{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich\nścian jest równy 7 ∶3. Podstawą tego graniastosłupa jest\nA. trójkąt.\nB. pięciokąt.\nC. siedmiokąt.\nD. ośmiokąt.\nW graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy 7:3. Podstawą tego graniastosłupa jest A. trójkąt. B. pięciokąt. C. siedmiokąt. D. ośmiokąt.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (siedmiokąt)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(n\\) ze stosunku krawędzi do ścian\n\nNiech \\(n\\) będzie liczbą boków podstawy graniastosłupa prawidłowego.\n\n**Policzmy krawędzie i ściany dla dowolnego \\(n\\):**\n\n- **Krawędzie**: \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi górnej podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi bocznych \\(= 3n\\)\n- **Ściany**: \\(2\\) podstawy \\(+\\) \\(n\\) ścian bocznych \\(= n + 2\\)\n\n**Stosunek krawędzi do ścian wynosi \\(7:3\\)**, więc:\n\n\\[\\frac{3n}{n+2} = \\frac{7}{3}\\]\n\n**Krzyżowo mnożymy:**\n\n\\[3 \\cdot 3n = 7 \\cdot (n + 2)\\]\n\n\\[9n = 7n + 14\\]\n\n\\[2n = 14\\]\n\n\\[\\boxed{n = 7}\\]\n\nPodstawą jest **siedmiokąt**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie \\(n=7\\))\n\nSprawdzamy, czy graniastosłup o podstawie siedmiokąta daje stosunek \\(7:3\\):\n\n- **Krawędzie:** \\(3 \\cdot 7 = 21\\)\n- **Ściany:** \\(7 + 2 = 9\\)\n- **Stosunek:** \\(21 : 9 = 7 : 3\\) ✓\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność zliczania elementów graniastosłupa (krawędzie, ściany) i układania proporcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Podstawa | Krawędzie | Ściany | Stosunek | Błąd |\n| A | trójkąt (\\(n=3\\)) | 9 | 5 | \\(9:5\\) | Nie równa się \\(7:3\\) - typowy błąd: uczeń liczy tylko krawędzie boczne zamiast wszystkich |\n| B | pięciokąt (\\(n=5\\)) | 15 | 7 | \\(15:7\\) | Nie równa się \\(7:3\\) |\n| D | ośmiokąt (\\(n=8\\)) | 24 | 10 | \\(12:5\\) | Nie równa się \\(7:3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o krawędziach **obu podstaw** - dolnej i górnej. Krawędzie bocznych ścian to tylko jedna z trzech grup krawędzi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ściany to oba wielokąty-podstawy PLUS prostokąty boczne. Suma to \\(n + 2\\), nie samo \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(7:3\\) nie oznacza, że krawędzi jest 7, a ścian 3 - to tylko proporcja. Szukamy \\(n\\), nie konkretnych liczb.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Liczba krawędzi i ścian graniastosłupa o podstawie \\(n\\)-kątnej\nKrawędzi: \\(3n\\) (\\(n\\) w każdej podstawie + \\(n\\) bocznych). Ścian: \\(n+2\\) (\\(n\\) bocznych + 2 podstawy).\nWarunek: \\(\\dfrac{3n}{n+2} = \\dfrac{7}{3}\\).\n\\(9n = 7(n+2) \\Rightarrow 9n = 7n + 14 \\Rightarrow 2n = 14 \\Rightarrow n = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi\nA. \\(n=3\\): \\(\\tfrac{9}{5}\\). B. \\(n=5\\): \\(\\tfrac{15}{7}\\). C. \\(n=7\\): \\(\\tfrac{21}{9}=\\tfrac{7}{3}\\) ✓. D. \\(n=8\\): \\(\\tfrac{24}{10} = \\tfrac{12}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. trójkąt**: stosunek \\(9:5\\neq 7:3\\).\n- **B. pięciokąt**: \\(15:7\\neq 7:3\\).\n- **D. ośmiokąt**: \\(24:10\\neq 7:3\\).\n\n**Trik:** dla graniastosłupa \\(n\\)-kątnego: \\(W=2n, K=3n, S=n+2\\). Zapamiętaj te wzory!","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich<br>ścian jest równy 7 ∶3. Podstawą tego graniastosłupa jest<br>A. trójkąt.<br>B. pięciokąt.<br>C. siedmiokąt.<br>D. ośmiokąt.<br>W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy 7:3. Podstawą tego graniastosłupa jest A. trójkąt. B. pięciokąt. C. siedmiokąt. D. ośmiokąt.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (siedmiokąt)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(n\\) ze stosunku krawędzi do ścian</h4>\n<p>Niech \\(n\\) będzie liczbą boków podstawy graniastosłupa prawidłowego.</p>\n<p><strong>Policzmy krawędzie i ściany dla dowolnego \\(n\\):</strong></p>\n<ul><li><strong>Krawędzie</strong>: \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi górnej podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi bocznych \\(= 3n\\)</li><li><strong>Ściany</strong>: \\(2\\) podstawy \\(+\\) \\(n\\) ścian bocznych \\(= n + 2\\)</li></ul>\n<p><strong>Stosunek krawędzi do ścian wynosi \\(7:3\\)</strong>, więc:</p>\n<p>\\[\\frac{3n}{n+2} = \\frac{7}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krzyżowo mnożymy:</strong></p>\n<p>\\[3 \\cdot 3n = 7 \\cdot (n + 2)\\]</p>\n<p>\\[9n = 7n + 14\\]</p>\n<p>\\[2n = 14\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{n = 7}\\]</p>\n<p>Podstawą jest <strong>siedmiokąt</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie \\(n=7\\))</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy graniastosłup o podstawie siedmiokąta daje stosunek \\(7:3\\):</p>\n<ul><li><strong>Krawędzie:</strong> \\(3 \\cdot 7 = 21\\)</li><li><strong>Ściany:</strong> \\(7 + 2 = 9\\)</li><li><strong>Stosunek:</strong> \\(21 : 9 = 7 : 3\\) ✓</li></ul>\n<p>Wynik się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność zliczania elementów graniastosłupa (krawędzie, ściany) i układania proporcji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Podstawa | Krawędzie | Ściany | Stosunek | Błąd |<br>| A | trójkąt (\\(n=3\\)) | 9 | 5 | \\(9:5\\) | Nie równa się \\(7:3\\) - typowy błąd: uczeń liczy tylko krawędzie boczne zamiast wszystkich |<br>| B | pięciokąt (\\(n=5\\)) | 15 | 7 | \\(15:7\\) | Nie równa się \\(7:3\\) |<br>| D | ośmiokąt (\\(n=8\\)) | 24 | 10 | \\(12:5\\) | Nie równa się \\(7:3\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć o krawędziach <strong>obu podstaw</strong> - dolnej i górnej. Krawędzie bocznych ścian to tylko jedna z trzech grup krawędzi!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ściany to oba wielokąty-podstawy PLUS prostokąty boczne. Suma to \\(n + 2\\), nie samo \\(n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stosunek \\(7:3\\) nie oznacza, że krawędzi jest 7, a ścian 3 - to tylko proporcja. Szukamy \\(n\\), nie konkretnych liczb.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Liczba krawędzi i ścian graniastosłupa o podstawie \\(n\\)-kątnej</h5>\n<p>Krawędzi: \\(3n\\) (\\(n\\) w każdej podstawie + \\(n\\) bocznych). Ścian: \\(n+2\\) (\\(n\\) bocznych + 2 podstawy).<br>Warunek: \\(\\dfrac{3n}{n+2} = \\dfrac{7}{3}\\).<br>\\(9n = 7(n+2) \\Rightarrow 9n = 7n + 14 \\Rightarrow 2n = 14 \\Rightarrow n = 7\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi</h5>\n<p>A. \\(n=3\\): \\(\\tfrac{9}{5}\\). B. \\(n=5\\): \\(\\tfrac{15}{7}\\). C. \\(n=7\\): \\(\\tfrac{21}{9}=\\tfrac{7}{3}\\) ✓. D. \\(n=8\\): \\(\\tfrac{24}{10} = \\tfrac{12}{5}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. trójkąt</strong>: stosunek \\(9:5\\neq 7:3\\).</li><li><strong>B. pięciokąt</strong>: \\(15:7\\neq 7:3\\).</li><li><strong>D. ośmiokąt</strong>: \\(24:10\\neq 7:3\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla graniastosłupa \\(n\\)-kątnego: \\(W=2n, K=3n, S=n+2\\). Zapamiętaj te wzory!</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, w graniastosłupie prawidłowym o podstawie siedmiokątnej liczba krawędzi wynosi $21$, a liczba ścian wynosi $9$, co daje stosunek $21 : 9$, po uproszczeniu $7 : 3$, co zgadza się z warunkiem zadania.</p>"}]}