Zadanie 3. (0-1)
Liczba (5 -2√3)
2 jest równa
A. 25 + 4√3
B. 25 -4√3
C. 37 + 20√3
D. 37 -20√3
Liczba (5-2√3)² jest równa A. 25+4√3 B. 25-4√3 C. 37+20√3 D. 37-20√3
Zadanie 3. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D
\\[\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2 = 37 - 20\\sqrt{3}\\]
\nRozpoznajemy wzór \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\), gdzie \\(a = 5\\) i \\(b = 2\\sqrt{3}\\).
\nLiczymy każdy składnik osobno:
\n\\[a^2 = 5^2 = 25\\]
\n\\[2ab = 2 \\cdot 5 \\cdot 2\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\]
\n\\[b^2 = \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\]
\nSkładamy razem:
\n\\[\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2 = 25 - 20\\sqrt{3} + 12 = \\mathbf{37 - 20\\sqrt{3}}\\]
\nRozwijamy nawiasy ręcznie, traktując \\(\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2\\) jako iloczyn dwóch jednakowych nawiasów:
\n\\[\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)\\cdot\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)\\]
\nMnożymy każdy wyraz przez każdy (schemat FOIL):
\n\\[= 5 \\cdot 5 + 5 \\cdot \\left(-2\\sqrt{3}\\right) + \\left(-2\\sqrt{3}\\right) \\cdot 5 + \\left(-2\\sqrt{3}\\right)\\cdot\\left(-2\\sqrt{3}\\right)\\]
\n\\[= 25 - 10\\sqrt{3} - 10\\sqrt{3} + 4 \\cdot 3\\]
\n\\[= 25 - 20\\sqrt{3} + 12\\]
\n\\[= \\mathbf{37 - 20\\sqrt{3}}\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(a = 5\\), \\(b = 2\\sqrt{3}\\).
Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]
Użyliśmy przy obliczaniu \\(\\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 2^2 \\cdot \\left(\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\).
| Odp. | Typowy błąd |
| A | Wzięto \\((a+b)^2\\) zamiast \\((a-b)^2\\): \\(25 + 20\\sqrt{3} + 12\\) - pomylono znak środkowego składnika, a do tego pominięto \\(b^2 = 12\\), zostaje \\(25 + 4\\sqrt{3}\\) (podwójny błąd) |
| B | Poprawny znak \\(-20\\sqrt{3}\\), ale pominięto \\(b^2 = 12\\) - zatrzymano się na \\(25 - 20\\sqrt{3}\\) zamiast dodać \\(12\\) |
| C | Zastosowano wzór \\((a+b)^2\\) zamiast \\((a-b)^2\\): \\(25 + 20\\sqrt{3} + 12 = 37 + 20\\sqrt{3}\\) - błędny znak przed składnikiem z pierwiastkiem |
⚠️ Uwaga: \\(\\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 \\neq 2 \\cdot 3\\). Pamiętaj, że potęgujemy cały składnik: \\(2^2 \\cdot \\left(\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), nie \\(2 \\cdot 3 = 6\\).\n
⚠️ Uwaga: \\(\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2 \\neq 25 - 4 \\cdot 3\\). Nie możesz po prostu podnosić do kwadratu każdego składnika z osobna i odejmować - środkowy wyraz \\(-2ab\\) jest niezbędny!\n
⚠️ Uwaga: Sprawdzaj znak. Wzór \\((a-b)^2\\) daje minus przed \\(2ab\\). Tutaj to \\(-20\\sqrt{3}\\), nie \\(+20\\sqrt{3}\\).\n
Poprawna odpowiedź: D
\n\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\). Dla \\(a=5\\), \\(b=2\\sqrt{3}\\):
\\(a^2 = 25\\), \\(b^2 = (2\\sqrt{3})^2 = 4\\cdot 3 = 12\\), \\(2ab = 2\\cdot 5\\cdot 2\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\).
\\[(5-2\\sqrt{3})^2 = 25 - 20\\sqrt{3} + 12 = 37 - 20\\sqrt{3}.\\]
\\((5-2\\sqrt{3})(5-2\\sqrt{3}) = 25 - 10\\sqrt{3} - 10\\sqrt{3} + 4\\cdot 3 = 37 - 20\\sqrt{3}\\).
\nTrik: w \\((\\ldots - \\sqrt{\\,})^2\\) składnik z pierwiastkiem ma minus.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Rozwiązanie:
\n$$x = (5 - 2\\sqrt{3})^2$$
\n$$x = (5 - 2\\sqrt{3}) \\cdot (5 - 2\\sqrt{3})$$
\n$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
gdzie $a = 5$ oraz $b = 2\\sqrt{3}$. Zatem:
$$x = 5^2 - 2 \\cdot 5 \\cdot (2\\sqrt{3}) + (2\\sqrt{3})^2$$
$$5^2 = 25$$
\n$$-2 \\cdot 5 \\cdot (2\\sqrt{3}) = -20\\sqrt{3}$$
\n$$(2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12$$
\n$$x = 25 - 20\\sqrt{3} + 12$$
\n$$x = (25 + 12) - 20\\sqrt{3}$$
$$x = 37 - 20\\sqrt{3}$$
Odpowiedź: D
"}]}