{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nObrazem prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥+ 5 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑥 jest prosta\no równaniu\nA. 𝑦= 2𝑥-5\nB. 𝑦= -2𝑥-5\nC. 𝑦= -2𝑥+ 5\nD. 𝑦= 2𝑥+ 5\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nObrazem prostej o równaniu y=2x+5 w symetrii osiowej względem osi Ox jest prosta o równaniu A. y=2x-5 B. y=-2x-5 C. y=-2x+5 D. y=2x+5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(y = -2x - 5\\)\n\n## Sposób 1 - Algebraiczne podstawienie (zamiana \\(y\\) na \\(-y\\))\n\nSymetria osiowa względem osi \\(Ox\\) to odbicie każdego punktu w pionie:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y)\\]\n\nJeśli punkt \\((x, y)\\) leży na obrazie prostej, to punkt \\((x, -y)\\) leżał na prostej **wyjściowej**.\n\nPodstawiamy \\(-y\\) zamiast \\(y\\) do równania \\(y = 2x + 5\\):\n\\[-y = 2x + 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\):\n\\[\\boxed{y = -2x - 5}\\]\n\n**To jest równanie szukanego obrazu - odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Punktowy (odbicie konkretnych punktów)\n\nBierzemy dwa punkty leżące na prostej \\(y = 2x + 5\\) i odbijamy je względem osi \\(Ox\\).\n\n**Punkt 1:** \\(x = 0\\) → \\(y = 5\\), punkt \\(A = (0, 5)\\)\nOdbicie: \\(A' = (0, -5)\\)\n\n**Punkt 2 (miejsce zerowe):** \\(0 = 2x + 5\\), czyli \\(x = -\\frac{5}{2}\\), punkt \\(B = \\left(-\\frac{5}{2},\\ 0\\right)\\)\nOdbicie: \\(B' = \\left(-\\frac{5}{2},\\ 0\\right)\\) - punkt na osi \\(Ox\\) nie zmienia miejsca.\n\nSzukamy równania prostej przez \\(A' = (0, -5)\\) i \\(B' = \\left(-\\frac{5}{2}, 0\\right)\\):\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{-5 - 0}{0 - \\left(-\\frac{5}{2}\\right)} = \\frac{-5}{\\frac{5}{2}} = -5 \\cdot \\frac{2}{5} = -2\\]\n\nWyraz wolny odczytujemy wprost z punktu \\(A' = (0, -5)\\): \\(b = -5\\)\n\n\\[\\boxed{y = -2x - 5} \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\nWiemy, że symetria względem osi \\(Ox\\) to zamiana \\(y \\to -y\\) w równaniu prostej. To wystarczy - nie potrzebujemy tu żadnych bardziej zaawansowanych wzorów.\n\nW tym zadaniu nie używamy wzorów z karty CKE poza ogólną znajomością postaci równania prostej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(y = 2x - 5\\) | Uczeń **zmienił tylko znak wyrazu wolnego** (\\(+5 \\to -5\\)), ale zapomniał o zmianie znaku \\(a\\). Jakby odbijał samą \"wysokość\", a nie całą prostą |\n| C: \\(y = -2x + 5\\) | Uczeń **zmienił tylko znak współczynnika kierunkowego** (\\(2 \\to -2\\)), a zostawił \\(+5\\) bez zmian. To byłoby odbicie względem osi \\(Oy\\), nie \\(Ox\\)! |\n| D: \\(y = 2x + 5\\) | Brak jakiejkolwiek zmiany - prosta wyjściowa. Uczeń mógł pomylić symetrię z identycznością (np. gdy prosta jest równoległa do osi \\(Ox\\), obraz się nie zmienia - ale tu tak nie jest) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia **oba**: znak współczynnika kierunkowego **i** znak wyrazu wolnego. W wyniku zamiany \\(y \\to -y\\) i pomnożenia przez \\(-1\\) oba wyrazy po prawej stronie zmieniają znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić symetrii względem \\(Ox\\) z symetrią względem \\(Oy\\)! Odbicie względem \\(Oy\\) to zamiana \\(x \\to -x\\), co zmienia tylko znak \\(a\\) (i daje odpowiedź C).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta pionowa (np. \\(x = 3\\)) odbija się w \\(Ox\\) w siebie. Prosta pozioma (np. \\(y = 5\\)) odbija się w prostą \\(y = -5\\). Dla prostych \"ukośnych\" zmieniają się **oba** parametry.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Ox\\): \\((x,y)\\to(x,-y)\\)\nPodstawiamy \\(y \\to -y\\) w równaniu \\(y=2x+5\\):\n\\(-y = 2x + 5 \\Rightarrow y = -2x - 5\\).\n\n### Sposób 2 - Dwa punkty\nNa prostej \\(y=2x+5\\): \\((0,5)\\) i \\((-\\tfrac{5}{2}, 0)\\). Po odbiciu względem \\(Ox\\): \\((0,-5)\\) i \\((-\\tfrac{5}{2}, 0)\\).\nProsta przez te punkty: współczynnik \\(\\dfrac{0-(-5)}{-\\tfrac{5}{2}-0} = \\dfrac{5}{-\\tfrac{5}{2}} = -2\\), przecięcie osi \\(y\\) w \\(-5\\). Stąd \\(y=-2x-5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y=2x-5\\)** - odbicie względem osi \\(Ox\\) NIE zmienia współczynnika przy \\(x\\) w ten sposób.\n- **C. \\(y=-2x+5\\)** - symetria względem osi \\(Oy\\).\n- **D. \\(y=2x+5\\)** - ta sama prosta (nie zmieniła się).\n\n**Trik:** symetria względem \\(Ox\\): zamień \\(y\\) na \\(-y\\). Względem \\(Oy\\): zamień \\(x\\) na \\(-x\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Obrazem prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥+ 5 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑥 jest prosta<br>o równaniu<br>A. 𝑦= 2𝑥-5<br>B. 𝑦= -2𝑥-5<br>C. 𝑦= -2𝑥+ 5<br>D. 𝑦= 2𝑥+ 5</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Obrazem prostej o równaniu y=2x+5 w symetrii osiowej względem osi Ox jest prosta o równaniu A. y=2x-5 B. y=-2x-5 C. y=-2x+5 D. y=2x+5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(y = -2x - 5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Algebraiczne podstawienie (zamiana \\(y\\) na \\(-y\\))</h4>\n<p>Symetria osiowa względem osi \\(Ox\\) to odbicie każdego punktu w pionie:<br>\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y)\\]</p>\n<p>Jeśli punkt \\((x, y)\\) leży na obrazie prostej, to punkt \\((x, -y)\\) leżał na prostej <strong>wyjściowej</strong>.</p>\n<p>Podstawiamy \\(-y\\) zamiast \\(y\\) do równania \\(y = 2x + 5\\):<br>\\[-y = 2x + 5\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(-1\\):<br>\\[\\boxed{y = -2x - 5}\\]</p>\n<p><strong>To jest równanie szukanego obrazu - odpowiedź B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Punktowy (odbicie konkretnych punktów)</h4>\n<p>Bierzemy dwa punkty leżące na prostej \\(y = 2x + 5\\) i odbijamy je względem osi \\(Ox\\).</p>\n<p><strong>Punkt 1:</strong> \\(x = 0\\) → \\(y = 5\\), punkt \\(A = (0, 5)\\)<br>Odbicie: \\(A&#x27; = (0, -5)\\)</p>\n<p><strong>Punkt 2 (miejsce zerowe):</strong> \\(0 = 2x + 5\\), czyli \\(x = -\\frac{5}{2}\\), punkt \\(B = \\left(-\\frac{5}{2},\\ 0\\right)\\)<br>Odbicie: \\(B&#x27; = \\left(-\\frac{5}{2},\\ 0\\right)\\) - punkt na osi \\(Ox\\) nie zmienia miejsca.</p>\n<p>Szukamy równania prostej przez \\(A&#x27; = (0, -5)\\) i \\(B&#x27; = \\left(-\\frac{5}{2}, 0\\right)\\):</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy:<br>\\[a = \\frac{-5 - 0}{0 - \\left(-\\frac{5}{2}\\right)} = \\frac{-5}{\\frac{5}{2}} = -5 \\cdot \\frac{2}{5} = -2\\]</p>\n<p>Wyraz wolny odczytujemy wprost z punktu \\(A&#x27; = (0, -5)\\): \\(b = -5\\)</p>\n<p>\\[\\boxed{y = -2x - 5} \\quad \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b\\]<br>Wiemy, że symetria względem osi \\(Ox\\) to zamiana \\(y \\to -y\\) w równaniu prostej. To wystarczy - nie potrzebujemy tu żadnych bardziej zaawansowanych wzorów.</p>\n<p>W tym zadaniu nie używamy wzorów z karty CKE poza ogólną znajomością postaci równania prostej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(y = 2x - 5\\) | Uczeń <strong>zmienił tylko znak wyrazu wolnego</strong> (\\(+5 \\to -5\\)), ale zapomniał o zmianie znaku \\(a\\). Jakby odbijał samą &quot;wysokość&quot;, a nie całą prostą |<br>| C: \\(y = -2x + 5\\) | Uczeń <strong>zmienił tylko znak współczynnika kierunkowego</strong> (\\(2 \\to -2\\)), a zostawił \\(+5\\) bez zmian. To byłoby odbicie względem osi \\(Oy\\), nie \\(Ox\\)! |<br>| D: \\(y = 2x + 5\\) | Brak jakiejkolwiek zmiany - prosta wyjściowa. Uczeń mógł pomylić symetrię z identycznością (np. gdy prosta jest równoległa do osi \\(Ox\\), obraz się nie zmienia - ale tu tak nie jest) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia <strong>oba</strong>: znak współczynnika kierunkowego <strong>i</strong> znak wyrazu wolnego. W wyniku zamiany \\(y \\to -y\\) i pomnożenia przez \\(-1\\) oba wyrazy po prawej stronie zmieniają znak.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić symetrii względem \\(Ox\\) z symetrią względem \\(Oy\\)! Odbicie względem \\(Oy\\) to zamiana \\(x \\to -x\\), co zmienia tylko znak \\(a\\) (i daje odpowiedź C).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta pionowa (np. \\(x = 3\\)) odbija się w \\(Ox\\) w siebie. Prosta pozioma (np. \\(y = 5\\)) odbija się w prostą \\(y = -5\\). Dla prostych &quot;ukośnych&quot; zmieniają się <strong>oba</strong> parametry.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Ox\\): \\((x,y)\\to(x,-y)\\)</h5>\n<p>Podstawiamy \\(y \\to -y\\) w równaniu \\(y=2x+5\\):<br>\\(-y = 2x + 5 \\Rightarrow y = -2x - 5\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Dwa punkty</h5>\n<p>Na prostej \\(y=2x+5\\): \\((0,5)\\) i \\((-\\tfrac{5}{2}, 0)\\). Po odbiciu względem \\(Ox\\): \\((0,-5)\\) i \\((-\\tfrac{5}{2}, 0)\\).<br>Prosta przez te punkty: współczynnik \\(\\dfrac{0-(-5)}{-\\tfrac{5}{2}-0} = \\dfrac{5}{-\\tfrac{5}{2}} = -2\\), przecięcie osi \\(y\\) w \\(-5\\). Stąd \\(y=-2x-5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(y=2x-5\\)</strong> - odbicie względem osi \\(Ox\\) NIE zmienia współczynnika przy \\(x\\) w ten sposób.</li><li><strong>C. \\(y=-2x+5\\)</strong> - symetria względem osi \\(Oy\\).</li><li><strong>D. \\(y=2x+5\\)</strong> - ta sama prosta (nie zmieniła się).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> symetria względem \\(Ox\\): zamień \\(y\\) na \\(-y\\). Względem \\(Oy\\): zamień \\(x\\) na \\(-x\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od równania danej prostej, które jest zapisane w postaci $y = 2x + 5$.\\</li></ol>\n<ol><li>Aby znaleźć obraz tej prostej w symetrii osiowej względem osi $Ox$, musimy zrozumieć, co to znaczy. Symetria osiowa względem osi $Ox$ polega na tym, że punkty na prostej zmieniają swoje znaki tylko w kierunku osi $y$.\\</li></ol>\n<ol><li>Oznacza to, że jeśli dla danego $x$ mieliśmy $y$, to w symetrii względem osi $Ox$ uzyskujemy $-y$.\\</li></ol>\n<ol><li>Podstawimy nasze wyrażenie dla $y$ z równania pierwotnej prostej: $y = 2x + 5$. Wsymetrii względem osi $Ox$ przechodzi to w $-y$: \\[ -y = 2x + 5 \\] .\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz przekształcamy to równanie, aby wyrazić $y$. Mnożymy obie strony równania przez $-1$: \\[ y = - (2x + 5) \\] .\\</li></ol>\n<ol><li>Rozwijamy równanie: \\[ y = -2x - 5 \\] .\\</li></ol>\n<ol><li>Otrzymujemy nowe równanie prostej, która jest obrazem pierwotnej prostej w symetrii względem osi $Ox$.\\</li></ol>\n<ol><li>Porównujemy to równanie z podanymi opcjami odpowiedzi. Zauważamy, że nasze równanie $y = -2x - 5$ jest zgodne z odpowiedzią B.\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Prawidłowa odpowiedź to B.</p>"}]}