{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nPunkty 𝐴= (-6, 5), 𝐵= (5, 7), 𝐶= (10, -3) są wierzchołkami równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDługość przekątnej 𝐵𝐷 tego równoległoboku jest równa\nA. 3√5\nB. 4√5\nC. 6√5\nD. 8√5\nPunkty A=(-6,5), B=(5,7), C=(10,-3) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Długość przekątnej BD tego równoległoboku jest równa A. 3√5 B. 4√5 C. 6√5 D. 8√5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie D przez punkt przecięcia przekątnych\n\nW równoległoboku przekątne **przecinają się w połowie** - środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\).\n\n**Krok 1: Środek przekątnej \\(AC\\)**\n\\[S = \\left(\\frac{-6 + 10}{2},\\ \\frac{5 + (-3)}{2}\\right) = \\left(\\frac{4}{2},\\ \\frac{2}{2}\\right) = (2,\\ 1)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie \\(D\\)**\n\nNiech \\(D = (x, y)\\). Środek \\(BD\\) musi być równy \\(S = (2, 1)\\):\n\\[\\frac{5 + x}{2} = 2 \\implies x = -1\\]\n\\[\\frac{7 + y}{2} = 1 \\implies y = -5\\]\n\nZatem \\(D = (-1, -5)\\).\n\n**Krok 3: Długość \\(BD\\)**\n\\[|BD| = \\sqrt{(5 - (-1))^2 + (7 - (-5))^2} = \\sqrt{6^2 + 12^2} = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180}\\]\n\\[\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(|BD| = 6\\sqrt{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie D przez równość wektorów\n\nW równoległoboku \\(ABCD\\) mamy \\(\\vec{AB} = \\vec{DC}\\) (boki równoległe i równe).\n\n**Krok 1: Wektor \\(\\vec{AB}\\)**\n\\[\\vec{AB} = (5 - (-6),\\ 7 - 5) = (11,\\ 2)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie \\(D\\) z warunku \\(\\vec{DC} = \\vec{AB}\\)**\n\\[(10 - x,\\ -3 - y) = (11,\\ 2)\\]\n\\[10 - x = 11 \\implies x = -1\\]\n\\[-3 - y = 2 \\implies y = -5\\]\n\nZatem \\(D = (-1, -5)\\) - zgodnie z wynikiem ze Sposobu 1.\n\n**Krok 3: Długość \\(BD\\)** - identyczne obliczenie jak wyżej:\n\\[|BD| = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Kroku 3 obu sposobów do wyznaczenia \\(|BD|\\).\n\nWłaściwość równoległoboku (przekątne przecinają się w połowie) - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2},\\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| **A** | \\(3\\sqrt{5}\\) | Obliczono **połowę** przekątnej \\(BD\\), czyli \\(\\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{5}\\) zamiast całej długości |\n| **B** | \\(4\\sqrt{5}\\) | Obliczono **połowę** przekątnej \\(AC\\): \\(|AC| = \\sqrt{16^2 + 8^2} = \\sqrt{320} = 8\\sqrt{5}\\), a następnie podzielono przez 2 |\n| **D** | \\(8\\sqrt{5}\\) | Obliczono długość **drugiej przekątnej** \\(AC\\) zamiast \\(BD\\): \\(|AC| = \\sqrt{(10-(-6))^2 + (-3-5)^2} = \\sqrt{256+64} = \\sqrt{320} = 8\\sqrt{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równoległoboku wierzchołki idą **po kolei** - \\(ABCD\\), więc przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), a **nie** \\(AB\\) czy \\(BC\\). Zadanie pyta o \\(BD\\), nie \\(AC\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu pierwiastka sprawdź, czy liczba pod nim ma czynnik będący pełnym kwadratem: \\(\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\). Bez uproszczenia trudno dopasować odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek odcinka to \\(\\left(\\frac{x_1+x_2}{2}, \\frac{y_1+y_2}{2}\\right)\\) - dzielimy **sumę** współrzędnych, nie różnicę!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\)\nŚrodek \\(AC\\): \\(S = \\left(\\dfrac{-6+10}{2}, \\dfrac{5+(-3)}{2}\\right) = (2, 1)\\).\n\\(S\\) jest też środkiem \\(BD\\). Z \\(B=(5,7)\\): \\(D = 2S - B = (2\\cdot 2 - 5, 2\\cdot 1 - 7) = (-1, -5)\\).\nDługość \\(BD = \\sqrt{(5-(-1))^2 + (7-(-5))^2} = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor \\(\\vec{BD} = 2\\vec{BS}\\)\n\\(\\vec{BS} = (2-5, 1-7) = (-3, -6)\\). \\(\\vec{BD} = 2\\vec{BS} = (-6, -12)\\).\n\\(|BD| = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\sqrt{5}\\)** - to \\(|BS|\\) (połowa przekątnej).\n- **B. \\(4\\sqrt{5}\\)**, **D. \\(8\\sqrt{5}\\)** - błędne obliczenia.\n\n**Trik:** przekątne równoległoboku mają wspólny środek (punkt \\(S\\)). To pozwala wyznaczyć \\(D\\), a potem \\(|BD|\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Punkty 𝐴= (-6, 5), 𝐵= (5, 7), 𝐶= (10, -3) są wierzchołkami równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Długość przekątnej 𝐵𝐷 tego równoległoboku jest równa
A. 3√5
B. 4√5
C. 6√5
D. 8√5
Punkty A=(-6,5), B=(5,7), C=(10,-3) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Długość przekątnej BD tego równoległoboku jest równa A. 3√5 B. 4√5 C. 6√5 D. 8√5

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie D przez punkt przecięcia przekątnych

\n

W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie - środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\).

\n

Krok 1: Środek przekątnej \\(AC\\)
\\[S = \\left(\\frac{-6 + 10}{2},\\ \\frac{5 + (-3)}{2}\\right) = \\left(\\frac{4}{2},\\ \\frac{2}{2}\\right) = (2,\\ 1)\\]

\n

Krok 2: Wyznaczenie \\(D\\)

\n

Niech \\(D = (x, y)\\). Środek \\(BD\\) musi być równy \\(S = (2, 1)\\):
\\[\\frac{5 + x}{2} = 2 \\implies x = -1\\]
\\[\\frac{7 + y}{2} = 1 \\implies y = -5\\]

\n

Zatem \\(D = (-1, -5)\\).

\n

Krok 3: Długość \\(BD\\)
\\[|BD| = \\sqrt{(5 - (-1))^2 + (7 - (-5))^2} = \\sqrt{6^2 + 12^2} = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180}\\]
\\[\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\]

\n

Odpowiedź: \\(|BD| = 6\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie D przez równość wektorów

\n

W równoległoboku \\(ABCD\\) mamy \\(\\vec{AB} = \\vec{DC}\\) (boki równoległe i równe).

\n

Krok 1: Wektor \\(\\vec{AB}\\)
\\[\\vec{AB} = (5 - (-6),\\ 7 - 5) = (11,\\ 2)\\]

\n

Krok 2: Wyznaczenie \\(D\\) z warunku \\(\\vec{DC} = \\vec{AB}\\)
\\[(10 - x,\\ -3 - y) = (11,\\ 2)\\]
\\[10 - x = 11 \\implies x = -1\\]
\\[-3 - y = 2 \\implies y = -5\\]

\n

Zatem \\(D = (-1, -5)\\) - zgodnie z wynikiem ze Sposobu 1.

\n

Krok 3: Długość \\(BD\\) - identyczne obliczenie jak wyżej:
\\[|BD| = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - wzór na długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy go w Kroku 3 obu sposobów do wyznaczenia \\(|BD|\\).

\n

Właściwość równoległoboku (przekątne przecinają się w połowie) - wzór na środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2},\\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość | Typowy błąd |
| A | \\(3\\sqrt{5}\\) | Obliczono połowę przekątnej \\(BD\\), czyli \\(\\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{5}\\) zamiast całej długości |
| B | \\(4\\sqrt{5}\\) | Obliczono połowę przekątnej \\(AC\\): \\(|AC| = \\sqrt{16^2 + 8^2} = \\sqrt{320} = 8\\sqrt{5}\\), a następnie podzielono przez 2 |
| D | \\(8\\sqrt{5}\\) | Obliczono długość drugiej przekątnej \\(AC\\) zamiast \\(BD\\): \\(|AC| = \\sqrt{(10-(-6))^2 + (-3-5)^2} = \\sqrt{256+64} = \\sqrt{320} = 8\\sqrt{5}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W równoległoboku wierzchołki idą po kolei - \\(ABCD\\), więc przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), a nie \\(AB\\) czy \\(BC\\). Zadanie pyta o \\(BD\\), nie \\(AC\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu pierwiastka sprawdź, czy liczba pod nim ma czynnik będący pełnym kwadratem: \\(\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\). Bez uproszczenia trudno dopasować odpowiedź.
\n
⚠️ Uwaga: Środek odcinka to \\(\\left(\\frac{x_1+x_2}{2}, \\frac{y_1+y_2}{2}\\right)\\) - dzielimy sumę współrzędnych, nie różnicę!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\)
\n

Środek \\(AC\\): \\(S = \\left(\\dfrac{-6+10}{2}, \\dfrac{5+(-3)}{2}\\right) = (2, 1)\\).
\\(S\\) jest też środkiem \\(BD\\). Z \\(B=(5,7)\\): \\(D = 2S - B = (2\\cdot 2 - 5, 2\\cdot 1 - 7) = (-1, -5)\\).
Długość \\(BD = \\sqrt{(5-(-1))^2 + (7-(-5))^2} = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).

\n
Sposób 2 - Wektor \\(\\vec{BD} = 2\\vec{BS}\\)
\n

\\(\\vec{BS} = (2-5, 1-7) = (-3, -6)\\). \\(\\vec{BD} = 2\\vec{BS} = (-6, -12)\\).
\\(|BD| = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: przekątne równoległoboku mają wspólny środek (punkt \\(S\\)). To pozwala wyznaczyć \\(D\\), a potem \\(|BD|\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, przekątne przecinają się w połowie długości. Znając współrzędne punktów $A$ i $C$ możemy wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia przekątnych (jest to środek odcinka $AC$) - ma on współrzędne
$S=(\\frac{-6+10}{2},\\frac{5-3}{2})=(2,1)$.
Znając współrzędne punktu $S$ możemy obliczyć długość odcinka $BS$ - jest ona równa:
$|BS|=\\sqrt{(5-2)^2+(7-1)^2}=3\\sqrt5$.
Długość odcinka $BD$ jest $2$ razy większa:
$|BD|=6\\sqrt5$

"}]}