{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n3𝑥2 -8𝑥≥3\n\nEMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność: 3x^2-8x ≥ 3","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥-3.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 3𝑥2 -8𝑥-3 ≥0.\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu\nkwadratowego 3𝑥2 -8𝑥-3: 𝑥1 = -1\n3 oraz 𝑥2 = 3.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi\netap rozwiązania, tj.:\npoda zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞)\nALBO\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n-1\n3\n𝑥\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny\nniż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.\n3𝑥2 -8𝑥) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3𝑥2 -8𝑥≥0), to oznacza,\nże nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-∞, -1\n3) ∪(3, +∞), to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , +∞), (+∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , -∞), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy etap rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -8𝑥-3 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n3𝑥2 -8𝑥-3.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 100 i stąd 𝑥1 = -1\n3 oraz 𝑥2 = 3\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -1\n3 oraz 𝑥2 = 3.\nDrugi etap rozwiązania\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞),\nlub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej\n-1\n3\n𝑥\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\leq \\frac{1}{3}\\) lub \\(x \\geq 3\\)\n\nCzyli zbiór rozwiązań: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie miejsc zerowych i analiza paraboli\n\n**Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę**\n\n\\[3x^2 - 8x \\geq 3\\]\n\\[3x^2 - 8x - 3 \\geq 0\\]\n\nMamy trójmian \\(f(x) = 3x^2 - 8x - 3\\) z \\(a = 3 > 0\\), więc **parabola jest skierowana ramionami w górę**.\n\n**Krok 2: Obliczamy wyróżnik**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-3) = 64 + 36 = 100\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy miejsca zerowe**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - \\sqrt{100}}{6} = \\frac{8 - 10}{6} = \\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\]\n\nZaraz - sprawdzam znak: skoro \\(b = -8\\), to \\(-b = 8\\).\n\n\\[x_1 = \\frac{8 - 10}{6} = \\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\]\n\\[x_2 = \\frac{8 + 10}{6} = \\frac{18}{6} = 3\\]\n\n**Krok 4: Odczytujemy rozwiązanie nierówności**\n\nParabola ma ramiona skierowane w górę (\\(a > 0\\)), więc \\(f(x) \\geq 0\\) **na zewnątrz** miejsc zerowych, czyli:\n\n\\[x \\leq -\\frac{1}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 3\\]\n\nUwzględniamy punkty końcowe (nierówność nieostra \\(\\geq\\)):\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\n**Krok 1: Szukamy rozkładu trójmianu \\(3x^2 - 8x - 3\\)**\n\nSzukamy liczb takich, żeby \\(3x^2 - 8x - 3 = 3(x - x_1)(x - x_2)\\).\n\nZnamy pierwiastki \\(x_1 = -\\frac{1}{3}\\), \\(x_2 = 3\\), więc:\n\n\\[3x^2 - 8x - 3 = 3\\left(x + \\frac{1}{3}\\right)(x - 3)\\]\n\nMożemy elegancko zapisać:\n\n\\[3x^2 - 8x - 3 = (3x + 1)(x - 3)\\]\n\n*(sprawdzamy: \\((3x+1)(x-3) = 3x^2 - 9x + x - 3 = 3x^2 - 8x - 3\\) ✓)*\n\n**Krok 2: Analizujemy znak iloczynu**\n\nNierówność ma postać:\n\n\\[(3x + 1)(x - 3) \\geq 0\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(3x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\frac{1}{3}\\) oraz \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\)\n\n| Przedział | \\(3x+1\\) | \\(x-3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -\\frac{1}{3}\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-\\frac{1}{3} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:**\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -\\frac{1}{3}\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozkładu trójmianu na czynniki i analizy znaku.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij przenieść \\(3\\) na lewą stronę! Nierówność \\(3x^2 - 8x \\geq 3\\) to **nie to samo** co \\(3x^2 - 8x \\geq 0\\). Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(a > 0\\) (ramiona paraboli w górę), to trójmian jest **nieujemny na zewnątrz** miejsc zerowych, a **ujemny między nimi**. Wielu uczniów odwraca kierunek - zapamiętaj: \"uśmiechnięta parabola\" jest powyżej osi \\(x\\) po bokach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest nieostra (\\(\\geq\\)), więc punkty \\(x = -\\frac{1}{3}\\) i \\(x = 3\\) **należą do zbioru rozwiązań** - zapisujemy nawiasy domknięte \\(\\langle\\) i \\(\\rangle\\), nie okrągłe.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 1 - Delta i pierwiastki (karta wzorów)\n\\(3x^2 - 8x - 3 \\geq 0\\).\n\\(\\Delta = (-8)^2 - 4\\cdot 3\\cdot(-3) = 64 + 36 = 100\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 10\\).\n\\(x_1 = \\dfrac{8-10}{6} = -\\dfrac{1}{3}\\), \\(x_2 = \\dfrac{8+10}{6} = 3\\).\nParabola w górę (\\(a=3>0\\)), więc \\(\\geq 0\\) na zewnątrz pierwiastków:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nZe wzorów: \\(x_1+x_2 = \\dfrac{8}{3}\\), \\(x_1 x_2 = -1\\). Sprawdzenie: \\(-\\dfrac{1}{3}+3 = \\dfrac{8}{3}\\) ✓, \\(-\\dfrac{1}{3}\\cdot 3 = -1\\) ✓.\nPostać iloczynowa: \\(3(x+\\dfrac{1}{3})(x-3) \\geq 0\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za obliczenie pierwiastków \\(x_1 = -\\dfrac{1}{3}, x_2 = 3\\).\n- **2 pkt** - za poprawny zbiór rozwiązań w notacji przedziałowej.\n- Jeśli \\(\\Delta<0\\) błędnie obliczone → 0 pkt.\n- Dopuszczalna forma graficzna z zaznaczonymi końcami przedziałów.\n\n**Trik:** dla \\(ax^2+bx+c\\geq 0\\) z \\(a>0\\): rozwiązanie na zewnątrz pierwiastków. Dla \\(\\leq 0\\): pomiędzy nimi.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Rozwiąż nierówność
3𝑥2 -8𝑥≥3

\n

EMAP-P0_100
Rozwiąż nierówność: 3x^2-8x ≥ 3

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Zasady oceniania
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥-3.
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 3𝑥2 -8𝑥-3 ≥0.
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu
kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥-3: 𝑥1 = -1
3 oraz 𝑥2 = 3.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi
etap rozwiązania, tj.:
poda zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1
3⟩∪⟨3, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1
3⟩∪⟨3, +∞)
ALBO
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma
\n

dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
-1
3
𝑥
3
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie
\n

obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny
\n

niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.
3𝑥2 -8𝑥) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3𝑥2 -8𝑥≥0), to oznacza,
że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
\n

liczbami wymiernymi.

\n
  1. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
\n

końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-∞, -1

\n
  1. ∪(3, +∞), to otrzymuje 1 punkt za
\n

całe rozwiązanie.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (-∞, 3⟩∪⟨-1
3 , +∞), (+∞, 3⟩∪⟨-1
3 , -∞), to otrzymuje 2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Pierwszy etap rozwiązania
Zapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -8𝑥-3 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
3𝑥2 -8𝑥-3.
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 100 i stąd 𝑥1 = -1
3 oraz 𝑥2 = 3
ALBO
podajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:
𝑥1 = -1
3 oraz 𝑥2 = 3.
Drugi etap rozwiązania
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1
3⟩∪⟨3, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1
3⟩∪⟨3, +∞),
lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej
-1
3
𝑥
3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\leq \\frac{1}{3}\\) lub \\(x \\geq 3\\)

\n

Czyli zbiór rozwiązań: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie miejsc zerowych i analiza paraboli

\n

Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę

\n

\\[3x^2 - 8x \\geq 3\\]
\\[3x^2 - 8x - 3 \\geq 0\\]

\n

Mamy trójmian \\(f(x) = 3x^2 - 8x - 3\\) z \\(a = 3 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę.

\n

Krok 2: Obliczamy wyróżnik

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-3) = 64 + 36 = 100\\]

\n

Krok 3: Wyznaczamy miejsca zerowe

\n

\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - \\sqrt{100}}{6} = \\frac{8 - 10}{6} = \\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\]

\n

Zaraz - sprawdzam znak: skoro \\(b = -8\\), to \\(-b = 8\\).

\n

\\[x_1 = \\frac{8 - 10}{6} = \\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\]
\\[x_2 = \\frac{8 + 10}{6} = \\frac{18}{6} = 3\\]

\n

Krok 4: Odczytujemy rozwiązanie nierówności

\n

Parabola ma ramiona skierowane w górę (\\(a > 0\\)), więc \\(f(x) \\geq 0\\) na zewnątrz miejsc zerowych, czyli:

\n

\\[x \\leq -\\frac{1}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 3\\]

\n

Uwzględniamy punkty końcowe (nierówność nieostra \\(\\geq\\)):

\n

\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)

\n

Krok 1: Szukamy rozkładu trójmianu \\(3x^2 - 8x - 3\\)

\n

Szukamy liczb takich, żeby \\(3x^2 - 8x - 3 = 3(x - x_1)(x - x_2)\\).

\n

Znamy pierwiastki \\(x_1 = -\\frac{1}{3}\\), \\(x_2 = 3\\), więc:

\n

\\[3x^2 - 8x - 3 = 3\\left(x + \\frac{1}{3}\\right)(x - 3)\\]

\n

Możemy elegancko zapisać:

\n

\\[3x^2 - 8x - 3 = (3x + 1)(x - 3)\\]

\n

(sprawdzamy: \\((3x+1)(x-3) = 3x^2 - 9x + x - 3 = 3x^2 - 8x - 3\\) ✓)

\n

Krok 2: Analizujemy znak iloczynu

\n

Nierówność ma postać:

\n

\\[(3x + 1)(x - 3) \\geq 0\\]

\n

Miejsca zerowe: \\(3x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\frac{1}{3}\\) oraz \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\)

\n

| Przedział | \\(3x+1\\) | \\(x-3\\) | Iloczyn |
| \\(x < -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x = -\\frac{1}{3}\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(-\\frac{1}{3} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Wynik:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -\\frac{1}{3}\\) i \\(x_2 = 3\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozkładu trójmianu na czynniki i analizy znaku.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij przenieść \\(3\\) na lewą stronę! Nierówność \\(3x^2 - 8x \\geq 3\\) to nie to samo co \\(3x^2 - 8x \\geq 0\\). Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Skoro \\(a > 0\\) (ramiona paraboli w górę), to trójmian jest nieujemny na zewnątrz miejsc zerowych, a ujemny między nimi. Wielu uczniów odwraca kierunek - zapamiętaj: "uśmiechnięta parabola" jest powyżej osi \\(x\\) po bokach.
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest nieostra (\\(\\geq\\)), więc punkty \\(x = -\\frac{1}{3}\\) i \\(x = 3\\) należą do zbioru rozwiązań - zapisujemy nawiasy domknięte \\(\\langle\\) i \\(\\rangle\\), nie okrągłe.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).

\n
Sposób 1 - Delta i pierwiastki (karta wzorów)
\n

\\(3x^2 - 8x - 3 \\geq 0\\).
\\(\\Delta = (-8)^2 - 4\\cdot 3\\cdot(-3) = 64 + 36 = 100\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 10\\).
\\(x_1 = \\dfrac{8-10}{6} = -\\dfrac{1}{3}\\), \\(x_2 = \\dfrac{8+10}{6} = 3\\).
Parabola w górę (\\(a=3>0\\)), więc \\(\\geq 0\\) na zewnątrz pierwiastków:
\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty).\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Ze wzorów: \\(x_1+x_2 = \\dfrac{8}{3}\\), \\(x_1 x_2 = -1\\). Sprawdzenie: \\(-\\dfrac{1}{3}+3 = \\dfrac{8}{3}\\) ✓, \\(-\\dfrac{1}{3}\\cdot 3 = -1\\) ✓.
Postać iloczynowa: \\(3(x+\\dfrac{1}{3})(x-3) \\geq 0\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: dla \\(ax^2+bx+c\\geq 0\\) z \\(a>0\\): rozwiązanie na zewnątrz pierwiastków. Dla \\(\\leq 0\\): pomiędzy nimi.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\left(-\\dfrac{1}{3}, +\\infty\\right)$ (lub równoważny przedział z domknięciem)

"}]}