{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nTrójwyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦-4, 𝑦) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu\njest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nTrójwyrazowy ciąg (x,y-4,y) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze dwa równania z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 wynikające z warunków zadania, np.\n(𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4) i 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6\nLUB\n𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4 i 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6\nALBO\npoda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego: 𝑟= 4 lub przyjmuje w rozwiązaniu,\nże 𝑟= 4,\nALBO\nbez zapisania obliczeń poda poprawną odpowiedź: (-2, 2, 6).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wszystkie wyrazy ciągu: (-2, 2, 6).\nUwaga:\nJeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ trzeci wyraz tego ciągu jest o 4 większy od drugiego wyrazu, więc różnica ciągu\njest równa 4. Zatem ciąg możemy zapisać w postaci (𝑥, 𝑥+ 4, 𝑥+ 8). Suma wszystkich\nwyrazów ciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑥+ 4) + (𝑥+ 8) = 6. Stąd\n3𝑥+ 12 = 6\n3𝑥= -6\n𝑥= -2\nSzukany ciąg to (-2, 2, 6).\nSposób 2.\nKorzystamy z definicji ciągu arytmetycznego i otrzymujemy (𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4),\nczyli 𝑦-4 -𝑥= 4.\nSuma wszystkich wyrazów ciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6. Rozwiązujemy\nukład równań { 𝑦-4 -𝑥= 4\n𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6 :\n{ -𝑥+ 𝑦= 4 + 4\n𝑥+ 𝑦+ 𝑦= 6 + 4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n+ { -𝑥+ 𝑦= 8\n𝑥+ 2𝑦= 10\n3𝑦= 18\n𝑦= 6\nZatem -𝑥+ 6 = 8 i stąd 𝑥= -2.\nSzukany ciąg to (-2, 2, 6).\nSposób 3.\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy 𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4. Suma wszystkich wyrazów\nciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6. Z równania 𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4 wyznaczamy 𝑥:\n𝑥+ 𝑦= 2(𝑦-4)\n𝑥+ 𝑦= 2𝑦-8\n𝑥= 𝑦-8\ni podstawiamy wyrażenie 𝑦-8 w miejsce 𝑥 do równania 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6,\notrzymując kolejno\n(𝑦-8) + (𝑦-4) + 𝑦= 6\n3𝑦-12 = 6\n𝑦= 6\nZatem 𝑥= 𝑦-8 = -2 i szukany ciąg to (-2, 2, 6).","solution":"## Poprawna odpowiedź: wyrazy ciągu to \\(-2, 2, 6\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z własności ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Warunek ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz to średnia skrajnych**\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz spełnia:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad 2a_2 = a_1 + a_3\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = x\\), \\(a_2 = y-4\\), \\(a_3 = y\\):\n\\[2(y-4) = x + y\\]\n\\[2y - 8 = x + y\\]\n\\[\\boxed{y - 8 = x} \\quad \\text{(równanie I)}\\]\n\n**Krok 2: Warunek sumy wyrazów**\n\n\\[x + (y-4) + y = 6\\]\n\\[x + 2y - 4 = 6\\]\n\\[\\boxed{x + 2y = 10} \\quad \\text{(równanie II)}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy równanie I do II**\n\n\\[(y-8) + 2y = 10\\]\n\\[3y - 8 = 10\\]\n\\[3y = 18\\]\n\\[\\mathbf{y = 6}\\]\n\nStąd:\n\\[x = y - 8 = 6 - 8 = \\mathbf{-2}\\]\n\n**Wyrazy ciągu:**\n\\[x = -2, \\quad y - 4 = 6 - 4 = 2, \\quad y = 6\\]\n\n**Ciąg: \\((-2,\\ 2,\\ 6)\\) z różnicą \\(r = 4\\).**\n\n## Sposób 2 - przez różnicę ciągu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę \\(r\\)**\n\nRóżnica między sąsiednimi wyrazami musi być stała:\n\\[r = a_2 - a_1 = (y-4) - x\\]\n\\[r = a_3 - a_2 = y - (y-4) = 4\\]\n\nZatem **różnica ciągu wynosi \\(r = 4\\)**.\n\n**Krok 2: Wyrażamy wszystkie wyrazy przez \\(a_1 = x\\)**\n\n\\[a_1 = x, \\quad a_2 = x + 4, \\quad a_3 = x + 8\\]\n\n**Krok 3: Suma wyrazów**\n\n\\[x + (x+4) + (x+8) = 6\\]\n\\[3x + 12 = 6\\]\n\\[3x = -6\\]\n\\[\\mathbf{x = -2}\\]\n\nStąd wyrazy: \\(-2,\\ 2,\\ 6\\). ✓\n\n**Krok 4: Sprawdzenie wartości \\(y\\)**\n\nZ \\(a_3 = y = x + 8 = -2 + 8 = 6\\) - zgodnie z treścią zadania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad (\\text{dla } n \\geq 2)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do zapisania warunku na środkowy wyraz.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(a_2\\) i \\(a_3\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapisanie warunku arytmetyczności jako \\(a_2 - a_1 = a_2 - a_3\\) (z błędnym znakiem). Zawsze: \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), czyli **różnice kolejnych par są równe**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że szukamy **wszystkich trzech wyrazów** - \\(x\\), \\(y-4\\) i \\(y\\). Wyznaczyć \\(x\\) i \\(y\\) to nie koniec - trzeba jeszcze podstawić i podać \\(y - 4 = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj sumę na końcu! Tu: \\(-2 + 2 + 6 = 6\\) ✓ i różnice: \\(2-(-2)=4\\), \\(6-2=4\\) ✓. Taki rachunek kontrolny to 10 sekund, a ratuje przed utratą punktów.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\((x, y-4, y) = (-2, 2, 6)\\).\n\n### Sposób 1 - Z własności ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz = średnia sąsiadów i różnica stała.\n\\((y-4) - x = y - (y-4) \\Rightarrow y - 4 - x = 4 \\Rightarrow r = 4\\).\nCiąg: \\((x, x+4, x+8)\\). Suma: \\(3x + 12 = 6 \\Rightarrow x = -2\\).\nZatem ciąg \\((-2, 2, 6)\\). Sprawdzenie: \\(y=6\\), \\(y-4=2\\), różnice: \\(4, 4\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Układ równań\n\\(\\begin{cases} 2(y-4) = x+y \\\\ x + (y-4) + y = 6 \\end{cases}\\)\nZ pierwszego: \\(x = y - 8\\). Podstawiamy: \\((y-8) + (y-4) + y = 6 \\Rightarrow 3y - 12 = 6 \\Rightarrow y = 6\\).\nStąd \\(x = -2\\) i ciąg \\((-2, 2, 6)\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za wypisanie dwóch równań lub za \\(r=4\\) lub za sam poprawny wynik \\((-2,2,6)\\) bez obliczeń.\n- **2 pkt** - za poprawne wyznaczenie wszystkich trzech wyrazów.\n- Pomylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym → 0 pkt.\n\n**Trik:** w trójwyrazowym ciągu arytmetycznym \\((a, b, c)\\): \\(2b = a+c\\) i suma \\(= 3b\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Trójwyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦-4, 𝑦) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu
jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
29.
30.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
Trójwyrazowy ciąg (x,y-4,y) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
zapisze dwa równania z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 wynikające z warunków zadania, np.
(𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4) i 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6
LUB
𝑥+𝑦
2
= 𝑦-4 i 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6
ALBO
poda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego: 𝑟= 4 lub przyjmuje w rozwiązaniu,
że 𝑟= 4,
ALBO
bez zapisania obliczeń poda poprawną odpowiedź: (-2, 2, 6).
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy wszystkie wyrazy ciągu: (-2, 2, 6).
Uwaga:
Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Ponieważ trzeci wyraz tego ciągu jest o 4 większy od drugiego wyrazu, więc różnica ciągu
jest równa 4. Zatem ciąg możemy zapisać w postaci (𝑥, 𝑥+ 4, 𝑥+ 8). Suma wszystkich
wyrazów ciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑥+ 4) + (𝑥+ 8) = 6. Stąd
3𝑥+ 12 = 6
3𝑥= -6
𝑥= -2
Szukany ciąg to (-2, 2, 6).
Sposób 2.
Korzystamy z definicji ciągu arytmetycznego i otrzymujemy (𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4),
czyli 𝑦-4 -𝑥= 4.
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6. Rozwiązujemy
układ równań { 𝑦-4 -𝑥= 4
𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6 :
{ -𝑥+ 𝑦= 4 + 4
𝑥+ 𝑦+ 𝑦= 6 + 4
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

𝑥+ 2𝑦= 10
3𝑦= 18
𝑦= 6
Zatem -𝑥+ 6 = 8 i stąd 𝑥= -2.
Szukany ciąg to (-2, 2, 6).
Sposób 3.
Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy 𝑥+𝑦
2
= 𝑦-4. Suma wszystkich wyrazów
ciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6. Z równania 𝑥+𝑦
2
= 𝑦-4 wyznaczamy 𝑥:
𝑥+ 𝑦= 2(𝑦-4)
𝑥+ 𝑦= 2𝑦-8
𝑥= 𝑦-8
i podstawiamy wyrażenie 𝑦-8 w miejsce 𝑥 do równania 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6,
otrzymując kolejno
(𝑦-8) + (𝑦-4) + 𝑦= 6
3𝑦-12 = 6
𝑦= 6
Zatem 𝑥= 𝑦-8 = -2 i szukany ciąg to (-2, 2, 6).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: wyrazy ciągu to \\(-2, 2, 6\\)

\n

Sposób 1 - układ równań z własności ciągu arytmetycznego

\n

Krok 1: Warunek ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz to średnia skrajnych

\n

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz spełnia:
\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad 2a_2 = a_1 + a_3\\]

\n

Podstawiamy \\(a_1 = x\\), \\(a_2 = y-4\\), \\(a_3 = y\\):
\\[2(y-4) = x + y\\]
\\[2y - 8 = x + y\\]
\\[\\boxed{y - 8 = x} \\quad \\text{(równanie I)}\\]

\n

Krok 2: Warunek sumy wyrazów

\n

\\[x + (y-4) + y = 6\\]
\\[x + 2y - 4 = 6\\]
\\[\\boxed{x + 2y = 10} \\quad \\text{(równanie II)}\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy równanie I do II

\n

\\[(y-8) + 2y = 10\\]
\\[3y - 8 = 10\\]
\\[3y = 18\\]
\\[\\mathbf{y = 6}\\]

\n

Stąd:
\\[x = y - 8 = 6 - 8 = \\mathbf{-2}\\]

\n

Wyrazy ciągu:
\\[x = -2, \\quad y - 4 = 6 - 4 = 2, \\quad y = 6\\]

\n

Ciąg: \\((-2,\\ 2,\\ 6)\\) z różnicą \\(r = 4\\).

\n

Sposób 2 - przez różnicę ciągu

\n

Krok 1: Wyznaczamy różnicę \\(r\\)

\n

Różnica między sąsiednimi wyrazami musi być stała:
\\[r = a_2 - a_1 = (y-4) - x\\]
\\[r = a_3 - a_2 = y - (y-4) = 4\\]

\n

Zatem różnica ciągu wynosi \\(r = 4\\).

\n

Krok 2: Wyrażamy wszystkie wyrazy przez \\(a_1 = x\\)

\n

\\[a_1 = x, \\quad a_2 = x + 4, \\quad a_3 = x + 8\\]

\n

Krok 3: Suma wyrazów

\n

\\[x + (x+4) + (x+8) = 6\\]
\\[3x + 12 = 6\\]
\\[3x = -6\\]
\\[\\mathbf{x = -2}\\]

\n

Stąd wyrazy: \\(-2,\\ 2,\\ 6\\). ✓

\n

Krok 4: Sprawdzenie wartości \\(y\\)

\n

Z \\(a_3 = y = x + 8 = -2 + 8 = 6\\) - zgodnie z treścią zadania.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad (\\text{dla } n \\geq 2)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do zapisania warunku na środkowy wyraz.

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(a_2\\) i \\(a_3\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zapisanie warunku arytmetyczności jako \\(a_2 - a_1 = a_2 - a_3\\) (z błędnym znakiem). Zawsze: \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), czyli różnice kolejnych par są równe.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć, że szukamy wszystkich trzech wyrazów - \\(x\\), \\(y-4\\) i \\(y\\). Wyznaczyć \\(x\\) i \\(y\\) to nie koniec - trzeba jeszcze podstawić i podać \\(y - 4 = 2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdzaj sumę na końcu! Tu: \\(-2 + 2 + 6 = 6\\) ✓ i różnice: \\(2-(-2)=4\\), \\(6-2=4\\) ✓. Taki rachunek kontrolny to 10 sekund, a ratuje przed utratą punktów.
\n

Poprawna odpowiedź: \\((x, y-4, y) = (-2, 2, 6)\\).

\n
Sposób 1 - Z własności ciągu arytmetycznego
\n

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz = średnia sąsiadów i różnica stała.
\\((y-4) - x = y - (y-4) \\Rightarrow y - 4 - x = 4 \\Rightarrow r = 4\\).
Ciąg: \\((x, x+4, x+8)\\). Suma: \\(3x + 12 = 6 \\Rightarrow x = -2\\).
Zatem ciąg \\((-2, 2, 6)\\). Sprawdzenie: \\(y=6\\), \\(y-4=2\\), różnice: \\(4, 4\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Układ równań
\n

\\(\\begin{cases} 2(y-4) = x+y \\\\ x + (y-4) + y = 6 \\end{cases}\\)
Z pierwszego: \\(x = y - 8\\). Podstawiamy: \\((y-8) + (y-4) + y = 6 \\Rightarrow 3y - 12 = 6 \\Rightarrow y = 6\\).
Stąd \\(x = -2\\) i ciąg \\((-2, 2, 6)\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: w trójwyrazowym ciągu arytmetycznym \\((a, b, c)\\): \\(2b = a+c\\) i suma \\(= 3b\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$(-2, 2, 6)$

"}]}