{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPrzyprostokątna 𝐴𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 ma długość 6, a przeciwprostokątna 𝐴𝐵\nma długość 3√5. Wtedy tangens kąta ostrego 𝐶𝐴𝐵 tego trójkąta jest równy\nA.\n√5\n5\nB. 2√5\n5\nC. 1\n2\nD. 2\nPrzyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a przeciwprostokątna AB ma długość 3√5. Wtedy tangens kąta ostrego CAB tego trójkąta jest równy A. √5/5 B. 2√5/5 C. 1/2 D. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + definicja tangensa\n\nKąt prosty w trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) leży przy wierzchołku \\(C\\) (bo \\(AB\\) jest przeciwprostokątną). Znamy:\n- \\(AC = 6\\) (przyprostokątna przy kącie \\(A\\))\n- \\(AB = 3\\sqrt{5}\\) (przeciwprostokątna)\n\n**Szukamy brakującej przyprostokątnej \\(BC\\)** - z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[BC^2 = AB^2 - AC^2 = (3\\sqrt{5})^2 - 6^2 = 45 - 36 = 9\\]\n\n\\[BC = 3\\]\n\nTeraz korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Kąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\), więc:\n\n- **przyprostokątna naprzeciwległa** do kąta \\(A\\): \\(BC = 3\\)\n- **przyprostokątna przyległa** do kąta \\(A\\): \\(AC = 6\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}(CAB) = \\frac{BC}{AC} = \\frac{3}{6} = \\boxed{\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez sinus i cosinus\n\nZamiast bezpośrednio z definicji tangensa, wyznaczamy najpierw \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) kąta \\(A\\):\n\n\\[\\sin(CAB) = \\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{3\\sqrt{5}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[\\cos(CAB) = \\frac{AC}{AB} = \\frac{6}{3\\sqrt{5}} = \\frac{2}{\\sqrt{5}} = \\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\]\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}(CAB) = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}}{\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{5}{2\\sqrt{5}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\operatorname{tg}(CAB) = \\dfrac{1}{2}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}}\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy } \\gamma = 90°)\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia długości \\(BC\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - związek tangensa z sinusem i cosinusem:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd |\n| **A** | \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\) | To **sinus** kąta \\(A\\): \\(\\sin(CAB) = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\). Uczeń mylnie podaje \\(\\sin\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}\\). |\n| **B** | \\(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\) | To **cosinus** kąta \\(A\\): \\(\\cos(CAB) = \\dfrac{AC}{AB} = \\dfrac{6}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\). Uczeń mylnie podaje \\(\\cos\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}\\). |\n| **D** | \\(2\\) | To tangens **drugiego** kąta ostrego, czyli \\(\\operatorname{tg}(ABC) = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{6}{3} = 2\\). Uczeń odwrócił stosunek (przyległa ÷ naprzeciwległa zamiast odwrotnie) lub policzył tangens złego kąta. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tangens to **naprzeciwległa przez przylegającą** - nie odwrotnie! Tutaj naprzeciwległą do kąta \\(A\\) jest \\(BC = 3\\), a przylegającą \\(AC = 6\\). Zamiana tych boków daje wynik \\(2\\) - częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i B to \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) tego samego kąta. Jeśli spieszysz się i liczysz wszystkie funkcje trygonometryczne razem, łatwo wziąć złą z tabeli.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze zaznacz na rysunku, który kąt liczymy - kąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\), co od razu wskazuje, które boki są \"naprzeciwległy\" i \"przyległy\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Druga przyprostokątna z tw. Pitagorasa (karta wzorów)\nPrzeciwprostokątna: \\(AB = 3\\sqrt{5}\\), więc \\(AB^2 = 45\\). Przyprostokątna \\(AC = 6\\), \\(AC^2 = 36\\).\n\\(BC^2 = AB^2 - AC^2 = 45 - 36 = 9 \\Rightarrow BC = 3\\).\n\\(\\tan(\\angle CAB) = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Definicja tangensa\nKąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\); naprzeciw leży \\(BC\\), przy boku - \\(AC\\).\n\\(\\tan = \\dfrac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}} = \\dfrac{BC}{AC}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)** - \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5} = \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}\\), nie pasuje.\n- **B. \\(\\tfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\)** - \\(\\sin\\) tego kąta, nie \\(\\tan\\).\n- **D. \\(2\\)** - odwrotność, \\(\\tan\\) przy \\(B\\), nie \\(A\\).\n\n**Trik:** najpierw znajdź wszystkie trzy boki, potem wybierz właściwą parę do tangensa.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Przyprostokątna 𝐴𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 ma długość 6, a przeciwprostokątna 𝐴𝐵<br>ma długość 3√5. Wtedy tangens kąta ostrego 𝐶𝐴𝐵 tego trójkąta jest równy<br>A.<br>√5<br>5<br>B. 2√5<br>5<br>C. 1<br>2<br>D. 2<br>Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a przeciwprostokątna AB ma długość 3√5. Wtedy tangens kąta ostrego CAB tego trójkąta jest równy A. √5/5 B. 2√5/5 C. 1/2 D. 2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{1}{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + definicja tangensa</h4>\n<p>Kąt prosty w trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) leży przy wierzchołku \\(C\\) (bo \\(AB\\) jest przeciwprostokątną). Znamy:</p>\n<ul><li>\\(AC = 6\\) (przyprostokątna przy kącie \\(A\\))</li><li>\\(AB = 3\\sqrt{5}\\) (przeciwprostokątna)</li></ul>\n<p><strong>Szukamy brakującej przyprostokątnej \\(BC\\)</strong> - z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>\\[BC^2 = AB^2 - AC^2 = (3\\sqrt{5})^2 - 6^2 = 45 - 36 = 9\\]</p>\n<p>\\[BC = 3\\]</p>\n<p>Teraz korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Kąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\), więc:</p>\n<ul><li><strong>przyprostokątna naprzeciwległa</strong> do kąta \\(A\\): \\(BC = 3\\)</li><li><strong>przyprostokątna przyległa</strong> do kąta \\(A\\): \\(AC = 6\\)</li></ul>\n<p>\\[\\operatorname{tg}(CAB) = \\frac{BC}{AC} = \\frac{3}{6} = \\boxed{\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez sinus i cosinus</h4>\n<p>Zamiast bezpośrednio z definicji tangensa, wyznaczamy najpierw \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) kąta \\(A\\):</p>\n<p>\\[\\sin(CAB) = \\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{3\\sqrt{5}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p>\\[\\cos(CAB) = \\frac{AC}{AB} = \\frac{6}{3\\sqrt{5}} = \\frac{2}{\\sqrt{5}} = \\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}(CAB) = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}}{\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{5}{2\\sqrt{5}} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>\\(\\operatorname{tg}(CAB) = \\dfrac{1}{2}\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}}\\]<br>Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy } \\gamma = 90°)\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia długości \\(BC\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - związek tangensa z sinusem i cosinusem:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Błąd |<br>| <strong>A</strong> | \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\) | To <strong>sinus</strong> kąta \\(A\\): \\(\\sin(CAB) = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\). Uczeń mylnie podaje \\(\\sin\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}\\). |<br>| <strong>B</strong> | \\(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\) | To <strong>cosinus</strong> kąta \\(A\\): \\(\\cos(CAB) = \\dfrac{AC}{AB} = \\dfrac{6}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\). Uczeń mylnie podaje \\(\\cos\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}\\). |<br>| <strong>D</strong> | \\(2\\) | To tangens <strong>drugiego</strong> kąta ostrego, czyli \\(\\operatorname{tg}(ABC) = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{6}{3} = 2\\). Uczeń odwrócił stosunek (przyległa ÷ naprzeciwległa zamiast odwrotnie) lub policzył tangens złego kąta. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tangens to <strong>naprzeciwległa przez przylegającą</strong> - nie odwrotnie! Tutaj naprzeciwległą do kąta \\(A\\) jest \\(BC = 3\\), a przylegającą \\(AC = 6\\). Zamiana tych boków daje wynik \\(2\\) - częsty błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedzi A i B to \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) tego samego kąta. Jeśli spieszysz się i liczysz wszystkie funkcje trygonometryczne razem, łatwo wziąć złą z tabeli.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze zaznacz na rysunku, który kąt liczymy - kąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\), co od razu wskazuje, które boki są &quot;naprzeciwległy&quot; i &quot;przyległy&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Druga przyprostokątna z tw. Pitagorasa (karta wzorów)</h5>\n<p>Przeciwprostokątna: \\(AB = 3\\sqrt{5}\\), więc \\(AB^2 = 45\\). Przyprostokątna \\(AC = 6\\), \\(AC^2 = 36\\).<br>\\(BC^2 = AB^2 - AC^2 = 45 - 36 = 9 \\Rightarrow BC = 3\\).<br>\\(\\tan(\\angle CAB) = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Definicja tangensa</h5>\n<p>Kąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\); naprzeciw leży \\(BC\\), przy boku - \\(AC\\).<br>\\(\\tan = \\dfrac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}} = \\dfrac{BC}{AC}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)</strong> - \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5} = \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}\\), nie pasuje.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\)</strong> - \\(\\sin\\) tego kąta, nie \\(\\tan\\).</li><li><strong>D. \\(2\\)</strong> - odwrotność, \\(\\tan\\) przy \\(B\\), nie \\(A\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> najpierw znajdź wszystkie trzy boki, potem wybierz właściwą parę do tangensa.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej: $|BC|=\\sqrt{(3\\sqrt5)^2-6^2}=3$.<br>Tangens to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwko danego kąta do długości drugiej przyprostokątnej, a więc $\\displaystyle \\small \\tan(\\sphericalangle CAB)=\\frac{3}{6}=\\frac12$.</p>"}]}