to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(S_5\\) dla \\(q = 2\\) mianownik \\(1 - q = -1\\) - pamiętaj, że dzielenie przez \\(-1\\) zmienia znak. Łatwo tu o błąd przy upraszczaniu ułamka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdź metodą „na piechotę&quot; (wypisz wyrazy i dodaj) - to zajmuje 30 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(a_2 = a_1\\cdot q = 2\\) i \\(q=2\\), więc \\(a_1 = 1\\).<br>Wypisujemy: \\(1, 2, 4, 8, 16\\). Suma: \\(1+2+4+8+16 = 31\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór \\(S_n = a_1\\cdot\\dfrac{q^n - 1}{q-1}\\)</h5>\n<p>\\(S_5 = 1\\cdot\\dfrac{2^5 - 1}{2-1} = \\dfrac{31}{1} = 31\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(1\\)</strong> - tylko \\(a_1\\).</li><li><strong>B. \\(11\\)</strong> - suma pierwszych czterech wyrazów byłaby \\(15\\), też nie.</li><li><strong>C. \\(21\\)</strong> - pomyłka \\(16+5\\) lub podobnej natury.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla \\(q=2\\) suma potęg \\(1+2+4+\\ldots+2^{n-1} = 2^n - 1\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wiemy że $q=2$ oraz $a_2=2$, a zatem $a_1=2:2=1$. Możemy łatwo wyznaczyć kolejne wyrazy: $a_3=2\\cdot2=4, \\; a_4=4\\cdot2=8\\; a_5=8\\cdot2=16$. Ich suma jest równa $1+2+4+8+16=31$.</p>"}]}