{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech 𝑝 oznacza\nprawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy\nA. 𝑝= 1\n18\nB. 𝑝= 1\n6\nC. 𝑝= 1\n3\nD. 𝑝= 2\n3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy A. p=1/18 B. p=1/6 C. p=1/3 D. p=2/3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(p = \\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie prawdopodobieństwa\n\n**Co szukamy?** Prawdopodobieństwo, że w **drugim rzucie** wypadnie liczba oczek podzielna przez 3.\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Wynik drugiego rzutu jest **niezależny** od wyniku pierwszego rzutu. To, co wypadło za pierwszym razem, nie ma żadnego wpływu na kostkę przy drugim rzucie.\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych** drugiego rzutu:\n\\[\\Omega_2 = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}, \\quad |\\Omega_2| = 6\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające** - wypadnięcie liczby podzielnej przez 3:\n\\[A = \\{3, 6\\}, \\quad |A| = 2\\]\n\nStosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega_2|} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pełną przestrzeń doświadczenia\n\nRozważamy **całe doświadczenie** (oba rzuty razem). Pełna przestrzeń zdarzeń elementarnych:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36 \\text{ równie prawdopodobnych par}\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające** - drugi rzut daje liczbę podzielną przez 3, czyli 3 lub 6. Pierwszy rzut może być dowolny (6 możliwości), drugi - 2 możliwości:\n\n\\[|A| = 6 \\cdot 2 = 12\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[p = \\frac{12}{36} = \\frac{1}{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w obu sposobach - liczymy liczbę zdarzeń sprzyjających i dzielimy przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{18}\\) | Uczeń mnożył prawdopodobieństwa obu rzutów: \\(\\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{18}\\) - błędnie traktując wynik drugiego rzutu jako zależny od wyniku pierwszego (lub licząc tylko jedną liczbę podzielną przez 3 zamiast dwóch) |\n| B - \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń policzył, że podzielne przez 3 to tylko liczba 3 (jedna liczba), zapominając o liczbie 6 |\n| D - \\(\\frac{2}{3}\\) | Zamieniono zdarzenie z jego dopełnieniem: \\(1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\), czyli uczeń policzył prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (wypadnięcie liczby **nie**podzielnej przez 3) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzmianka o „dwukrotnym rzucie\" to celowe wprowadzenie w błąd - wynik **drugiego** rzutu jest całkowicie niezależny od pierwszego. Nie komplikuj zadania bez potrzeby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby podzielne przez 3 w zakresie 1-6 to **3 i 6** (dwie liczby, nie jedna!). Pominięcie liczby 6 to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetryczność kostki gwarantuje, że każda ściana wypada z jednakowym prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{6}\\) - możemy stosować prawdopodobieństwo klasyczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Niezależność rzutów\nWynik pierwszego rzutu nie ma wpływu na drugi. Liczby podzielne przez \\(3\\) na kostce: \\(3, 6\\) - 2 z 6.\n\\(p = \\dfrac{2}{6} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nPrzestrzeń drugiego rzutu: \\(\\{1,2,3,4,5,6\\}\\), 6 wyników. Sprzyjające: \\(\\{3,6\\}\\), 2 wyniki.\n\\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{2}{6} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{18}\\)** - pomyłka: mnożenie \\(\\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{1}{6}\\), niezrozumienie warunku.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - liczenie jednej konkretnej wartości (np. \"wypadnie 3\").\n- **D. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - prawdopodobieństwo dopełnienia.\n\n**Trik:** przy niezależnych zdarzeniach warunek na drugi rzut traktuj osobno, bez pierwszego.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,
która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech 𝑝 oznacza
prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy
A. 𝑝= 1
18
B. 𝑝= 1
6
C. 𝑝= 1
3
D. 𝑝= 2
3

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy A. p=1/18 B. p=1/6 C. p=1/3 D. p=2/3

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C
ZADANIA OTWARTE
Uwagi ogólne:

\n
  1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki
\n

zadania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym
\n

zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną
liczbę punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie
\n

upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do
uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(p = \\dfrac{1}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie prawdopodobieństwa

\n

Co szukamy? Prawdopodobieństwo, że w drugim rzucie wypadnie liczba oczek podzielna przez 3.

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Wynik drugiego rzutu jest niezależny od wyniku pierwszego rzutu. To, co wypadło za pierwszym razem, nie ma żadnego wpływu na kostkę przy drugim rzucie.

\n

Przestrzeń zdarzeń elementarnych drugiego rzutu:
\\[\\Omega_2 = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}, \\quad |\\Omega_2| = 6\\]

\n

Zdarzenie sprzyjające - wypadnięcie liczby podzielnej przez 3:
\\[A = \\{3, 6\\}, \\quad |A| = 2\\]

\n

Stosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:
\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega_2|} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Sposób 2 - Przez pełną przestrzeń doświadczenia

\n

Rozważamy całe doświadczenie (oba rzuty razem). Pełna przestrzeń zdarzeń elementarnych:
\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36 \\text{ równie prawdopodobnych par}\\]

\n

Zdarzenie sprzyjające - drugi rzut daje liczbę podzielną przez 3, czyli 3 lub 6. Pierwszy rzut może być dowolny (6 możliwości), drugi - 2 możliwości:

\n

\\[|A| = 6 \\cdot 2 = 12\\]

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[p = \\frac{12}{36} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyte w obu sposobach - liczymy liczbę zdarzeń sprzyjających i dzielimy przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(\\frac{1}{18}\\) | Uczeń mnożył prawdopodobieństwa obu rzutów: \\(\\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{18}\\) - błędnie traktując wynik drugiego rzutu jako zależny od wyniku pierwszego (lub licząc tylko jedną liczbę podzielną przez 3 zamiast dwóch) |
| B - \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń policzył, że podzielne przez 3 to tylko liczba 3 (jedna liczba), zapominając o liczbie 6 |
| D - \\(\\frac{2}{3}\\) | Zamieniono zdarzenie z jego dopełnieniem: \\(1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\), czyli uczeń policzył prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (wypadnięcie liczby niepodzielnej przez 3) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzmianka o „dwukrotnym rzucie" to celowe wprowadzenie w błąd - wynik drugiego rzutu jest całkowicie niezależny od pierwszego. Nie komplikuj zadania bez potrzeby.
\n
⚠️ Uwaga: Liczby podzielne przez 3 w zakresie 1-6 to 3 i 6 (dwie liczby, nie jedna!). Pominięcie liczby 6 to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Symetryczność kostki gwarantuje, że każda ściana wypada z jednakowym prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{6}\\) - możemy stosować prawdopodobieństwo klasyczne.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Niezależność rzutów
\n

Wynik pierwszego rzutu nie ma wpływu na drugi. Liczby podzielne przez \\(3\\) na kostce: \\(3, 6\\) - 2 z 6.
\\(p = \\dfrac{2}{6} = \\dfrac{1}{3}\\).

\n
Sposób 2 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)
\n

Przestrzeń drugiego rzutu: \\(\\{1,2,3,4,5,6\\}\\), 6 wyników. Sprzyjające: \\(\\{3,6\\}\\), 2 wyniki.
\\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{2}{6} = \\dfrac{1}{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: przy niezależnych zdarzeniach warunek na drugi rzut traktuj osobno, bez pierwszego.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, łączna liczba wszystkich możliwych zdarzeń to $|\\Omega|=36$. Wypiszmy zdarzenia sprzyjające: $(1,3),(2,3),(3,3),\\\\(4,3),(5,3), (6,3), (1,6), (2,6), \\\\(3,6), (4,6), (5,6),(6,6)$ - jest ich więcej niż $12$.

\n

$\\small \\displaystyle P=\\frac{12}{36}=\\frac{1}{3}$

"}]}