{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nW ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile\nguzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny\npracują z taką samą, stałą wydajnością.\nA. 800\nB. 900\nC. 1000\nD. 1500\nW ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością. A. 800 B. 900 C. 1000 D. 1500","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(1000\\) guzików\n\n## Sposób 1 - wydajność jednej maszyny\n\n**Krok 1: Wydajność 3 maszyn razem**\n\n3 maszyny w 2 godzinach produkują 1200 guzików, więc:\n\n\\[\\text{wydajność 3 maszyn} = \\frac{1200}{2} = 600 \\text{ guzików/h}\\]\n\n**Krok 2: Wydajność 1 maszyny**\n\n\\[\\text{wydajność 1 maszyny} = \\frac{600}{3} = 200 \\text{ guzików/h}\\]\n\n**Krok 3: Wydajność 5 maszyn**\n\n\\[\\text{wydajność 5 maszyn} = 5 \\cdot 200 = \\mathbf{1000} \\text{ guzików/h}\\]\n\n## Sposób 2 - proporcja bezpośrednia\n\nProdukcja jest wprost proporcjonalna do liczby maszyn i czasu pracy.\n\nŁączna liczba **maszynogodzin** w zadaniu wyjściowym:\n\\[3 \\text{ maszyny} \\times 2 \\text{ h} = 6 \\text{ maszynogodzin} \\to 1200 \\text{ guzików}\\]\n\nZapytanie dotyczy:\n\\[5 \\text{ maszyn} \\times 1 \\text{ h} = 5 \\text{ maszynogodzin}\\]\n\nProporcja:\n\\[\\frac{x}{1200} = \\frac{5}{6}\\]\n\\[x = 1200 \\cdot \\frac{5}{6} = \\frac{6000}{6} = \\mathbf{1000} \\text{ guzików}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy proporcjonalność prosta i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((800)\\) | Podzielono 1200 przez 3 maszyny, otrzymano 400 na maszynę w 2h, ale potem pomnożono przez 2 zamiast przez 5; lub inne błędne przestawienie proporcji |\n| B \\((900)\\) | Prawdopodobnie błąd arytmetyczny przy obliczaniu ułamka \\(\\frac{5}{6} \\cdot 1200\\), np. użyto \\(\\frac{3}{4}\\) zamiast \\(\\frac{5}{6}\\) |\n| D \\((1500)\\) | Wzięto 1200 i pomnożono przez \\(\\frac{5}{4}\\) lub pomylono kierunek proporcji (np. więcej maszyn → więcej guzików, ale zapomniano o krótszym czasie - tu czas jest KRÓTSZY, więc wynik powinien być MNIEJSZY niż 1200) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas pracy w pytaniu jest krótszy (1h zamiast 2h), więc wynik MUSI być mniejszy niż 1200 - odpowiedzi D można natychmiast odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mamy dwie zmienne naraz: liczbę maszyn i czas. Nie wolno zmieniać tylko jednej i zapomnieć o drugiej. Najspokojensze podejście to policzyć wydajność jednej maszyny w jednej godzinie (Sposób 1).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pojęcie „maszynogodziny\" (Sposób 2) jest bardzo przydatne - sprowadza problem do jednej proporcji i eliminuje ryzyko pomylenia zmiennych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wydajność na maszynę na godzinę\n\\(3\\) maszyny \\(\\times\\) \\(2\\) godz \\(= 6\\) maszynogodzin daje \\(1200\\) guzików.\nJedna maszyna w ciągu godziny: \\(\\dfrac{1200}{6} = 200\\) guzików.\n\\(5\\) maszyn w \\(1\\) godz: \\(5\\cdot 200 = 1000\\).\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nW ciągu 2 godz 3 maszyny → 1200. W ciągu 1 godz 3 maszyny → 600. Dla 5 maszyn: \\(\\dfrac{600}{3}\\cdot 5 = 1000\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(800\\)** - pomyłka: \\(1200\\cdot \\tfrac{2}{3}\\), błędne podejście.\n- **B. \\(900\\)** - nie odzwierciedla zwiększonej liczby maszyn.\n- **D. \\(1500\\)** - pomyłka: pomnożono \\(1200\\) przez \\(\\tfrac{5}{4}\\) zamiast \\(\\tfrac{5}{6}\\).\n\n**Trik:** zamień zadanie na \"maszynogodziny\" - to zwykle upraszcza arytmetykę.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile<br>guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny<br>pracują z taką samą, stałą wydajnością.<br>A. 800<br>B. 900<br>C. 1000<br>D. 1500<br>W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością. A. 800 B. 900 C. 1000 D. 1500</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(1000\\) guzików</h4>\n<h4>Sposób 1 - wydajność jednej maszyny</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wydajność 3 maszyn razem</strong></p>\n<p>3 maszyny w 2 godzinach produkują 1200 guzików, więc:</p>\n<p>\\[\\text{wydajność 3 maszyn} = \\frac{1200}{2} = 600 \\text{ guzików/h}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wydajność 1 maszyny</strong></p>\n<p>\\[\\text{wydajność 1 maszyny} = \\frac{600}{3} = 200 \\text{ guzików/h}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wydajność 5 maszyn</strong></p>\n<p>\\[\\text{wydajność 5 maszyn} = 5 \\cdot 200 = \\mathbf{1000} \\text{ guzików/h}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - proporcja bezpośrednia</h4>\n<p>Produkcja jest wprost proporcjonalna do liczby maszyn i czasu pracy.</p>\n<p>Łączna liczba <strong>maszynogodzin</strong> w zadaniu wyjściowym:<br>\\[3 \\text{ maszyny} \\times 2 \\text{ h} = 6 \\text{ maszynogodzin} \\to 1200 \\text{ guzików}\\]</p>\n<p>Zapytanie dotyczy:<br>\\[5 \\text{ maszyn} \\times 1 \\text{ h} = 5 \\text{ maszynogodzin}\\]</p>\n<p>Proporcja:<br>\\[\\frac{x}{1200} = \\frac{5}{6}\\]<br>\\[x = 1200 \\cdot \\frac{5}{6} = \\frac{6000}{6} = \\mathbf{1000} \\text{ guzików}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy proporcjonalność prosta i podstawowe działania arytmetyczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((800)\\) | Podzielono 1200 przez 3 maszyny, otrzymano 400 na maszynę w 2h, ale potem pomnożono przez 2 zamiast przez 5; lub inne błędne przestawienie proporcji |<br>| B \\((900)\\) | Prawdopodobnie błąd arytmetyczny przy obliczaniu ułamka \\(\\frac{5}{6} \\cdot 1200\\), np. użyto \\(\\frac{3}{4}\\) zamiast \\(\\frac{5}{6}\\) |<br>| D \\((1500)\\) | Wzięto 1200 i pomnożono przez \\(\\frac{5}{4}\\) lub pomylono kierunek proporcji (np. więcej maszyn → więcej guzików, ale zapomniano o krótszym czasie - tu czas jest KRÓTSZY, więc wynik powinien być MNIEJSZY niż 1200) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Czas pracy w pytaniu jest krótszy (1h zamiast 2h), więc wynik MUSI być mniejszy niż 1200 - odpowiedzi D można natychmiast odrzucić.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mamy dwie zmienne naraz: liczbę maszyn i czas. Nie wolno zmieniać tylko jednej i zapomnieć o drugiej. Najspokojensze podejście to policzyć wydajność jednej maszyny w jednej godzinie (Sposób 1).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pojęcie „maszynogodziny&quot; (Sposób 2) jest bardzo przydatne - sprowadza problem do jednej proporcji i eliminuje ryzyko pomylenia zmiennych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wydajność na maszynę na godzinę</h5>\n<p>\\(3\\) maszyny \\(\\times\\) \\(2\\) godz \\(= 6\\) maszynogodzin daje \\(1200\\) guzików.<br>Jedna maszyna w ciągu godziny: \\(\\dfrac{1200}{6} = 200\\) guzików.<br>\\(5\\) maszyn w \\(1\\) godz: \\(5\\cdot 200 = 1000\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Proporcja</h5>\n<p>W ciągu 2 godz 3 maszyny → 1200. W ciągu 1 godz 3 maszyny → 600. Dla 5 maszyn: \\(\\dfrac{600}{3}\\cdot 5 = 1000\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(800\\)</strong> - pomyłka: \\(1200\\cdot \\tfrac{2}{3}\\), błędne podejście.</li><li><strong>B. \\(900\\)</strong> - nie odzwierciedla zwiększonej liczby maszyn.</li><li><strong>D. \\(1500\\)</strong> - pomyłka: pomnożono \\(1200\\) przez \\(\\tfrac{5}{4}\\) zamiast \\(\\tfrac{5}{6}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zamień zadanie na &quot;maszynogodziny&quot; - to zwykle upraszcza arytmetykę.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, trzy maszyny w jedną godzinę zrobią $1200:2=600$ guzików. Jedna maszyna w ciągu godziny zrobi $600:3=200$ guzików. Pięć maszyn w ciągu godziny wyprodukuje $5\\cdot200=1000$ guzików.</p>"}]}