{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba log2 32 -log2 8 jest równa\nA. 2\nB. 14\nC. 16\nD. 24\nLiczba log_2 32 - log_2 8 jest równa A. 2 B. 14 C. 16 D. 24","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na logarytm ilorazu\n\nKorzystamy z własności logarytmu: różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu.\n\n\\[\\log_2 32 - \\log_2 8 = \\log_2 \\frac{32}{8} = \\log_2 4\\]\n\nTeraz pytamy: **do jakiej potęgi należy podnieść 2, żeby dostać 4?**\n\n\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n## Sposób 2 - Obliczanie każdego logarytmu osobno\n\nObliczamy każdy logarytm z definicji:\n\n\\[\\log_2 32 = \\log_2 2^5 = 5\\]\nbo \\(2^5 = 32\\).\n\n\\[\\log_2 8 = \\log_2 2^3 = 3\\]\nbo \\(2^3 = 8\\).\n\nStąd:\n\\[\\log_2 32 - \\log_2 8 = 5 - 3 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)** - zgodnie z Odpowiedzią A.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność różnicy logarytmów:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do zamiany różnicy na logarytm ilorazu.\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia wartości \\(\\log_2 32\\), \\(\\log_2 8\\), \\(\\log_2 4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(14\\) - uczeń liczy \\(\\log_2(32 - 8) = \\log_2 24 \\approx 4{,}58\\) albo myli działania; brak sensu dla wyniku całkowitego |\n| C | \\(16\\) - uczeń **mnoży** zamiast odejmować: \\(\\frac{32}{8} = 4\\), ale potem myśli, że \\(\\log_2 32 - \\log_2 8 = 32 - 8 \\cdot 2 = 16\\) lub podobna pomyłka arytmetyczna |\n| D | \\(24\\) - uczeń odejmuje same liczby pod logarytmem: \\(32 - 8 = 24\\), ignorując całkowicie działanie logarytmu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno odejmować liczb pod logarytmem! \\(\\log_2 32 - \\log_2 8 \\neq \\log_2(32 - 8)\\). Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**, nie różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\log_2 2^n = n\\) - to bezpośredni wniosek z definicji. Zawsze najpierw sprawdź, czy liczba jest potęgą podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik logarytmu może być zwykłą małą liczbą całkowitą - tu \\(2\\). Jeśli wychodzi ci coś dużego (np. 16, 24), to sygnał, że gdzieś pomieszałeś operację na logarytmach z operacją na ich argumentach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\dfrac{x}{y}\\) (karta wzorów)\n\\[\\log_{2} 32 - \\log_{2} 8 = \\log_{2} \\dfrac{32}{8} = \\log_{2} 4 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie każdego logarytmu\n\\(\\log_{2} 32 = 5\\) (bo \\(2^5 = 32\\)), \\(\\log_{2} 8 = 3\\) (bo \\(2^3 = 8\\)).\nRóżnica: \\(5 - 3 = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(14\\)** - mylenie \\(\\log_2 32\\) z liczbą \\(32/2\\).\n- **C. \\(16\\)** - \\(\\log_2(32 \\cdot 8)\\)? Nadal nie daje 16, pomyłka w arytmetyce.\n- **D. \\(24\\)** - różnica argumentów \\(32-8\\), a nie logarytmów.\n\n**Trik:** znając potęgi dwójki \\(2, 4, 8, 16, 32\\) od razu odczytasz logarytmy.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Liczba log2 32 -log2 8 jest równa<br>A. 2<br>B. 14<br>C. 16<br>D. 24<br>Liczba log_2 32 - log_2 8 jest równa A. 2 B. 14 C. 16 D. 24</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na logarytm ilorazu</h4>\n<p>Korzystamy z własności logarytmu: różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu.</p>\n<p>\\[\\log_2 32 - \\log_2 8 = \\log_2 \\frac{32}{8} = \\log_2 4\\]</p>\n<p>Teraz pytamy: <strong>do jakiej potęgi należy podnieść 2, żeby dostać 4?</strong></p>\n<p>\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(2\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Obliczanie każdego logarytmu osobno</h4>\n<p>Obliczamy każdy logarytm z definicji:</p>\n<p>\\[\\log_2 32 = \\log_2 2^5 = 5\\]<br>bo \\(2^5 = 32\\).</p>\n<p>\\[\\log_2 8 = \\log_2 2^3 = 3\\]<br>bo \\(2^3 = 8\\).</p>\n<p>Stąd:<br>\\[\\log_2 32 - \\log_2 8 = 5 - 3 = 2\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(2\\)</strong> - zgodnie z Odpowiedzią A.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - własność różnicy logarytmów:<br>\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do zamiany różnicy na logarytm ilorazu.</p>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - definicja logarytmu:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>Użyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia wartości \\(\\log_2 32\\), \\(\\log_2 8\\), \\(\\log_2 4\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | \\(14\\) - uczeń liczy \\(\\log_2(32 - 8) = \\log_2 24 \\approx 4{,}58\\) albo myli działania; brak sensu dla wyniku całkowitego |<br>| C | \\(16\\) - uczeń <strong>mnoży</strong> zamiast odejmować: \\(\\frac{32}{8} = 4\\), ale potem myśli, że \\(\\log_2 32 - \\log_2 8 = 32 - 8 \\cdot 2 = 16\\) lub podobna pomyłka arytmetyczna |<br>| D | \\(24\\) - uczeń odejmuje same liczby pod logarytmem: \\(32 - 8 = 24\\), ignorując całkowicie działanie logarytmu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno odejmować liczb pod logarytmem! \\(\\log_2 32 - \\log_2 8 \\neq \\log_2(32 - 8)\\). Różnica logarytmów to logarytm <strong>ilorazu</strong>, nie różnicy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(\\log_2 2^n = n\\) - to bezpośredni wniosek z definicji. Zawsze najpierw sprawdź, czy liczba jest potęgą podstawy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik logarytmu może być zwykłą małą liczbą całkowitą - tu \\(2\\). Jeśli wychodzi ci coś dużego (np. 16, 24), to sygnał, że gdzieś pomieszałeś operację na logarytmach z operacją na ich argumentach.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\dfrac{x}{y}\\) (karta wzorów)</h5>\n<p>\\[\\log_{2} 32 - \\log_{2} 8 = \\log_{2} \\dfrac{32}{8} = \\log_{2} 4 = 2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie każdego logarytmu</h5>\n<p>\\(\\log_{2} 32 = 5\\) (bo \\(2^5 = 32\\)), \\(\\log_{2} 8 = 3\\) (bo \\(2^3 = 8\\)).<br>Różnica: \\(5 - 3 = 2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(14\\)</strong> - mylenie \\(\\log_2 32\\) z liczbą \\(32/2\\).</li><li><strong>C. \\(16\\)</strong> - \\(\\log_2(32 \\cdot 8)\\)? Nadal nie daje 16, pomyłka w arytmetyce.</li><li><strong>D. \\(24\\)</strong> - różnica argumentów \\(32-8\\), a nie logarytmów.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> znając potęgi dwójki \\(2, 4, 8, 16, 32\\) od razu odczytasz logarytmy.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które mamy obliczyć: $$\\text{wyrażenie} = &quot;log_2 32 - \\text{log}_2 8$$</li></ol>\n<ol><li>Możemy użyć właściwości logarytmów, która mówi, że $$\\text{log}_a b - \\text{log}_a c = \\text{log}_a \\frac{b}{c}$$. W naszym przypadku mamy:</li></ol>\n<p>$$\\text{log}_2 32 - \\text{log}_2 8 = \\text{log}_2 \\frac{32}{8}$$</p>\n<ol><li>Obliczamy wartość $$\\frac{32}{8}$$. Zapisujemy to jako:</li></ol>\n<p>$$\\frac{32}{8} = 4$$</p>\n<ol><li>Teraz możemy zapisać nasze wyrażenie jako:</li></ol>\n<p>$$\\text{log}_2 4$$</p>\n<ol><li>Wiemy, że liczba $$4$$ to tak naprawdę $$2^2$$, więc możemy to zapisać:</li></ol>\n<p>$$\\text{log}_2 4 = \\text{log}_2 (2^2)$$</p>\n<ol><li>Używając kolejnej właściwości logarytmów, która mówi, że $$\\text{log}_a (b^n) = n \\cdot \\text{log}_a b$$, otrzymujemy:</li></ol>\n<p>$$\\text{log}_2 (2^2) = 2 \\cdot \\text{log}_2 2$$</p>\n<ol><li>Skoro $$\\text{log}_2 2$$ jest równe $$1$$ (bo $2^1 = 2$), to mamy teraz:</li></ol>\n<p>$$2 \\cdot \\text{log}_2 2 = 2 \\cdot 1 = 2$$</p>\n<ol><li>Zatem ostatecznie wynik naszego obliczenia to:</li></ol>\n<p>$$\\log_2 32 - \\log_2 8 = 2$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 2</p>"}]}