{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= 2\n3 𝑥-3 oraz 𝑦= (2𝑚-1)𝑥+ 1 są prostopadłe, gdy\nA. 𝑚= -5\n4\nB. 𝑚= -1\n4\nC. 𝑚= 5\n6\nD. 𝑚= 5\n4\nProste o równaniach y={2/3}x-3 oraz y=(2m-1)x+1 są prostopadłe, gdy A. m=-{5/4}; B. m=-{1/4}; C. m={5/6}; D. m={5/4}.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -\\dfrac{1}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (iloczyn współczynników kierunkowych)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\n**Odczytujemy współczynniki kierunkowe** obu prostych:\n\n- Prosta 1: \\(y = \\dfrac{2}{3}x - 3\\) → \\(a_1 = \\dfrac{2}{3}\\)\n- Prosta 2: \\(y = (2m-1)x + 1\\) → \\(a_2 = 2m - 1\\)\n\n**Zapisujemy warunek prostopadłości:**\n\\[\\frac{2}{3} \\cdot (2m - 1) = -1\\]\n\n**Rozwiązujemy równanie:**\n\\[\\frac{2(2m-1)}{3} = -1\\]\n\\[2(2m-1) = -3\\]\n\\[4m - 2 = -3\\]\n\\[4m = -1\\]\n\\[\\boxed{m = -\\frac{1}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku (sprawdzenie)\n\nDla \\(m = -\\dfrac{1}{4}\\) obliczamy współczynnik kierunkowy drugiej prostej:\n\\[a_2 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) - 1 = -\\frac{1}{2} - 1 = -\\frac{3}{2}\\]\n\nSprawdzamy warunek prostopadłości:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = \\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - proste są rzeczywiście prostopadłe.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio do ustawienia równania z niewiadomą \\(m\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(m = -\\dfrac{5}{4}\\) | Błąd przy mnożeniu - np. pomnożono \\(\\dfrac{2}{3} \\cdot 2m = -1\\) bez \\(-1\\) w nawiasie, albo zły znak po pomnożeniu przez 3 |\n| C. \\(m = \\dfrac{5}{6}\\) | Użycie warunku równoległości \\(a_1 = a_2\\) zamiast prostopadłości: \\(\\dfrac{2}{3} = 2m-1\\) daje \\(m = \\dfrac{5}{6}\\) |\n| D. \\(m = \\dfrac{5}{4}\\) | Mylne użycie warunku \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\) (ze znakiem \\(+\\) zamiast \\(-1\\)), czyli brak znaku minus |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Łatwo zgubić ten minus pod presją egzaminu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl warunku prostopadłości z równoległością! Równoległość to \\(a_1 = a_2\\) - właśnie taką \"pułapką\" jest odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy otwieraniu nawiasu \\(2(2m - 1)\\) pamiętaj o obu składnikach: wynik to \\(4m - 2\\), nie samo \\(4m\\). Pominięcie \\(-2\\) daje błędny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości (karta wzorów)\nDwie proste \\(y=a_1 x+b_1\\) i \\(y=a_2 x+b_2\\) są prostopadłe \\(\\Leftrightarrow a_1\\cdot a_2 = -1\\).\n\\(\\dfrac{2}{3}(2m-1) = -1 \\Rightarrow 2m-1 = -\\dfrac{3}{2} \\Rightarrow 2m = -\\dfrac{1}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{4}\\).\n\n### Sposób 2 - Znajdź przeciwny współczynnik odwrotny\nNachylenie prostej prostopadłej to \\(-\\dfrac{1}{2/3} = -\\dfrac{3}{2}\\).\nZatem \\(2m-1 = -\\dfrac{3}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{4}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{5}{4}\\)** - błąd znaku.\n- **C. \\(\\tfrac{5}{6}\\)** - prawdopodobnie warunek równoległości zastosowany odwrotnie.\n- **D. \\(\\tfrac{5}{4}\\)** - pomyłka rachunkowa.\n\n**Trik:** prostopadłość ⇔ iloczyn współczynników \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Proste o równaniach 𝑦= 2<br>3 𝑥-3 oraz 𝑦= (2𝑚-1)𝑥+ 1 są prostopadłe, gdy<br>A. 𝑚= -5<br>4<br>B. 𝑚= -1<br>4<br>C. 𝑚= 5<br>6<br>D. 𝑚= 5<br>4<br>Proste o równaniach y={2/3}x-3 oraz y=(2m-1)x+1 są prostopadłe, gdy A. m=-{5/4}; B. m=-{1/4}; C. m={5/6}; D. m={5/4}.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -\\dfrac{1}{4}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (iloczyn współczynników kierunkowych)</h4>\n<p>Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p><strong>Odczytujemy współczynniki kierunkowe</strong> obu prostych:</p>\n<ul><li>Prosta 1: \\(y = \\dfrac{2}{3}x - 3\\) → \\(a_1 = \\dfrac{2}{3}\\)</li><li>Prosta 2: \\(y = (2m-1)x + 1\\) → \\(a_2 = 2m - 1\\)</li></ul>\n<p><strong>Zapisujemy warunek prostopadłości:</strong><br>\\[\\frac{2}{3} \\cdot (2m - 1) = -1\\]</p>\n<p><strong>Rozwiązujemy równanie:</strong><br>\\[\\frac{2(2m-1)}{3} = -1\\]<br>\\[2(2m-1) = -3\\]<br>\\[4m - 2 = -3\\]<br>\\[4m = -1\\]<br>\\[\\boxed{m = -\\frac{1}{4}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja wyniku (sprawdzenie)</h4>\n<p>Dla \\(m = -\\dfrac{1}{4}\\) obliczamy współczynnik kierunkowy drugiej prostej:<br>\\[a_2 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) - 1 = -\\frac{1}{2} - 1 = -\\frac{3}{2}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy warunek prostopadłości:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = \\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - proste są rzeczywiście prostopadłe.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio do ustawienia równania z niewiadomą \\(m\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A. \\(m = -\\dfrac{5}{4}\\) | Błąd przy mnożeniu - np. pomnożono \\(\\dfrac{2}{3} \\cdot 2m = -1\\) bez \\(-1\\) w nawiasie, albo zły znak po pomnożeniu przez 3 |<br>| C. \\(m = \\dfrac{5}{6}\\) | Użycie warunku równoległości \\(a_1 = a_2\\) zamiast prostopadłości: \\(\\dfrac{2}{3} = 2m-1\\) daje \\(m = \\dfrac{5}{6}\\) |<br>| D. \\(m = \\dfrac{5}{4}\\) | Mylne użycie warunku \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\) (ze znakiem \\(+\\) zamiast \\(-1\\)), czyli brak znaku minus |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), <strong>nie</strong> \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Łatwo zgubić ten minus pod presją egzaminu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl warunku prostopadłości z równoległością! Równoległość to \\(a_1 = a_2\\) - właśnie taką &quot;pułapką&quot; jest odpowiedź C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy otwieraniu nawiasu \\(2(2m - 1)\\) pamiętaj o obu składnikach: wynik to \\(4m - 2\\), nie samo \\(4m\\). Pominięcie \\(-2\\) daje błędny wynik.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek prostopadłości (karta wzorów)</h5>\n<p>Dwie proste \\(y=a_1 x+b_1\\) i \\(y=a_2 x+b_2\\) są prostopadłe \\(\\Leftrightarrow a_1\\cdot a_2 = -1\\).<br>\\(\\dfrac{2}{3}(2m-1) = -1 \\Rightarrow 2m-1 = -\\dfrac{3}{2} \\Rightarrow 2m = -\\dfrac{1}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{4}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Znajdź przeciwny współczynnik odwrotny</h5>\n<p>Nachylenie prostej prostopadłej to \\(-\\dfrac{1}{2/3} = -\\dfrac{3}{2}\\).<br>Zatem \\(2m-1 = -\\dfrac{3}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{4}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-\\tfrac{5}{4}\\)</strong> - błąd znaku.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{5}{6}\\)</strong> - prawdopodobnie warunek równoległości zastosowany odwrotnie.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{5}{4}\\)</strong> - pomyłka rachunkowa.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> prostopadłość ⇔ iloczyn współczynników \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1. Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej $y = \\frac{2}{3}x - 3$ to $a_1 = \\frac{2}{3}$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Zapisujemy równanie iloczynu współczynników kierunkowych dla prostych prostopadłych:\\</li></ol>\n<p>$$ a_1 \\cdot a_2 = -1 $$\\<br>gdzie $a_2$ to współczynnik kierunkowy drugiej prostej $y = (2m-1)x + 1$. Stąd mamy: $a_2 = 2m - 1$.\\<br>\\</p>\n<ol><li>Podstawiamy współczynniki kierunkowe do równania:\\</li></ol>\n<p>$$ \\frac{2}{3} \\cdot (2m - 1) = -1 $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Rozpoczynamy obliczenia. Najpierw przemnóżmy obie strony równania przez 3, aby pozbyć się ułamka:\\</li></ol>\n<p>$$ 2 \\cdot (2m - 1) = -3 $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Rozwijamy lewą stronę równania:\\</li></ol>\n<p>$$ 4m - 2 = -3 $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Dodajemy 2 do obu stron równania, aby uprościć wyrażenie:\\</li></ol>\n<p>$$ 4m = -3 + 2 $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Obliczamy prawą stronę równania:\\</li></ol>\n<p>$$ 4m = -1 $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Dzielimy obie strony równania przez 4, aby znaleźć wartość $m$:\\</li></ol>\n<p>$$ m = \\frac{-1}{4} $$\\<br>\\<br><strong>Odpowiedź:</strong> $m = -\\frac{1}{4}$ Co oznacza, że poprawną odpowiedzią jest opcja B.</p>"}]}