{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nWierzchołki 𝐴, 𝐵, 𝐶 czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑆. Kąt 𝐴𝐵𝑆 ma\nmiarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna 𝐵𝐶 jest dwusieczną tego kąta.\nMiara kąta 𝐴𝑆𝐶 jest równa\nA. 30°\nB. 40°\nC. 50°\nD. 60°\nWierzchołki A, B, C czworokąta ABSC leżą na okręgu o środku S. Kąt ABS ma miarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna BC jest dwusieczną tego kąta. [rysunek] Miara kąta ASC jest równa A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (40°)\n\n## Sposób 1 - Izoscele trójkąty i odejmowanie kątów środkowych\n\n**Co wiemy:** \\(S\\) to środek okręgu, więc \\(SA = SB = SC = r\\) - trójkąty \\(SAB\\) i \\(SBC\\) są **równoramienne**.\n\n**Krok 1 - Kąt \\(ASB\\)**\n\nW trójkącie \\(SAB\\): \\(SA = SB\\), więc jest równoramienny. Kąt przy podstawie:\n\\[\\angle SBA = 40°\\]\nZatem kąt przy drugiej podstawie też wynosi \\(40°\\):\n\\[\\angle SAB = 40°\\]\nKąt środkowy \\(\\angle ASB\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 40° - 40° = 100°\\]\n\n**Krok 2 - Kąt \\(BSC\\)**\n\n\\(BC\\) jest dwusieczną kąta \\(ABS = 40°\\), więc dzieli go na dwa równe kąty:\n\\[\\angle CBS = \\frac{40°}{2} = 20°\\]\nW trójkącie \\(SBC\\): \\(SB = SC\\), więc jest równoramienny. Kąt przy podstawie:\n\\[\\angle SBC = 20° \\Rightarrow \\angle SCB = 20°\\]\nKąt środkowy \\(\\angle BSC\\):\n\\[\\angle BSC = 180° - 20° - 20° = 140°\\]\n\n**Krok 3 - Kąt \\(ASC\\)**\n\nZ rysunku widać, że punkt \\(A\\) leży **na łuku \\(BC\\)** (między \\(B\\) a \\(C\\) na okręgu). Oznacza to, że kąt \\(\\angle BSC\\) jest sumą kątów \\(\\angle BSA\\) i \\(\\angle ASC\\):\n\\[\\angle BSC = \\angle BSA + \\angle ASC\\]\n\\[140° = 100° + \\angle ASC\\]\n\\[\\boxed{\\angle ASC = 40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez miary łuków (weryfikacja)\n\nKąty środkowe odpowiadają długościom łuków na okręgu. Ustawmy \\(B\\) w punkcie \\(0°\\) na okręgu:\n\n- Łuk \\(BA\\) (od \\(B\\) do \\(A\\)) odpowiada kątowi środkowemu \\(\\angle ASB = 100°\\), więc \\(A\\) jest w punkcie \\(100°\\).\n- Łuk \\(BC\\) (od \\(B\\) do \\(C\\)) odpowiada kątowi środkowemu \\(\\angle BSC = 140°\\), więc \\(C\\) jest w punkcie \\(140°\\).\n\nKąt środkowy \\(\\angle ASC\\) odpowiada łukowi od \\(A\\) do \\(C\\):\n\\[\\angle ASC = 140° - 100° = 40°\\]\n\nZgadza się z obliczeniami z Metody 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** oraz ogólna własność okręgu:\n\nW zadaniu kluczowe były własności trójkąta równoramiennego (brak bezpośredniego wzoru na karcie, ale wynika z definicji okręgu) oraz suma kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\n(dla trójkąta \\(SAB\\): \\(40° + 40° + \\angle ASB = 180°\\))\n\nW tym zadaniu nie używamy zaawansowanych wzorów z karty CKE - wystarczy własność okręgu (\\(SA = SB = SC = r\\)) i suma kątów w trójkącie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(30°\\)) | Uczeń dzieli kąt \\(\\angle ASB = 100°\\) przez coś lub pomija, że \\(BC\\) bisekuje tylko \\(\\angle ABS\\), nie wszystkie kąty |\n| C (\\(50°\\)) | Uczeń liczy \\(\\angle BSC - \\angle BSA = 140° - 100° = 40°\\), ale przez błąd w wyznaczeniu \\(\\angle BSA\\) dostaje \\(50°\\) (np. przyjmuje \\(\\angle SAB \\neq \\angle SBA\\)) |\n| D (\\(60°\\)) | Uczeń przyjmuje błędnie \\(\\angle SBC = 40°\\) (nie uwzględnia, że \\(BC\\) bisekuje kąt, czyli bierze pełny kąt \\(40°\\)), co daje \\(\\angle BSC = 100°\\) i mylne wyniki |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(S\\) to środek okręgu, a nie punkt na okręgu - stąd \\(SA = SB = SC\\), co czyni trójkąty równoramiennymi. Mylenie środka z punktem na okręgu to najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** BC jest dwusieczną kąta \\(ABS\\), czyli kąta **przy wierzchołku \\(B\\)** - bisekuje go na dwa kąty \\(20°\\). Nie mylić z dwusieczną kąta \\(ASC\\) lub innego kąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest ustalenie z rysunku, że \\(A\\) leży **między** \\(B\\) a \\(C\\) na łuku - bez tego nie wiadomo, czy kąt \\(ASC\\) to różnica, czy suma kątów \\(\\angle ASB\\) i \\(\\angle BSC\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny \\(ABS\\)\n\\(SA=SB\\) (promienie), więc \\(\\triangle ABS\\) jest równoramienny.\nKąt \\(ABS = 40°\\), czyli kąt \\(BAS = 40°\\). Kąt \\(ASB = 180°-80° = 100°\\).\nAnalogicznie w \\(\\triangle CBS\\): \\(SB=SC\\), \\(\\angle CBS = 40°\\) (dwusieczna), więc \\(\\angle BCS=40°\\), \\(\\angle BSC=100°\\).\nDla pełnego kąta w \\(S\\) (czworokąt \\(ABSC\\)): \\(\\angle ASC = 360° - 100° - 100° - 60°\\)\nProściej: \\(\\angle ASC\\) to kąt zewnętrzny łączący bok \\(SA\\) i \\(SC\\). Skoro \\(BC\\) dzieli \\(\\angle ABS\\) na pół i \\(\\triangle ABS\\cong\\triangle CBS\\) (symetria, obydwa z ramionami-promieniami i \\(\\angle B = 40°\\)), trójkąty są przystające, więc \\(\\angle ASB=\\angle CSB=100°\\). Suma kątów przy \\(S\\) w czworokącie wynosi \\(360°\\), stąd \\(\\angle ASC = 360°-100°-100°-120°\\) - skorygujmy: czworokąt \\(ABSC\\) ma wierzchołki \\(A,B,S,C\\), więc w \\(S\\) jest kąt wewnętrzny. W \\(\\triangle ABС\\) suma miar wychodzi: kąt \\(\\angle ASC = 2\\cdot(90°-40°)-40° = \\).\nProsta droga: \\(\\angle SBC = 20°\\) (dwusieczna), \\(\\angle SCB=20°\\), więc \\(\\angle BSC = 180°-40°=140°\\). Analogicznie \\(\\angle BSA=140°\\). W czworokącie suma 360° ⇒ \\(\\angle ASC = 360°-140°-140°-40° = 40°\\).\n\n### Sposób 2 - Symetria względem \\(BC\\)\n\\(BC\\) jako dwusieczna \\(\\angle ABS\\) przy \\(SA=SB=SC=R\\) powoduje, że \\(A\\) jest odbiciem \\(S\\) względem \\(BC\\)… to prowadzi do \\(\\angle ASC = \\angle ABS = 40°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(30°\\)**, **C. \\(50°\\)**, **D. \\(60°\\)** - błędne miary kątów w trójkącie równoramiennym.\n\n**Trik:** jeśli wierzchołki leżą na okręgu, wykorzystaj równoramienność trójkątów z bokami-promieniami.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wierzchołki 𝐴, 𝐵, 𝐶 czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑆. Kąt 𝐴𝐵𝑆 ma<br>miarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna 𝐵𝐶 jest dwusieczną tego kąta.<br>Miara kąta 𝐴𝑆𝐶 jest równa<br>A. 30°<br>B. 40°<br>C. 50°<br>D. 60°<br>Wierzchołki A, B, C czworokąta ABSC leżą na okręgu o środku S. Kąt ABS ma miarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna BC jest dwusieczną tego kąta. [rysunek] Miara kąta ASC jest równa A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (40°)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Izoscele trójkąty i odejmowanie kątów środkowych</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong> \\(S\\) to środek okręgu, więc \\(SA = SB = SC = r\\) - trójkąty \\(SAB\\) i \\(SBC\\) są <strong>równoramienne</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Kąt \\(ASB\\)</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(SAB\\): \\(SA = SB\\), więc jest równoramienny. Kąt przy podstawie:<br>\\[\\angle SBA = 40°\\]<br>Zatem kąt przy drugiej podstawie też wynosi \\(40°\\):<br>\\[\\angle SAB = 40°\\]<br>Kąt środkowy \\(\\angle ASB\\):<br>\\[\\angle ASB = 180° - 40° - 40° = 100°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Kąt \\(BSC\\)</strong></p>\n<p>\\(BC\\) jest dwusieczną kąta \\(ABS = 40°\\), więc dzieli go na dwa równe kąty:<br>\\[\\angle CBS = \\frac{40°}{2} = 20°\\]<br>W trójkącie \\(SBC\\): \\(SB = SC\\), więc jest równoramienny. Kąt przy podstawie:<br>\\[\\angle SBC = 20° \\Rightarrow \\angle SCB = 20°\\]<br>Kąt środkowy \\(\\angle BSC\\):<br>\\[\\angle BSC = 180° - 20° - 20° = 140°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Kąt \\(ASC\\)</strong></p>\n<p>Z rysunku widać, że punkt \\(A\\) leży <strong>na łuku \\(BC\\)</strong> (między \\(B\\) a \\(C\\) na okręgu). Oznacza to, że kąt \\(\\angle BSC\\) jest sumą kątów \\(\\angle BSA\\) i \\(\\angle ASC\\):<br>\\[\\angle BSC = \\angle BSA + \\angle ASC\\]<br>\\[140° = 100° + \\angle ASC\\]<br>\\[\\boxed{\\angle ASC = 40°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez miary łuków (weryfikacja)</h4>\n<p>Kąty środkowe odpowiadają długościom łuków na okręgu. Ustawmy \\(B\\) w punkcie \\(0°\\) na okręgu:</p>\n<ul><li>Łuk \\(BA\\) (od \\(B\\) do \\(A\\)) odpowiada kątowi środkowemu \\(\\angle ASB = 100°\\), więc \\(A\\) jest w punkcie \\(100°\\).</li><li>Łuk \\(BC\\) (od \\(B\\) do \\(C\\)) odpowiada kątowi środkowemu \\(\\angle BSC = 140°\\), więc \\(C\\) jest w punkcie \\(140°\\).</li></ul>\n<p>Kąt środkowy \\(\\angle ASC\\) odpowiada łukowi od \\(A\\) do \\(C\\):<br>\\[\\angle ASC = 140° - 100° = 40°\\]</p>\n<p>Zgadza się z obliczeniami z Metody 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> oraz ogólna własność okręgu:</p>\n<p>W zadaniu kluczowe były własności trójkąta równoramiennego (brak bezpośredniego wzoru na karcie, ale wynika z definicji okręgu) oraz suma kątów trójkąta:<br>\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]<br>(dla trójkąta \\(SAB\\): \\(40° + 40° + \\angle ASB = 180°\\))</p>\n<p>W tym zadaniu nie używamy zaawansowanych wzorów z karty CKE - wystarczy własność okręgu (\\(SA = SB = SC = r\\)) i suma kątów w trójkącie.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(30°\\)) | Uczeń dzieli kąt \\(\\angle ASB = 100°\\) przez coś lub pomija, że \\(BC\\) bisekuje tylko \\(\\angle ABS\\), nie wszystkie kąty |<br>| C (\\(50°\\)) | Uczeń liczy \\(\\angle BSC - \\angle BSA = 140° - 100° = 40°\\), ale przez błąd w wyznaczeniu \\(\\angle BSA\\) dostaje \\(50°\\) (np. przyjmuje \\(\\angle SAB \\neq \\angle SBA\\)) |<br>| D (\\(60°\\)) | Uczeń przyjmuje błędnie \\(\\angle SBC = 40°\\) (nie uwzględnia, że \\(BC\\) bisekuje kąt, czyli bierze pełny kąt \\(40°\\)), co daje \\(\\angle BSC = 100°\\) i mylne wyniki |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(S\\) to środek okręgu, a nie punkt na okręgu - stąd \\(SA = SB = SC\\), co czyni trójkąty równoramiennymi. Mylenie środka z punktem na okręgu to najczęstszy błąd w tym typie zadań.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> BC jest dwusieczną kąta \\(ABS\\), czyli kąta <strong>przy wierzchołku \\(B\\)</strong> - bisekuje go na dwa kąty \\(20°\\). Nie mylić z dwusieczną kąta \\(ASC\\) lub innego kąta.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczowe jest ustalenie z rysunku, że \\(A\\) leży <strong>między</strong> \\(B\\) a \\(C\\) na łuku - bez tego nie wiadomo, czy kąt \\(ASC\\) to różnica, czy suma kątów \\(\\angle ASB\\) i \\(\\angle BSC\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt równoramienny \\(ABS\\)</h5>\n<p>\\(SA=SB\\) (promienie), więc \\(\\triangle ABS\\) jest równoramienny.<br>Kąt \\(ABS = 40°\\), czyli kąt \\(BAS = 40°\\). Kąt \\(ASB = 180°-80° = 100°\\).<br>Analogicznie w \\(\\triangle CBS\\): \\(SB=SC\\), \\(\\angle CBS = 40°\\) (dwusieczna), więc \\(\\angle BCS=40°\\), \\(\\angle BSC=100°\\).<br>Dla pełnego kąta w \\(S\\) (czworokąt \\(ABSC\\)): \\(\\angle ASC = 360° - 100° - 100° - 60°\\)<br>Prościej: \\(\\angle ASC\\) to kąt zewnętrzny łączący bok \\(SA\\) i \\(SC\\). Skoro \\(BC\\) dzieli \\(\\angle ABS\\) na pół i \\(\\triangle ABS\\cong\\triangle CBS\\) (symetria, obydwa z ramionami-promieniami i \\(\\angle B = 40°\\)), trójkąty są przystające, więc \\(\\angle ASB=\\angle CSB=100°\\). Suma kątów przy \\(S\\) w czworokącie wynosi \\(360°\\), stąd \\(\\angle ASC = 360°-100°-100°-120°\\) - skorygujmy: czworokąt \\(ABSC\\) ma wierzchołki \\(A,B,S,C\\), więc w \\(S\\) jest kąt wewnętrzny. W \\(\\triangle ABС\\) suma miar wychodzi: kąt \\(\\angle ASC = 2\\cdot(90°-40°)-40° = \\).<br>Prosta droga: \\(\\angle SBC = 20°\\) (dwusieczna), \\(\\angle SCB=20°\\), więc \\(\\angle BSC = 180°-40°=140°\\). Analogicznie \\(\\angle BSA=140°\\). W czworokącie suma 360° ⇒ \\(\\angle ASC = 360°-140°-140°-40° = 40°\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Symetria względem \\(BC\\)</h5>\n<p>\\(BC\\) jako dwusieczna \\(\\angle ABS\\) przy \\(SA=SB=SC=R\\) powoduje, że \\(A\\) jest odbiciem \\(S\\) względem \\(BC\\)… to prowadzi do \\(\\angle ASC = \\angle ABS = 40°\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(30°\\)</strong>, <strong>C. \\(50°\\)</strong>, <strong>D. \\(60°\\)</strong> - błędne miary kątów w trójkącie równoramiennym.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> jeśli wierzchołki leżą na okręgu, wykorzystaj równoramienność trójkątów z bokami-promieniami.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, miara kąta $\\sphericalangle ABC$ wynosi $20^\\circ$ (ponieważ $BC$ jest dwusieczną). Zauważ, że kąt $\\sphericalangle ABC$ jest kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co szukany kąt środkowy $\\sphericalangle ASC$ - a wiemy, że w takim przypadku miara kąta środkowego jest $2$ razy większa od miary kąta wpisanego, czyli $|\\sphericalangle ASC|=2\\cdot 20^\\circ=40^\\circ$</p>"}]}