{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach\nparzystych jest\nA. 6 ⋅10 ⋅10\nB. 3 ⋅10 ⋅10\nC. 6 ⋅5 ⋅5\nD. 3 ⋅5 ⋅5\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach parzystych jest A. 6⋅10⋅10 B. 3⋅10⋅10 C. 6⋅5⋅5 D. 3⋅5⋅5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie cyfr na każdej pozycji osobno\n\nLiczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{ABC}\\), gdzie \\(A\\) to cyfra setek, \\(B\\) dziesiątek, \\(C\\) jedności.\n\n**Warunki:**\n1. Wszystkie cyfry parzyste (każda z \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\))\n2. Liczba większa od \\(300\\)\n\n**Cyfra setek \\(A\\):**\n\nCyfry parzyste to \\(0, 2, 4, 6, 8\\). Ale \\(A\\) musi spełniać dwa warunki naraz:\n- \\(A \\neq 0\\) (liczba trzycyfrowa)\n- \\(A > 3\\) (liczba \\(> 300\\))\n- \\(A\\) parzysta\n\nCyfry parzyste większe od \\(3\\): \\(4, 6, 8\\) → **3 możliwości**\n\n(Cyfra \\(2\\) daje liczby \\(200\\text{-}299 < 300\\), więc odpada.)\n\n**Cyfra dziesiątek \\(B\\):**\n\nJedyne ograniczenie: \\(B\\) parzysta.\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) → **5 możliwości**\n\n**Cyfra jedności \\(C\\):**\n\nAnalogicznie: \\(C\\) parzysta.\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) → **5 możliwości**\n\n**Łączna liczba takich liczb** (zasada mnożenia - wybory niezależne):\n\\[3 \\cdot 5 \\cdot 5 = 75\\]\n\n**Odpowiedź to \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5\\), czyli D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyliczenie dla \\(A = 4\\)\n\nSprawdźmy, ile jest liczb z \\(A = 4\\) (analogicznie dla \\(6\\) i \\(8\\)):\n\n\\[4\\underbrace{\\_}_{B \\in \\{0,2,4,6,8\\}}\\underbrace{\\_}_{C \\in \\{0,2,4,6,8\\}}\\]\n\nDla \\(A = 4\\): \\(5 \\cdot 5 = 25\\) liczb.\n\nPonieważ każda z trzech możliwości dla \\(A\\) daje dokładnie \\(25\\) liczb:\n\\[3 \\cdot 25 = 75\\]\n\nZgadza się z wynikiem ze Sposobu 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **zasada mnożenia** (reguła iloczynu z kombinatoryki, Dział 13, s. 28): jeśli wybieramy niezależnie \\(k_1\\) obiektów na pierwszej pozycji, \\(k_2\\) na drugiej itd., to łączna liczba sposobów wynosi \\(k_1 \\cdot k_2 \\cdot \\ldots\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Błąd |\n| A | \\(6 \\cdot 10 \\cdot 10\\) | Pominięto warunek parzystości na **wszystkich** pozycjach. Cyfra setek: dowolna \\(> 3\\), czyli \\(4,5,6,7,8,9\\) → 6 opcji; dziesiątki i jedności: wszystkie 10 cyfr. Zignorowano „wszystkie cyfry parzyste\". |\n| B | \\(3 \\cdot 10 \\cdot 10\\) | Poprawnie wyznaczono cyfrę setek (\\(4,6,8\\) → 3), ale **zapomniano** o warunku parzystości dla dziesiątek i jedności - wzięto po 10 cyfr zamiast 5. |\n| C | \\(6 \\cdot 5 \\cdot 5\\) | Poprawnie wzięto 5 parzystych cyfr dla dziesiątek i jedności, ale **zapomniano** o warunku parzystości dla setek - wzięto \\(4,5,6,7,8,9\\) → 6 zamiast tylko parzyste \\(4,6,8\\) → 3. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra setek ma DWA ograniczenia jednocześnie: parzysta **i** większa od 3. Uczniowie często sprawdzają tylko jeden z tych warunków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest parzysta - należy ją liczyć w dziesiątkach i jedności (\\(B, C \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\)), ale **nie** w setkach (bo \\(0\\text{\\_\\_}\\) to nie jest liczba trzycyfrowa).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „liczba \\(> 300\\)\" dotyczy setek, a nie wszystkich cyfr - błędem jest myśleć, że każda cyfra musi być \\(> 3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie pozycji\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) (5 cyfr).\nCyfra setek > 3 i parzysta: \\(4, 6, 8\\) - **3 możliwości**.\nCyfra dziesiątek: parzysta, dowolna - **5 możliwości**.\nCyfra jedności: parzysta, dowolna - **5 możliwości**.\nRazem: \\(3\\cdot 5\\cdot 5\\).\n\n### Sposób 2 - Reguła mnożenia (karta wzorów)\nLiczba układów = iloczyn liczby wyborów dla każdej pozycji. Tu: \\(3\\cdot 5\\cdot 5 = 75\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\cdot 10\\cdot 10\\)** - cyfry dowolne (nieograniczone), nie parzyste.\n- **B. \\(3\\cdot 10\\cdot 10\\)** - setki OK, ale pozostałe cyfry nieograniczone.\n- **C. \\(6\\cdot 5\\cdot 5\\)** - setki: \\(6\\) (wszystkie \\(>3\\)), ale wymagana też parzystość.\n\n**Trik:** \"większe od 300\" znaczy od 301, ale też musi mieć cyfrę setek parzystą - zostają 4, 6, 8.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 27. (0-1)
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach
parzystych jest
A. 6 ⋅10 ⋅10
B. 3 ⋅10 ⋅10
C. 6 ⋅5 ⋅5
D. 3 ⋅5 ⋅5
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach parzystych jest A. 6⋅10⋅10 B. 3⋅10⋅10 C. 6⋅5⋅5 D. 3⋅5⋅5

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie cyfr na każdej pozycji osobno

\n

Liczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{ABC}\\), gdzie \\(A\\) to cyfra setek, \\(B\\) dziesiątek, \\(C\\) jedności.

\n

Warunki:

\n
  1. Wszystkie cyfry parzyste (każda z \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\))
  2. Liczba większa od \\(300\\)
\n

Cyfra setek \\(A\\):

\n

Cyfry parzyste to \\(0, 2, 4, 6, 8\\). Ale \\(A\\) musi spełniać dwa warunki naraz:

\n\n

Cyfry parzyste większe od \\(3\\): \\(4, 6, 8\\) → 3 możliwości

\n

(Cyfra \\(2\\) daje liczby \\(200\\text{-}299 < 300\\), więc odpada.)

\n

Cyfra dziesiątek \\(B\\):

\n

Jedyne ograniczenie: \\(B\\) parzysta.
Cyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) → 5 możliwości

\n

Cyfra jedności \\(C\\):

\n

Analogicznie: \\(C\\) parzysta.
Cyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) → 5 możliwości

\n

Łączna liczba takich liczb (zasada mnożenia - wybory niezależne):
\\[3 \\cdot 5 \\cdot 5 = 75\\]

\n

Odpowiedź to \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5\\), czyli D.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez wyliczenie dla \\(A = 4\\)

\n

Sprawdźmy, ile jest liczb z \\(A = 4\\) (analogicznie dla \\(6\\) i \\(8\\)):

\n

\\[4\\underbrace{\\}{B \\in \\{0,2,4,6,8\\}}\\underbrace{\\}{C \\in \\{0,2,4,6,8\\}}\\]

\n

Dla \\(A = 4\\): \\(5 \\cdot 5 = 25\\) liczb.

\n

Ponieważ każda z trzech możliwości dla \\(A\\) daje dokładnie \\(25\\) liczb:
\\[3 \\cdot 25 = 75\\]

\n

Zgadza się z wynikiem ze Sposobu 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zasada mnożenia (reguła iloczynu z kombinatoryki, Dział 13, s. 28): jeśli wybieramy niezależnie \\(k_1\\) obiektów na pierwszej pozycji, \\(k_2\\) na drugiej itd., to łączna liczba sposobów wynosi \\(k_1 \\cdot k_2 \\cdot \\ldots\\)

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wyrażenie | Błąd |
| A | \\(6 \\cdot 10 \\cdot 10\\) | Pominięto warunek parzystości na wszystkich pozycjach. Cyfra setek: dowolna \\(> 3\\), czyli \\(4,5,6,7,8,9\\) → 6 opcji; dziesiątki i jedności: wszystkie 10 cyfr. Zignorowano „wszystkie cyfry parzyste". |
| B | \\(3 \\cdot 10 \\cdot 10\\) | Poprawnie wyznaczono cyfrę setek (\\(4,6,8\\) → 3), ale zapomniano o warunku parzystości dla dziesiątek i jedności - wzięto po 10 cyfr zamiast 5. |
| C | \\(6 \\cdot 5 \\cdot 5\\) | Poprawnie wzięto 5 parzystych cyfr dla dziesiątek i jedności, ale zapomniano o warunku parzystości dla setek - wzięto \\(4,5,6,7,8,9\\) → 6 zamiast tylko parzyste \\(4,6,8\\) → 3. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Cyfra setek ma DWA ograniczenia jednocześnie: parzysta i większa od 3. Uczniowie często sprawdzają tylko jeden z tych warunków.
\n
⚠️ Uwaga: Cyfra \\(0\\) jest parzysta - należy ją liczyć w dziesiątkach i jedności (\\(B, C \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\)), ale nie w setkach (bo \\(0\\text{\\\\}\\) to nie jest liczba trzycyfrowa).
\n
⚠️ Uwaga: Warunek „liczba \\(> 300\\)" dotyczy setek, a nie wszystkich cyfr - błędem jest myśleć, że każda cyfra musi być \\(> 3\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Zliczanie pozycji
\n

Cyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) (5 cyfr).
Cyfra setek > 3 i parzysta: \\(4, 6, 8\\) - 3 możliwości.
Cyfra dziesiątek: parzysta, dowolna - 5 możliwości.
Cyfra jedności: parzysta, dowolna - 5 możliwości.
Razem: \\(3\\cdot 5\\cdot 5\\).

\n
Sposób 2 - Reguła mnożenia (karta wzorów)
\n

Liczba układów = iloczyn liczby wyborów dla każdej pozycji. Tu: \\(3\\cdot 5\\cdot 5 = 75\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: "większe od 300" znaczy od 301, ale też musi mieć cyfrę setek parzystą - zostają 4, 6, 8.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, mamy $3$ wybory dla setek ($4$, $6$, $8$), $5$ możliwości dla dziesiątek ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$) i $5$ dla jedności ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$). Stąd łącznie $3 \\cdot 5 \\cdot 5$ możliwości.

"}]}