{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem\nostrym 𝛼, takim, że sin 𝛼= 0,2. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa\nA. 4√5\nB. 4√10\nC. 80\nD. 160\nPole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym α, takim, że sinα=0,2. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa A. 4√5 B. 4√10 C. 80 D. 160","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Pole prostokąta przez przekątne i kąt między nimi\n\nOznaczmy długość przekątnej prostokąta jako \\(d\\). Przekątne prostokąta są równe i przecinają się w środku, dzieląc się na połowy. Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \\(O\\).\n\n**Kluczowa obserwacja:** przekątne dzielą prostokąt na 4 trójkąty. Każdy z nich jest **równoramienny** (dwa ramiona = \\(\\frac{d}{2}\\)), a kąty przy wierzchołku \\(O\\) to na przemian \\(\\alpha\\) i \\(180° - \\alpha\\).\n\nPole jednego trójkąta (np. \\(\\triangle AOB\\)):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{d}{2} \\cdot \\frac{d}{2} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{d^2}{8}\\sin\\alpha\\]\n\nPonieważ \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\), **wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole**.\n\nPole prostokąta:\n\\[P = 4 \\cdot \\frac{d^2}{8}\\sin\\alpha = \\frac{d^2}{2}\\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(P = 16\\), \\(\\sin\\alpha = 0{,}2\\):\n\\[16 = \\frac{d^2}{2} \\cdot 0{,}2 = \\frac{d^2}{10}\\]\n\\[d^2 = 160\\]\n\\[\\boxed{d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Sinus kąta przez wzór z boków prostokąta\n\nNiech boki prostokąta mają długości \\(a\\) i \\(b\\). Umieszczamy prostokąt w układzie współrzędnych:\n- \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a,0)\\), \\(C = (a,b)\\), \\(D = (0,b)\\)\n\nWektory wyznaczające przekątne (od środka \\(O\\)):\n\\[\\vec{v_1} = [a, b] \\quad \\text{(wzdłuż AC)}, \\quad \\vec{v_2} = [-a, b] \\quad \\text{(wzdłuż BD)}\\]\n\nSinus kąta między dwoma wektorami (z iloczynu wektorowego w 2D):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{|a \\cdot b - b \\cdot (-a)|}{|\\vec{v_1}| \\cdot |\\vec{v_2}|} = \\frac{|ab + ab|}{\\sqrt{a^2+b^2} \\cdot \\sqrt{a^2+b^2}} = \\frac{2ab}{a^2+b^2}\\]\n\nPonieważ \\(ab = P = 16\\) (pole prostokąta) i \\(a^2 + b^2 = d^2\\) (wzór na przekątną):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2 \\cdot 16}{d^2} = \\frac{32}{d^2}\\]\n\nZ warunku \\(\\sin\\alpha = 0{,}2\\):\n\\[0{,}2 = \\frac{32}{d^2} \\implies d^2 = \\frac{32}{0{,}2} = 160 \\implies d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole trójkąta z kąta i dwóch boków:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia pola każdego z 4 trójkątów tworzonych przez przekątne, gdzie boki to \\(\\frac{d}{2}\\), \\(\\frac{d}{2}\\), a kąt między nimi to \\(\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do zamiany \\(a^2 + b^2\\) na \\(d^2\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna oraz fakt, że \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\):\nPozwoliło to stwierdzić, że wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(4\\sqrt{5}\\) | Policzono \\(d^2 = 80\\) zamiast \\(160\\) - pomyłka \\(\\frac{d^2}{2} \\cdot 0{,}2 = 16\\) rozwiązana jako \\(\\frac{d^2}{4} = 16\\), czyli zgubieniu czynnika przy \\(\\sin\\alpha\\) |\n| C: \\(80\\) | Wzięto \\(d = d^2/2 = 80\\), czyli pomylono \\(d\\) z \\(d^2\\) - brak obliczenia pierwiastka |\n| D: \\(160\\) | To wartość \\(d^2\\), nie \\(d\\) - zatrzymano się o jeden krok za wcześnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie \\(d^2 = 160\\) z \\(d = 160\\) - zawsze pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka na końcu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) w treści to kąt **ostry** między przekątnymi. Kąt rozwarty między nimi to \\(180° - \\alpha\\), ale \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), więc oba kąty dają takie samo pole trójkąta - nie trzeba się tym martwić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Formuła \\(P = \\frac{d^2}{2}\\sin\\alpha\\) działa też dla **rombu** (przekątne też się prostopadle przecinają) - to ten sam schemat. Warto ją zapamiętać!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole przez przekątne (karta wzorów)\nDla czworokąta z przekątnymi \\(d_1, d_2\\) przecinającymi się pod kątem \\(\\alpha\\): \\(P = \\dfrac{1}{2} d_1 d_2 \\sin\\alpha\\).\nW prostokącie \\(d_1 = d_2 = d\\), więc \\(P = \\dfrac{1}{2} d^2 \\sin\\alpha\\).\n\\(16 = \\dfrac{1}{2}\\cdot d^2\\cdot 0{,}2 \\Rightarrow d^2 = \\dfrac{32}{0{,}2} = 160 \\Rightarrow d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Sprowadzenie do kąta między przekątnymi\nZ własności przekątnych prostokąta: dzielą się na pół, tworzą dwa różne kąty sumujące do \\(180°\\). Pole liczone z dwóch trójkątów o wspólnym kącie \\(\\alpha\\): ten sam wzór.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\sqrt{5}\\)** - \\((4\\sqrt{5})^2 = 80\\), nie \\(160\\).\n- **C. \\(80\\)** - to \\(d^2/2\\), nie długość.\n- **D. \\(160\\)** - to \\(d^2\\), nie długość.\n\n**Trik:** w prostokącie obie przekątne są równe, więc wzór \\(P=\\tfrac{1}{2}d^2\\sin\\alpha\\) upraszcza się.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem
ostrym 𝛼, takim, że sin 𝛼= 0,2. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa
A. 4√5
B. 4√10
C. 80
D. 160
Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym α, takim, że sinα=0,2. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa A. 4√5 B. 4√10 C. 80 D. 160

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\sqrt{10}\\)

\n

Sposób 1 - Pole prostokąta przez przekątne i kąt między nimi

\n

Oznaczmy długość przekątnej prostokąta jako \\(d\\). Przekątne prostokąta są równe i przecinają się w środku, dzieląc się na połowy. Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \\(O\\).

\n

Kluczowa obserwacja: przekątne dzielą prostokąt na 4 trójkąty. Każdy z nich jest równoramienny (dwa ramiona = \\(\\frac{d}{2}\\)), a kąty przy wierzchołku \\(O\\) to na przemian \\(\\alpha\\) i \\(180° - \\alpha\\).

\n

Pole jednego trójkąta (np. \\(\\triangle AOB\\)):
\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{d}{2} \\cdot \\frac{d}{2} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{d^2}{8}\\sin\\alpha\\]

\n

Ponieważ \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\), wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole.

\n

Pole prostokąta:
\\[P = 4 \\cdot \\frac{d^2}{8}\\sin\\alpha = \\frac{d^2}{2}\\sin\\alpha\\]

\n

Podstawiamy dane: \\(P = 16\\), \\(\\sin\\alpha = 0{,}2\\):
\\[16 = \\frac{d^2}{2} \\cdot 0{,}2 = \\frac{d^2}{10}\\]
\\[d^2 = 160\\]
\\[\\boxed{d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}}\\]

\n

Sposób 2 - Sinus kąta przez wzór z boków prostokąta

\n

Niech boki prostokąta mają długości \\(a\\) i \\(b\\). Umieszczamy prostokąt w układzie współrzędnych:

\n\n

Wektory wyznaczające przekątne (od środka \\(O\\)):
\\[\\vec{v_1} = [a, b] \\quad \\text{(wzdłuż AC)}, \\quad \\vec{v_2} = [-a, b] \\quad \\text{(wzdłuż BD)}\\]

\n

Sinus kąta między dwoma wektorami (z iloczynu wektorowego w 2D):
\\[\\sin\\alpha = \\frac{|a \\cdot b - b \\cdot (-a)|}{|\\vec{v_1}| \\cdot |\\vec{v_2}|} = \\frac{|ab + ab|}{\\sqrt{a^2+b^2} \\cdot \\sqrt{a^2+b^2}} = \\frac{2ab}{a^2+b^2}\\]

\n

Ponieważ \\(ab = P = 16\\) (pole prostokąta) i \\(a^2 + b^2 = d^2\\) (wzór na przekątną):
\\[\\sin\\alpha = \\frac{2 \\cdot 16}{d^2} = \\frac{32}{d^2}\\]

\n

Z warunku \\(\\sin\\alpha = 0{,}2\\):
\\[0{,}2 = \\frac{32}{d^2} \\implies d^2 = \\frac{32}{0{,}2} = 160 \\implies d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole trójkąta z kąta i dwóch boków:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]
Użyliśmy tego do obliczenia pola każdego z 4 trójkątów tworzonych przez przekątne, gdzie boki to \\(\\frac{d}{2}\\), \\(\\frac{d}{2}\\), a kąt między nimi to \\(\\alpha\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[d^2 = a^2 + b^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do zamiany \\(a^2 + b^2\\) na \\(d^2\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - jedynka trygonometryczna oraz fakt, że \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\):
Pozwoliło to stwierdzić, że wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \\(4\\sqrt{5}\\) | Policzono \\(d^2 = 80\\) zamiast \\(160\\) - pomyłka \\(\\frac{d^2}{2} \\cdot 0{,}2 = 16\\) rozwiązana jako \\(\\frac{d^2}{4} = 16\\), czyli zgubieniu czynnika przy \\(\\sin\\alpha\\) |
| C: \\(80\\) | Wzięto \\(d = d^2/2 = 80\\), czyli pomylono \\(d\\) z \\(d^2\\) - brak obliczenia pierwiastka |
| D: \\(160\\) | To wartość \\(d^2\\), nie \\(d\\) - zatrzymano się o jeden krok za wcześnie |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to mylenie \\(d^2 = 160\\) z \\(d = 160\\) - zawsze pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka na końcu!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\alpha\\) w treści to kąt ostry między przekątnymi. Kąt rozwarty między nimi to \\(180° - \\alpha\\), ale \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), więc oba kąty dają takie samo pole trójkąta - nie trzeba się tym martwić.
\n
⚠️ Uwaga: Formuła \\(P = \\frac{d^2}{2}\\sin\\alpha\\) działa też dla rombu (przekątne też się prostopadle przecinają) - to ten sam schemat. Warto ją zapamiętać!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór na pole przez przekątne (karta wzorów)
\n

Dla czworokąta z przekątnymi \\(d_1, d_2\\) przecinającymi się pod kątem \\(\\alpha\\): \\(P = \\dfrac{1}{2} d_1 d_2 \\sin\\alpha\\).
W prostokącie \\(d_1 = d_2 = d\\), więc \\(P = \\dfrac{1}{2} d^2 \\sin\\alpha\\).
\\(16 = \\dfrac{1}{2}\\cdot d^2\\cdot 0{,}2 \\Rightarrow d^2 = \\dfrac{32}{0{,}2} = 160 \\Rightarrow d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\).

\n
Sposób 2 - Sprowadzenie do kąta między przekątnymi
\n

Z własności przekątnych prostokąta: dzielą się na pół, tworzą dwa różne kąty sumujące do \\(180°\\). Pole liczone z dwóch trójkątów o wspólnym kącie \\(\\alpha\\): ten sam wzór.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: w prostokącie obie przekątne są równe, więc wzór \\(P=\\tfrac{1}{2}d^2\\sin\\alpha\\) upraszcza się.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, przekątne prostokąta dzielą go na cztery trójkąty o takich samych polach. Pole jednego trójkąta jest równe $\\displaystyle \\small P_\\triangle=\\frac12\\cdot \\frac{1}{2} d \\cdot \\frac12d \\cdot \\sin \\alpha$, gdzie $d$ to długość przekątnej prostokąta (przypomnijmy: w prostokącie przekątne mają równe długości i przecinają się w połowie), a $\\alpha$ to miara kąta między przekątnymi. Rozwiązując równanie:
$\\small \\displaystyle 4=\\frac18 d^2 \\cdot0{,}2$
dostaniemy:
$d=4\\sqrt{10}$

"}]}