{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴 oraz 𝐵 leżą na okręgu o środku 𝑆. Kąt środkowy 𝐴𝑆𝐵 ma miarę 100°.\nProsta 𝑙 jest styczna do tego okręgu w punkcie 𝐴 i tworzy z cięciwą 𝐴𝐵 okręgu kąt\no mierze 𝛼 (zobacz rysunek).\nWtedy\nA. 𝛼= 40°\nB. 𝛼= 45°\nC. 𝛼= 50°\nD. 𝛼= 60°\n𝐵\n𝑙\n𝑆\n𝛼\n100°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝑆\n40°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkty A oraz B leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 100°. Prosta l jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB okręgu kąt o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Wtedy A. α=40° B. α=45° C. α=50° D. α=60°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\alpha = 50°\\)\n\n## Sposób 1 - Promień prostopadły do stycznej + trójkąt równoramienny\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Promień narysowany do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \\(SA \\perp l\\), czyli \\(\\angle SAl = 90°\\).\n\n**Krok 1.** Rozpatruję trójkąt \\(SAB\\). Ponieważ \\(SA\\) i \\(SB\\) są promieniami tego samego okręgu:\n\\[SA = SB\\]\nTrójkąt \\(SAB\\) jest **równoramienny**.\n\n**Krok 2.** Kąt przy wierzchołku \\(S\\) wynosi \\(100°\\), więc kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{180° - 100°}{2} = \\frac{80°}{2} = 40°\\]\n\n**Krok 3.** Kąt między styczną \\(l\\) a cięciwą \\(AB\\) to:\n\\[\\alpha = \\angle SAl - \\angle SAB = 90° - 40° = \\mathbf{50°}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą\n\nIstnieje twierdzenie planimetryczne: **kąt między styczną a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności równa się połowie łuku, który ta cięciwa wycina po stronie tego kąta.**\n\n**Krok 1.** Kąt środkowy \\(\\angle ASB = 100°\\) odpowiada łukowi \\(AB\\) o mierze \\(100°\\) (łuk mniejszy, po stronie kąta \\(\\alpha\\) widocznego na rysunku).\n\n**Krok 2.** Kąt między styczną a cięciwą:\n\\[\\alpha = \\frac{\\overset{\\frown}{AB}}{2} = \\frac{100°}{2} = \\mathbf{50°}\\]\n\nWyniki obu metod się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - własność kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego oraz fakt, że promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.\n\nKonkretnie w Sposobie 1 użyliśmy:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{180° - \\angle ASB}{2}\\]\n(suma kątów w trójkącie równoramiennym)\n\nOraz własności okręgu z s. 19:\n\\[\\text{kąt między styczną a cięciwą} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{łuk wycinany przez cięciwę}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(40°\\) | Uczeń oblicza kąt \\(\\angle SAB = 40°\\) i na tym kończy, zapominając, że szukamy kąta z **tangentą**, a nie z promieniem \\(SA\\). Kąt \\(\\alpha = 90° - 40° = 50°\\), nie \\(40°\\). |\n| B - \\(45°\\) | Błędne zgadywanie - brak uzasadnienia matematycznego; \\(45°\\) nie wynika z żadnego poprawnego przekształcenia. |\n| D - \\(60°\\) | Uczeń dzieli \\(100° + 20° = 120°\\) przez 2, lub błędnie stosuje twierdzenie o kącie wpisanym (\\(\\frac{1}{2} \\cdot 100° = 50°\\)) z pomyłką w odczycie łuku. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień do punktu stycznego jest **prostopadły** do stycznej - ten fakt to absolutna podstawa. Bez niego nie można poprawnie wyznaczyć kąta \\(\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle SAB = 40°\\) to kąt między **promieniem** a cięciwą, a nie między **styczną** a cięciwą. To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy kącie między styczną a cięciwą zawsze sprawdź, który łuk (mniejszy czy większy) leży „po stronie\" kąta - w tym zadaniu łuk \\(100°\\) daje \\(\\alpha = 50°\\), ale gdyby pytano o kąt z drugiej strony, byłoby \\(\\frac{260°}{2} = 130°\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą (karta wzorów)\nKąt między styczną a cięciwą jest równy połowie kąta środkowego opartego na tej cięciwie.\n\\(\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\cdot 100° = 50°\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt równoramienny \\(ABS\\)\n\\(SA=SB=R\\). \\(\\angle ASB = 100°\\) ⇒ \\(\\angle SAB = \\angle SBA = 40°\\).\nStyczna \\(l\\) w \\(A\\) jest prostopadła do promienia \\(SA\\), więc \\(\\angle(l, SA) = 90°\\).\n\\(\\alpha = 90° - \\angle SAB = 90° - 40° = 50°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(40°\\)** - błąd: użyto kąta \\(\\angle SAB\\) zamiast dopełnienia do \\(90°\\).\n- **B. \\(45°\\)** - bez uzasadnienia.\n- **D. \\(60°\\)** - pomyłka: \\(180° - 100° - ?\\).\n\n**Trik:** kąt między styczną a cięciwą = połowa kąta środkowego = kąt wpisany po drugiej stronie cięciwy.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Punkty 𝐴 oraz 𝐵 leżą na okręgu o środku 𝑆. Kąt środkowy 𝐴𝑆𝐵 ma miarę 100°.<br>Prosta 𝑙 jest styczna do tego okręgu w punkcie 𝐴 i tworzy z cięciwą 𝐴𝐵 okręgu kąt<br>o mierze 𝛼 (zobacz rysunek).<br>Wtedy<br>A. 𝛼= 40°<br>B. 𝛼= 45°<br>C. 𝛼= 50°<br>D. 𝛼= 60°<br>𝐵<br>𝑙<br>𝑆<br>𝛼<br>100°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑆<br>40°</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Punkty A oraz B leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 100°. Prosta l jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB okręgu kąt o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Wtedy A. α=40° B. α=45° C. α=50° D. α=60°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\alpha = 50°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Promień prostopadły do stycznej + trójkąt równoramienny</h4>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> Promień narysowany do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \\(SA \\perp l\\), czyli \\(\\angle SAl = 90°\\).</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Rozpatruję trójkąt \\(SAB\\). Ponieważ \\(SA\\) i \\(SB\\) są promieniami tego samego okręgu:<br>\\[SA = SB\\]<br>Trójkąt \\(SAB\\) jest <strong>równoramienny</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Kąt przy wierzchołku \\(S\\) wynosi \\(100°\\), więc kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:<br>\\[\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{180° - 100°}{2} = \\frac{80°}{2} = 40°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Kąt między styczną \\(l\\) a cięciwą \\(AB\\) to:<br>\\[\\alpha = \\angle SAl - \\angle SAB = 90° - 40° = \\mathbf{50°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą</h4>\n<p>Istnieje twierdzenie planimetryczne: <strong>kąt między styczną a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności równa się połowie łuku, który ta cięciwa wycina po stronie tego kąta.</strong></p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Kąt środkowy \\(\\angle ASB = 100°\\) odpowiada łukowi \\(AB\\) o mierze \\(100°\\) (łuk mniejszy, po stronie kąta \\(\\alpha\\) widocznego na rysunku).</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Kąt między styczną a cięciwą:<br>\\[\\alpha = \\frac{\\overset{\\frown}{AB}}{2} = \\frac{100°}{2} = \\mathbf{50°}\\]</p>\n<p>Wyniki obu metod się zgadzają. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - własność kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego oraz fakt, że promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.</p>\n<p>Konkretnie w Sposobie 1 użyliśmy:<br>\\[\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{180° - \\angle ASB}{2}\\]<br>(suma kątów w trójkącie równoramiennym)</p>\n<p>Oraz własności okręgu z s. 19:<br>\\[\\text{kąt między styczną a cięciwą} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{łuk wycinany przez cięciwę}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(40°\\) | Uczeń oblicza kąt \\(\\angle SAB = 40°\\) i na tym kończy, zapominając, że szukamy kąta z <strong>tangentą</strong>, a nie z promieniem \\(SA\\). Kąt \\(\\alpha = 90° - 40° = 50°\\), nie \\(40°\\). |<br>| B - \\(45°\\) | Błędne zgadywanie - brak uzasadnienia matematycznego; \\(45°\\) nie wynika z żadnego poprawnego przekształcenia. |<br>| D - \\(60°\\) | Uczeń dzieli \\(100° + 20° = 120°\\) przez 2, lub błędnie stosuje twierdzenie o kącie wpisanym (\\(\\frac{1}{2} \\cdot 100° = 50°\\)) z pomyłką w odczycie łuku. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Promień do punktu stycznego jest <strong>prostopadły</strong> do stycznej - ten fakt to absolutna podstawa. Bez niego nie można poprawnie wyznaczyć kąta \\(\\alpha\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\angle SAB = 40°\\) to kąt między <strong>promieniem</strong> a cięciwą, a nie między <strong>styczną</strong> a cięciwą. To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi A.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy kącie między styczną a cięciwą zawsze sprawdź, który łuk (mniejszy czy większy) leży „po stronie&quot; kąta - w tym zadaniu łuk \\(100°\\) daje \\(\\alpha = 50°\\), ale gdyby pytano o kąt z drugiej strony, byłoby \\(\\frac{260°}{2} = 130°\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą (karta wzorów)</h5>\n<p>Kąt między styczną a cięciwą jest równy połowie kąta środkowego opartego na tej cięciwie.<br>\\(\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\cdot 100° = 50°\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt równoramienny \\(ABS\\)</h5>\n<p>\\(SA=SB=R\\). \\(\\angle ASB = 100°\\) ⇒ \\(\\angle SAB = \\angle SBA = 40°\\).<br>Styczna \\(l\\) w \\(A\\) jest prostopadła do promienia \\(SA\\), więc \\(\\angle(l, SA) = 90°\\).<br>\\(\\alpha = 90° - \\angle SAB = 90° - 40° = 50°\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(40°\\)</strong> - błąd: użyto kąta \\(\\angle SAB\\) zamiast dopełnienia do \\(90°\\).</li><li><strong>B. \\(45°\\)</strong> - bez uzasadnienia.</li><li><strong>D. \\(60°\\)</strong> - pomyłka: \\(180° - 100° - ?\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt między styczną a cięciwą = połowa kąta środkowego = kąt wpisany po drugiej stronie cięciwy.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zauważmy, że kąt środkowy $ASB$ ma miarę $100^\\circ$. Oznacza to, że kąt $AOB$, gdzie $O$ jest dowolnym punktem na okręgu, ma również miarę $100^\\circ$.\\n\\n2. W okręgu kąt wpisany $AOB$ którego wierzchołek znajduje się na okręgu, jest równy połowie kąta środkowego. Zatem, kąt wpisany $AIB$, dla punktu $I$ na okręgu, ma miarę $\\frac{100^\\circ}{2} = 50^\\circ$.\\n\\n3. Prosta $l$, będąca styczną do okręgu w punkcie $A$, tworzy kąt $\\alpha$ z cięciwą $AB$. Z własności stycznej wiemy, że kąt pomiędzy styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu przeciwnemu do cięciwy. Oznacza to, że kąt $\\alpha$ jest równy kątowi $AIB$.\\n\\n4. Zatem $\\alpha = kąt AIB = 50^\\circ$.\\n\\n5. Porównując uzyskany wynik z podanymi opcjami, widzimy, że poprawną odpowiedzią jest C, ponieważ $\\alpha = 50^\\circ$.\\n\\n<strong>Odpowiedź:</strong> C</li></ol>"}]}