{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna zestawu liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna\nzestawu liczb 𝑎-10, 𝑏+ 30, 𝑐, 𝑑 jest równa\nA. 10\nB. 20\nC. 25\nD. 30\nŚrednia arytmetyczna zestawu liczb a, b, c, d jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb a-10, b+30, c, d jest równa A. 10 B. 20 C. 25 D. 30","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(25\\)\n\n## Sposób 1 - Przez sumę elementów\n\nŚrednia arytmetyczna to suma elementów podzielona przez ich liczbę. Skoro średnia zestawu \\(a, b, c, d\\) wynosi \\(20\\), to:\n\n\\[\\frac{a + b + c + d}{4} = 20\\]\n\n\\[a + b + c + d = 80\\]\n\nTeraz obliczamy sumę nowego zestawu \\(a-10,\\ b+30,\\ c,\\ d\\):\n\n\\[(a - 10) + (b + 30) + c + d\\]\n\n\\[= a + b + c + d + (-10 + 30)\\]\n\n\\[= 80 + 20 = 100\\]\n\nNowa średnia:\n\n\\[\\frac{100}{4} = \\mathbf{25}\\]\n\n## Sposób 2 - Śledzenie zmiany średniej\n\nZamiast liczyć sumy, możemy śledzić, **o ile zmienia się suma** (a więc i średnia) po modyfikacjach.\n\nMamy 4 elementy. Zmieniamy:\n- \\(a \\to a - 10\\) → suma spada o \\(10\\)\n- \\(b \\to b + 30\\) → suma rośnie o \\(30\\)\n- \\(c\\) i \\(d\\) bez zmian\n\n**Łączna zmiana sumy:** \\(-10 + 30 = +20\\)\n\n**Łączna zmiana średniej:** \\(\\frac{+20}{4} = +5\\)\n\nNowa średnia: \\(20 + 5 = \\mathbf{25}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - w Sposobie 1 do wyznaczenia sumy z danej średniej, w Sposobie 2 do przeliczenia zmiany sumy na zmianę średniej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((10)\\) | Uczeń widzi \\(-10\\) i myśli, że średnia spada o \\(10\\): \\(20 - 10 = 10\\). Ignoruje \\(+30\\). |\n| B \\((20)\\) | Uczeń uznaje, że zmiany się \"równoważą\": \\(-10\\) i \\(+30\\) to skrajności, więc średnia ta sama. Nie liczy dokładnie: \\(-10 + 30 = +20\\), nie \\(0\\). |\n| D \\((30)\\) | Uczeń bierze tylko \\(+30\\) i przelicza na całość bez odejmowania \\(10\\): \\(20 + \\frac{30}{4} \\approx 27{,}5\\), albo po prostu daje \\(20 + 10 = 30\\) zgadując. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie patrz na modyfikacje oddzielnie - zawsze licz **łączną zmianę sumy**, a dopiero potem dziel przez liczbę elementów. Tutaj \\(-10 + 30 = +20\\), a nie \\(-10\\) lub \\(+30\\) osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Elementy \\(c\\) i \\(d\\) nie zmieniają się - nie doliczaj do nich nic. Zmiana sumy wynika **wyłącznie** z modyfikacji \\(a\\) i \\(b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że przy \\(n\\) elementach zmiana sumy o \\(k\\) to zmiana średniej o \\(\\frac{k}{n}\\). Tu \\(n=4\\), więc zmiana sumy \\(+20\\) daje zmianę średniej \\(+5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na średnią (karta wzorów)\n\\(\\dfrac{a+b+c+d}{4} = 20 \\Rightarrow a+b+c+d = 80\\).\nNowa suma: \\((a-10)+(b+30)+c+d = 80 + 20 = 100\\).\nNowa średnia: \\(\\dfrac{100}{4} = 25\\).\n\n### Sposób 2 - Zmiana średniej\nZmiana sumy: \\(-10 + 30 = +20\\). Zmiana średniej: \\(\\dfrac{+20}{4} = +5\\).\nNowa średnia: \\(20 + 5 = 25\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)**, **D. \\(30\\)** - błędne przesunięcia.\n- **B. \\(20\\)** - założenie, że średnia się nie zmieniła (ale suma wzrosła o 20).\n\n**Trik:** zmiany \\(+30\\) i \\(-10\\) NIE znoszą się - suma wzrasta o \\(20\\), średnia o \\(5\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Średnia arytmetyczna zestawu liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna<br>zestawu liczb 𝑎-10, 𝑏+ 30, 𝑐, 𝑑 jest równa<br>A. 10<br>B. 20<br>C. 25<br>D. 30<br>Średnia arytmetyczna zestawu liczb a, b, c, d jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb a-10, b+30, c, d jest równa A. 10 B. 20 C. 25 D. 30</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(25\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przez sumę elementów</h4>\n<p>Średnia arytmetyczna to suma elementów podzielona przez ich liczbę. Skoro średnia zestawu \\(a, b, c, d\\) wynosi \\(20\\), to:</p>\n<p>\\[\\frac{a + b + c + d}{4} = 20\\]</p>\n<p>\\[a + b + c + d = 80\\]</p>\n<p>Teraz obliczamy sumę nowego zestawu \\(a-10,\\ b+30,\\ c,\\ d\\):</p>\n<p>\\[(a - 10) + (b + 30) + c + d\\]</p>\n<p>\\[= a + b + c + d + (-10 + 30)\\]</p>\n<p>\\[= 80 + 20 = 100\\]</p>\n<p>Nowa średnia:</p>\n<p>\\[\\frac{100}{4} = \\mathbf{25}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Śledzenie zmiany średniej</h4>\n<p>Zamiast liczyć sumy, możemy śledzić, <strong>o ile zmienia się suma</strong> (a więc i średnia) po modyfikacjach.</p>\n<p>Mamy 4 elementy. Zmieniamy:</p>\n<ul><li>\\(a \\to a - 10\\) → suma spada o \\(10\\)</li><li>\\(b \\to b + 30\\) → suma rośnie o \\(30\\)</li><li>\\(c\\) i \\(d\\) bez zmian</li></ul>\n<p><strong>Łączna zmiana sumy:</strong> \\(-10 + 30 = +20\\)</p>\n<p><strong>Łączna zmiana średniej:</strong> \\(\\frac{+20}{4} = +5\\)</p>\n<p>Nowa średnia: \\(20 + 5 = \\mathbf{25}\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - wzór na średnią arytmetyczną:</p>\n<p>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - w Sposobie 1 do wyznaczenia sumy z danej średniej, w Sposobie 2 do przeliczenia zmiany sumy na zmianę średniej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((10)\\) | Uczeń widzi \\(-10\\) i myśli, że średnia spada o \\(10\\): \\(20 - 10 = 10\\). Ignoruje \\(+30\\). |<br>| B \\((20)\\) | Uczeń uznaje, że zmiany się &quot;równoważą&quot;: \\(-10\\) i \\(+30\\) to skrajności, więc średnia ta sama. Nie liczy dokładnie: \\(-10 + 30 = +20\\), nie \\(0\\). |<br>| D \\((30)\\) | Uczeń bierze tylko \\(+30\\) i przelicza na całość bez odejmowania \\(10\\): \\(20 + \\frac{30}{4} \\approx 27{,}5\\), albo po prostu daje \\(20 + 10 = 30\\) zgadując. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie patrz na modyfikacje oddzielnie - zawsze licz <strong>łączną zmianę sumy</strong>, a dopiero potem dziel przez liczbę elementów. Tutaj \\(-10 + 30 = +20\\), a nie \\(-10\\) lub \\(+30\\) osobno.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Elementy \\(c\\) i \\(d\\) nie zmieniają się - nie doliczaj do nich nic. Zmiana sumy wynika <strong>wyłącznie</strong> z modyfikacji \\(a\\) i \\(b\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że przy \\(n\\) elementach zmiana sumy o \\(k\\) to zmiana średniej o \\(\\frac{k}{n}\\). Tu \\(n=4\\), więc zmiana sumy \\(+20\\) daje zmianę średniej \\(+5\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na średnią (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(\\dfrac{a+b+c+d}{4} = 20 \\Rightarrow a+b+c+d = 80\\).<br>Nowa suma: \\((a-10)+(b+30)+c+d = 80 + 20 = 100\\).<br>Nowa średnia: \\(\\dfrac{100}{4} = 25\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Zmiana średniej</h5>\n<p>Zmiana sumy: \\(-10 + 30 = +20\\). Zmiana średniej: \\(\\dfrac{+20}{4} = +5\\).<br>Nowa średnia: \\(20 + 5 = 25\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(10\\)</strong>, <strong>D. \\(30\\)</strong> - błędne przesunięcia.</li><li><strong>B. \\(20\\)</strong> - założenie, że średnia się nie zmieniła (ale suma wzrosła o 20).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zmiany \\(+30\\) i \\(-10\\) NIE znoszą się - suma wzrasta o \\(20\\), średnia o \\(5\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od danych w zadaniu. Średnia arytmetyczna liczb $a, b, c, d$ wynosi 20. Możemy zapisać to w postaci równania:</li></ol>\n<p>$$\\frac{a + b + c + d}{4} = 20$$.</p>\n<ol><li>Mnożymy obie strony równania przez 4, aby pozbyć się ułamka:</li></ol>\n<p>$$a + b + c + d = 80$$.</p>\n<ol><li>Teraz musimy obliczyć średnią arytmetyczną nowego zestawu liczb, który składa się z $a - 10, b + 30, c, d$.</li></ol>\n<ol><li>Najpierw obliczamy sumę nowych liczb:</li></ol>\n<p>$$S = (a - 10) + (b + 30) + c + d$$.</p>\n<ol><li>Rozwijamy sumę:</li></ol>\n<p>$$S = a - 10 + b + 30 + c + d$$<br>$$S = (a + b + c + d) + 20$$.</p>\n<ol><li>Z podstawowego równania wiemy, że $a + b + c + d = 80$, więc możemy podstawić tę wartość do równania:</li></ol>\n<p>$$S = 80 + 20$$.</p>\n<ol><li>Obliczamy sumę:</li></ol>\n<p>$$S = 100$$.</p>\n<ol><li>Teraz obliczamy średnią arytmetyczną nowego zestawu liczb. Skoro mamy 4 liczby, to średnia wynosi:</li></ol>\n<p>$$\\text{średnia} = \\frac{S}{4} = \\frac{100}{4}$$.</p>\n<ol><li>Obliczamy:</li></ol>\n<p>$$\\frac{100}{4} = 25$$.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 25. Ta wartość odpowiada opcji C.</p>"}]}