{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nRozwiąż równanie\n4\n𝑥+ 2 = 𝑥-1\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n31.\n32.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiąż równanie: 4/x+2 = x-1","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie przekształci równanie 4\n𝑥+2 = 𝑥-1 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 2)(𝑥-1) = 4, 𝑥2 + 𝑥-6 = 0.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania wymiernego (np. stosuje\nprzekształcenia równoważne) i uzyska poprawne rozwiązania: 𝑥= -3 lub 𝑥= 2.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżenia 𝑥≠-2, ale poprawnie przekształci równanie\nwymierne do równania kwadratowego i poprawnie to równanie kwadratowe rozwiąże, to\nmoże otrzymać 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe (które ma dwa rozwiązania rzeczywiste) i konsekwentnie rozwiąże\nje do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego,\nzastosuje błędną metodę i zapisze np. 4(𝑥+ 2) = (𝑥-1)(𝑥+ 2) albo\n4 = (𝑥+ 2) ⋅𝑥-1, nie uzyskując poprawnego równania, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli\nodgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to\notrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedział(y) jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt. Podobnie, jeżeli zdający\npoprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska poprawne wartości\npierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy przedziałów o końcach\n(-3) i 2, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠-2.\nPrzekształcamy równanie:\n4\n𝑥+ 2 = 𝑥-1\n4 = (𝑥-1)(𝑥+ 2)\n4 = 𝑥2 + 𝑥-2\n𝑥2 + 𝑥-6 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 𝑥-6: Δ = 12 -4 ⋅1 ⋅(-6) = 25\ni stąd 𝑥1 = 2 oraz 𝑥2 = -3.\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby (-2), więc są rozwiązaniami danego równania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\n**Dziedzina:** mianownik nie może być zerem, więc \\(x + 2 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq -2\\).\n\nMnożymy obie strony przez \\((x + 2)\\) - to eliminuje ułamek:\n\n\\[4 = (x - 1)(x + 2)\\]\n\nRozkładamy prawą stronę:\n\n\\[4 = x^2 + 2x - x - 2\\]\n\n\\[4 = x^2 + x - 2\\]\n\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę:\n\n\\[x^2 + x - 6 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 1 + 24 = 25\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 5\\]\n\nWyznaczamy pierwiastki:\n\n\\[x_1 = \\frac{-1 - 5}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-1 + 5}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Sprawdzamy dziedzinę:** oba wyniki \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) spełniają \\(x \\neq -2\\), więc oba są rozwiązaniami.\n\n**Odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każde rozwiązanie bezpośrednio w wyjściowym równaniu.\n\n**Dla \\(x = -3\\):**\n\n\\[\\frac{4}{-3 + 2} = \\frac{4}{-1} = -4 \\qquad \\text{i} \\qquad x - 1 = -3 - 1 = -4 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 2\\):**\n\n\\[\\frac{4}{2 + 2} = \\frac{4}{4} = 1 \\qquad \\text{i} \\qquad x - 1 = 2 - 1 = 1 \\quad \\checkmark\\]\n\nObie wartości spełniają równanie - weryfikacja potwierdza wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 po sprowadzeniu równania do postaci \\(x^2 + x - 6 = 0\\) (tu \\(a = 1, b = 1, c = -6\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć o dziedzinie! Gdyby wyszło \\(x = -2\\), musielibyśmy je odrzucić - wstawianie do mianownika daje dzielenie przez zero.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów mnoży przez \\((x+2)\\) i traci czujność - **wynik musi mieć DWA rozwiązania** (równanie kwadratowe), a tu faktycznie oba są poprawne. Nie kończ na jednym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu \\((x-1)(x+2)\\) łatwo pomylić się ze znakami: \\((x-1)(x+2) = x^2 + x - 2\\), nie \\(x^2 - x - 2\\). Pamiętaj: \\(-1 \\cdot x + 1 \\cdot 2x = +x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego\nZałożenie: \\(x \\neq -2\\). Mnożymy obie strony przez \\(x+2\\):\n\\[4 = (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2.\\]\n\\(x^2 + x - 6 = 0\\). \\(\\Delta = 1 + 24 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=5\\).\n\\(x_1 = \\dfrac{-1-5}{2} = -3\\), \\(x_2 = \\dfrac{-1+5}{2} = 2\\). Oba różne od \\(-2\\), więc oba są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Rozkład przez wzory Viète'a\n\\(x^2 + x - 6 = 0\\). Szukamy dwóch liczb o sumie \\(-1\\) i iloczynie \\(-6\\): \\(-3\\) i \\(2\\).\nStąd \\((x+3)(x-2)=0 \\Rightarrow x\\in\\{-3, 2\\}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za poprawne przekształcenie do równania kwadratowego \\(x^2 + x - 6 = 0\\).\n- **2 pkt** - za poprawne rozwiązania \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\).\n- Brak zastrzeżenia \\(x \\neq -2\\), ale poprawne równanie i rozwiązania → 2 pkt.\n- Odgadnięcie jednego rozwiązania bez uzasadnienia → 0 pkt; odgadnięcie dwóch → 1 pkt.\n\n**Trik:** zawsze notuj dziedzinę: \\(x+2\\neq 0 \\Rightarrow x\\neq -2\\). W tym zadaniu obydwa pierwiastki są OK.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Rozwiąż równanie
4
𝑥+ 2 = 𝑥-1
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
31.
32.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
Rozwiąż równanie: 4/x+2 = x-1

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy poprawnie przekształci równanie 4
𝑥+2 = 𝑥-1 do równania kwadratowego, np.
(𝑥+ 2)(𝑥-1) = 4, 𝑥2 + 𝑥-6 = 0.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania wymiernego (np. stosuje
przekształcenia równoważne) i uzyska poprawne rozwiązania: 𝑥= -3 lub 𝑥= 2.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżenia 𝑥≠-2, ale poprawnie przekształci równanie
\n

wymierne do równania kwadratowego i poprawnie to równanie kwadratowe rozwiąże, to
może otrzymać 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma
\n

równanie kwadratowe (które ma dwa rozwiązania rzeczywiste) i konsekwentnie rozwiąże
je do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego,
\n

zastosuje błędną metodę i zapisze np. 4(𝑥+ 2) = (𝑥-1)(𝑥+ 2) albo
4 = (𝑥+ 2) ⋅𝑥-1, nie uzyskując poprawnego równania, to otrzymuje 0 punktów za
całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli
\n

odgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to
otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska
\n

poprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę
i podaje przedział(y) jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt. Podobnie, jeżeli zdający
poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska poprawne wartości
pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy przedziałów o końcach
(-3) i 2, to otrzymuje 1 punkt.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Równanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠-2.
Przekształcamy równanie:
4
𝑥+ 2 = 𝑥-1
4 = (𝑥-1)(𝑥+ 2)
4 = 𝑥2 + 𝑥-2
𝑥2 + 𝑥-6 = 0
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 𝑥-6: Δ = 12 -4 ⋅1 ⋅(-6) = 25
i stąd 𝑥1 = 2 oraz 𝑥2 = -3.
Otrzymane pierwiastki są różne od liczby (-2), więc są rozwiązaniami danego równania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\)

\n

Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik

\n

Dziedzina: mianownik nie może być zerem, więc \\(x + 2 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq -2\\).

\n

Mnożymy obie strony przez \\((x + 2)\\) - to eliminuje ułamek:

\n

\\[4 = (x - 1)(x + 2)\\]

\n

Rozkładamy prawą stronę:

\n

\\[4 = x^2 + 2x - x - 2\\]

\n

\\[4 = x^2 + x - 2\\]

\n

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

\n

\\[x^2 + x - 6 = 0\\]

\n

Liczymy wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 1 + 24 = 25\\]

\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = 5\\]

\n

Wyznaczamy pierwiastki:

\n

\\[x_1 = \\frac{-1 - 5}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{-1 + 5}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]

\n

Sprawdzamy dziedzinę: oba wyniki \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) spełniają \\(x \\neq -2\\), więc oba są rozwiązaniami.

\n

Odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy każde rozwiązanie bezpośrednio w wyjściowym równaniu.

\n

Dla \\(x = -3\\):

\n

\\[\\frac{4}{-3 + 2} = \\frac{4}{-1} = -4 \\qquad \\text{i} \\qquad x - 1 = -3 - 1 = -4 \\quad \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = 2\\):

\n

\\[\\frac{4}{2 + 2} = \\frac{4}{4} = 1 \\qquad \\text{i} \\qquad x - 1 = 2 - 1 = 1 \\quad \\checkmark\\]

\n

Obie wartości spełniają równanie - weryfikacja potwierdza wynik.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 po sprowadzeniu równania do postaci \\(x^2 + x - 6 = 0\\) (tu \\(a = 1, b = 1, c = -6\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno zapomnieć o dziedzinie! Gdyby wyszło \\(x = -2\\), musielibyśmy je odrzucić - wstawianie do mianownika daje dzielenie przez zero.
\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów mnoży przez \\((x+2)\\) i traci czujność - wynik musi mieć DWA rozwiązania (równanie kwadratowe), a tu faktycznie oba są poprawne. Nie kończ na jednym!
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładaniu \\((x-1)(x+2)\\) łatwo pomylić się ze znakami: \\((x-1)(x+2) = x^2 + x - 2\\), nie \\(x^2 - x - 2\\). Pamiętaj: \\(-1 \\cdot x + 1 \\cdot 2x = +x\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\).

\n
Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego
\n

Założenie: \\(x \\neq -2\\). Mnożymy obie strony przez \\(x+2\\):
\\[4 = (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2.\\]
\\(x^2 + x - 6 = 0\\). \\(\\Delta = 1 + 24 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=5\\).
\\(x_1 = \\dfrac{-1-5}{2} = -3\\), \\(x_2 = \\dfrac{-1+5}{2} = 2\\). Oba różne od \\(-2\\), więc oba są rozwiązaniami.

\n
Sposób 2 - Rozkład przez wzory Viète'a
\n

\\(x^2 + x - 6 = 0\\). Szukamy dwóch liczb o sumie \\(-1\\) i iloczynie \\(-6\\): \\(-3\\) i \\(2\\).
Stąd \\((x+3)(x-2)=0 \\Rightarrow x\\in\\{-3, 2\\}\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: zawsze notuj dziedzinę: \\(x+2\\neq 0 \\Rightarrow x\\neq -2\\). W tym zadaniu obydwa pierwiastki są OK.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -3 \\text{ lub } x = 2$

"}]}