Zadanie 22. (0-1)
Punkty 𝐴= (1, -3) oraz 𝐶= (-2, 4) są końcami przekątnej 𝐴𝐶 rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Środek
przekątnej 𝐵𝐷 tego rombu ma współrzędne
A. (-1
2 , 1
2)
B. (1
2 , -3
2)
C. (-1, 2)
D. (-1, 1)
Punkty A=(1,-3) oraz C=(-2,4) są końcami przekątnej AC rombu ABCD. Środek przekątnej BD tego rombu ma współrzędne A. (-1/2,1/2) B. (1/2,-3/2) C. (-1,2) D. (-1,1).
Zadanie 22. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A
Kluczowa własność rombu: Przekątne rombu przecinają się w swoich środkach (bisekują się nawzajem). Oznacza to, że środek przekątnej \\(AC\\) jest jednocześnie środkiem przekątnej \\(BD\\).
\nWystarczy więc wyznaczyć środek odcinka \\(AC\\), gdzie \\(A = (1, -3)\\) i \\(C = (-2, 4)\\):
\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_C}{2} = \\frac{1 + (-2)}{2} = \\frac{-1}{2}\\]
\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_C}{2} = \\frac{-3 + 4}{2} = \\frac{1}{2}\\]
\nŚrodek przekątnej \\(BD\\) ma współrzędne \\(\\left(-\\dfrac{1}{2},\\, \\dfrac{1}{2}\\right)\\).
\nRomb to równoległobok, w którym wszystkie boki są równe. Dla każdego równoległoboku \\(ABCD\\) zachodzi:
\n\\[\\vec{OA} + \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{OD}\\]
\ngdzie \\(O\\) to punkt przecięcia przekątnych. Inaczej mówiąc: środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\).
\nMożna to też zobaczyć geometrycznie: gdyby środki przekątnych były różne, figura nie byłaby równoległobokiem (a każdy romb nim jest). Zatem znowu liczymy środek \\(AC\\):
\n\\[S = \\left(\\frac{1 + (-2)}{2},\\ \\frac{-3 + 4}{2}\\right) = \\left(-\\frac{1}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - wzór na środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia środka przekątnej \\(AC\\), który jest jednocześnie środkiem \\(BD\\).
| Odp. | Typowy błąd |
| B \\(\\left(\\frac{1}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)\\) | Wzięto tylko punkt \\(A = (1, -3)\\) i podzielono współrzędne przez 2: \\(\\frac{1}{2} = 0{,}5\\), \\(\\frac{-3}{2} = -1{,}5\\) - zapomniano dodać współrzędne \\(C\\) |
| C \\((-1, 2)\\) | Wzięto punkt \\(C = (-2, 4)\\) i podzielono przez 2: \\(\\frac{-2}{2} = -1\\), \\(\\frac{4}{2} = 2\\) - pominięto punkt \\(A\\) |
| D \\((-1, 1)\\) | Zsumowano współrzędne \\(x\\): \\(1 + (-2) = -1\\) (bez dzielenia przez 2), a \\(y\\) policzono poprawnie: \\(\\frac{-3+4}{2} = \\frac{1}{2}\\), ale zaokrąglono do \\(1\\) - błąd przy \\(x\\) (zapomniano podzielić) i przy \\(y\\) (zaokrąglenie) |
⚠️ Uwaga: Najpierw trzeba wiedzieć, że w rombie (i każdym równoległoboku) przekątne bisekują się - to własność, którą warto znać na pamięć. Bez niej zadanie staje się o wiele trudniejsze.\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić: środek \\(BD\\) to nie jest środek boku - to punkt, w którym przekątne się przecinają. W rombie jest to ten sam punkt co środek \\(AC\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu środka odcinka pamiętaj o podzieleniu przez 2 w obu współrzędnych - to najczęstszy błąd rachunkowy w tym typie zadania.\n
Poprawna odpowiedź: A
\nPrzekątne rombu przecinają się w połowie i w jednym punkcie. Środek \\(BD\\) = środek \\(AC\\).
Środek odcinka \\(AC\\): \\(\\left(\\dfrac{1+(-2)}{2}, \\dfrac{-3+4}{2}\\right) = \\left(-\\dfrac{1}{2}, \\dfrac{1}{2}\\right)\\).
\\(S = \\left(\\dfrac{x_A+x_C}{2}, \\dfrac{y_A+y_C}{2}\\right)\\) - wynik ten sam.
\nTrik: w równoległoboku (i rombie) przekątne mają wspólny środek. Wystarczy policzyć środek jednej.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, w rombie przekątne przecinają się w połowie; aby znaleźć współrzędne środka przekątnej $BD$, należy skorzystać ze wzoru na środek odcinka. Dla punktów $A = (1, -3)$ i $C = (-2, 4)$, środek obliczamy jako $M = \\left( \\frac{x_1 + x_2}{2}, \\frac{y_1 + y_2}{2} \\right) = \\left( \\frac{1 + (-2)}{2}, \\frac{-3 + 4}{2} \\right) = \\left( -\\frac{1}{2}, \\frac12 \\right)$.
"}]}