Zadanie 31. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏
różnej od 0 spełniona jest nierówność
2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0
EMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej b różnej od 0 spełniona jest nierówność 2a^2-4ab+5b².
Zadanie 31. (0-2)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
przekształci nierówność 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0 do postaci 2(𝑎-𝑏)2 + 3𝑏2 > 0
lub 𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 > 0
ALBO
obliczy wyróżnik trójmianu 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 zmiennej 𝑎 (lub zmiennej 𝑏)
i zapisze, że jest on ujemny dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 różnej od 0 (lub -
odpowiednio - dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 różnej od 0).
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn.
spełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz
sformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie
ALBO
spełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz
zapisze, że wykres funkcji 𝑓(𝑎) = 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 (lub funkcji
𝑔(𝑏) = 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 2𝑎2 określonej dla każdego 𝑏≠0) leży powyżej osi odciętych
i na tej podstawie sformułuje poprawny wniosek.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przekształcamy równoważnie nierówność 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0:
𝑎2 + 𝑎2 -4𝑎𝑏+ 4𝑏2 + 𝑏2 > 0
𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 > 0
Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny oraz kwadrat każdej liczby
różnej od zera jest liczbą dodatnią, więc 𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 jest dodatnie, jako suma
liczb dodatnich 𝑎2 oraz 𝑏2 i liczby nieujemnej (𝑎-2𝑏)2.
Zatem nierówność 𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 > 0 jest prawdziwa dla każdych liczb 𝑎 i 𝑏
różnych od zera. Stąd nierówność 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0 jest również prawdziwa dla
każdych liczb 𝑎 i 𝑏 różnych od zera. To należało pokazać.
Sposób 2.
Wyrażenie 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej np. 𝑎.
Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = (-4𝑏)2 -4 ⋅2 ⋅5𝑏2 = -24𝑏2 < 0 dla każdej
liczby 𝑏≠0. Zatem funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑎) = 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 dla każdego
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑎≠0 nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest
dodatni, więc wykres funkcji 𝑓 leży powyżej osi odciętych. Zatem ta funkcja przyjmuje tylko
wartości dodatnie.
Oznacza to, że dla każdych liczb 𝑎 i 𝑏 różnych od zera prawdziwa jest nierówność
2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0. To należało pokazać.
Krok 1. Wyłączamy \\(2\\) przed wyraz z \\(a^2\\) i uzupełniamy do kwadratu:
\n\\[
2a^2 - 4ab + 5b^2 = 2(a^2 - 2ab) + 5b^2
\\]
Dodajemy i odejmujemy \\(b^2\\) wewnątrz nawiasu:
\n\\[
= 2(a^2 - 2ab + b^2 - b^2) + 5b^2
= 2\\bigl[(a - b)^2 - b^2\\bigr] + 5b^2
\\]
\\[
= 2(a - b)^2 - 2b^2 + 5b^2
\\]
\\[
= 2(a - b)^2 + 3b^2
\\]
Krok 2. Oceniamy znaki obu składników:
\nKrok 3. Sumujemy:
\n\\[
2\\underbrace{(a-b)^2}{\\geq\\, 0} + \\underbrace{3b^2}{>\\, 0} \\geq 0 + 3b^2 > 0
\\]
Wniosek: \\(2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0\\) dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\) i każdego \\(b \\neq 0\\). \\(\\blacksquare\\)
\nPatrzymy na wyrażenie \\(2a^2 - 4ab + 5b^2\\) jako trójmian kwadratowy w zmiennej \\(a\\) (przy ustalonym \\(b \\neq 0\\)):
\n\\[
f(a) = 2a^2 + (-4b)\\cdot a + 5b^2
\\]
Współczynniki: \\(A = 2\\), \\(B = -4b\\), \\(C = 5b^2\\).
\nKrok 1. Obliczamy wyróżnik \\(\\Delta\\):
\n\\[
\\Delta = B^2 - 4AC = (-4b)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 5b^2 = 16b^2 - 40b^2 = -24b^2
\\]
Krok 2. Ponieważ \\(b \\neq 0\\), mamy \\(b^2 > 0\\), więc:
\n\\[
\\Delta = -24b^2 < 0
\\]
Krok 3. Trójmian kwadratowy z \\(\\Delta < 0\\) i współczynnikiem wiodącym \\(A = 2 > 0\\) nie ma miejsc zerowych i jest dodatni dla wszystkich wartości \\(a\\):
\n\\[
f(a) > 0 \\quad \\text{dla każdego } a \\in \\mathbb{R}
\\]
Wniosek: \\(2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0\\) dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\) i każdego \\(b \\neq 0\\). \\(\\blacksquare\\)
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 2: gdy \\(\\Delta < 0\\) i \\(a > 0\\), trójmian jest zawsze dodatni (brak miejsc zerowych, ramiona paraboli skierowane w górę).
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 przy uzupełnieniu do kwadratu - to fundamentalny krok dowodu.
⚠️ Uwaga: Samo stwierdzenie „każdy kwadrat jest nieujemny" nie wystarczy do uzasadnienia ścisłej nierówności (\\(> 0\\)). Trzeba wskazać, który składnik jest ściśle dodatni - tu jest to \\(3b^2 > 0\\) z warunku \\(b \\neq 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(a \\neq 0\\) w treści zadania jest zbędny matematycznie - nierówność zachodzi dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\) (w tym \\(a = 0\\)), o ile \\(b \\neq 0\\). Wystarczy warunek \\(b \\neq 0\\). Nie daj się zmylić - nie musisz go osobno wykorzystywać.\n
⚠️ Uwaga: Przy uzupełnianiu do kwadratu łatwo pomylić znaki. Sprawdź: \\(2(a-b)^2 = 2a^2 - 4ab + 2b^2\\) - i dopiero do tego dodajesz \\(3b^2\\), żeby uzyskać \\(5b^2\\) łącznie. Warto zweryfikować rozwinięcie na końcu.\n
Poprawna odpowiedź: Tożsamościowe przekształcenie pokazuje nierówność.
\n\\(2a^2 - 4ab + 5b^2 = a^2 + (a^2 - 4ab + 4b^2) + b^2 = a^2 + (a-2b)^2 + b^2\\).
Kwadraty są nieujemne; \\(a\\neq 0\\) i \\(b\\neq 0\\) oznaczają \\(a^2>0\\) i \\(b^2>0\\).
Zatem \\(a^2 + (a-2b)^2 + b^2 > 0\\), czyli \\(2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0\\). To należało pokazać.
Traktujemy wyrażenie jako \\(f(a) = 2a^2 - 4ab + 5b^2\\).
Wyróżnik: \\(\\Delta_a = (-4b)^2 - 4\\cdot 2\\cdot 5b^2 = 16b^2 - 40b^2 = -24b^2 < 0\\) dla \\(b\\neq 0\\).
Skoro \\(\\Delta_a<0\\) i współczynnik przy \\(a^2\\) dodatni, to \\(f(a)>0\\) dla każdego \\(a\\).
\\(2a^2 - 4ab + 5b^2 = 2(a-b)^2 + 3b^2\\). Obydwa składniki nieujemne; \\(b\\neq 0 \\Rightarrow 3b^2>0\\). Suma dodatnia.
\nTrik: w zadaniach "wykaż nierówność" zwykle pomaga rozkład na sumę kwadratów.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"Uzasadnienie.
"}]}