{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trójkąt równoboczny 𝐴𝐵𝐶 o boku długości 24. Punkt 𝐸 leży na boku 𝐴𝐵,\na punkt 𝐹 - na boku 𝐵𝐶 tego trójkąta. Odcinek 𝐸𝐹 jest równoległy do boku 𝐴𝐶\ni przechodzi przez środek 𝑆 wysokości 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (zobacz rysunek).\nOblicz długość odcinka 𝐸𝐹.\n𝐴\n𝐵\n24\n𝐹\n𝑆\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n\nEMAP-P0_100\nDany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt E leży na boku AB, a punkt F - na boku BC tego trójkąta. Odcinek EF jest równoległy do boku AC i przechodzi przez środek S wysokości CD trójkąta ABC (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka EF.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy długość odcinka 𝐸𝐷: |𝐸𝐷| = 6\nALBO\nobliczy długość odcinka 𝐷𝑆: |𝐷𝑆| = 6√3,\nALBO\nobliczy długość odcinka 𝐸𝑆: |𝐸𝑆| = 12,\nALBO\nobliczy długość odcinka 𝑆𝐹: |𝑆𝐹| = 6 (sposób 3.).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |𝐸𝐹| = 18.\nUwaga:\nJeśli zdający zapisze tylko |𝐸𝐹| = 18, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ 𝐸𝑆∥𝐴𝐶, więc |∡𝐶𝐴𝐷| = |∡𝑆𝐸𝐷| = 60° i |∡𝐴𝐶𝐷| = |∡𝐸𝑆𝐷| = 30°. Zatem\ntrójkąty prostokątne 𝐴𝐶𝐷 i 𝐸𝑆𝐷 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa\ntrójkątów). Stąd |𝐴𝐷|\n|𝐸𝐷| = |𝐶𝐷|\n|𝑆𝐷| , więc 12\n|𝐸𝐷| = 2, czyli |𝐸𝐷| = 6.\nTrójkąt 𝐸𝐹𝐵 jest równoboczny, więc |𝐸𝐹| = |𝐸𝐵| = |𝐸𝐷| + |𝐷𝐵| = 6 + 12 = 18.\nSposób 2.\nWysokość trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶 jest równa 24√3\n2\n, więc |𝑆𝐷| = 1\n2 ⋅24√3\n2\n= 6√3.\nPonieważ |𝑆𝐷|\n|𝐸𝑆| = sin 60°, więc 6√3\n|𝐸𝑆| =\n√3\n2 i stąd |𝐸𝑆| = 12.\nNiech 𝐾 będzie środkiem odcinka 𝐶𝑆.\n𝐴\n𝐹\n24\n𝑆\n𝐷\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐾\nPonieważ |∡𝐵𝐶𝐷| = 30° i |∡𝐶𝑆𝐹| = |∡𝐷𝑆𝐸| = 30°, więc trójkąt 𝐶𝑆𝐹 jest\nrównoramienny i 𝐹𝐾 jest wysokością tego trójkąta. Stąd |𝐾𝑆| = 1\n2 ⋅|𝐶𝑆| = 1\n2 ⋅|𝑆𝐷| = 3√3.\nPonieważ |𝐾𝑆|\n|𝑆𝐹| = cos|∡𝐶𝑆𝐹|, więc 3√3\n|𝑆𝐹| =\n√3\n2 , czyli |𝑆𝐹| = 6.\nObliczamy długość odcinka 𝐸𝐹: |𝐸𝐹| = |𝐸𝑆| + |𝑆𝐹| = 12 + 6 = 18.\nSposób 3.\nNiech 𝐺 będzie punktem na boku 𝐵𝐶, takim, że 𝐷𝐺∥𝐴𝐶.\nWtedy trójkąt 𝐷𝐵𝐺 jest równoboczny i |𝐷𝐺| = 12. Ponieważ 𝐷𝐺∥𝐸𝐹, więc\n|∡𝐺𝐷𝐶| = |∡𝐹𝑆𝐶| oraz |∡𝑆𝐹𝐶| = |∡𝐷𝐺𝐶|. Zatem trójkąty 𝑆𝐹𝐶 i 𝐷𝐺𝐶 są podobne (na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów). Stąd |𝐷𝐺|\n|𝑆𝐹| = |𝐶𝐷|\n|𝐶𝑆| , więc 12\n|𝑆𝐹| = 2, czyli\n|𝑆𝐹| = 6.\nWysokość trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶 jest równa 24√3\n2\n, więc |𝑆𝐷| = 1\n2 ⋅24√3\n2\n= 6√3.\nPonieważ |𝑆𝐷|\n|𝐸𝑆| = sin 60°, więc 6√3\n|𝐸𝑆| =\n√3\n2 i stąd |𝐸𝑆| = 12.\nObliczamy długość odcinka 𝐸𝐹: |𝐸𝐹| = |𝐸𝑆| + |𝑆𝐹| = 12 + 6 = 18.\n𝐴\n𝐹\n24\n𝑆\n𝐷\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐺\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(EF = 18\\)\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych\n\n**Ustawiamy trójkąt na układzie współrzędnych:**\n\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (24, 0), \\quad C = (12, 12\\sqrt{3})\\]\n\n(wysokość trójkąta równobocznego o boku 24: \\(h = \\frac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\))\n\n**Wyznaczamy D i S:**\n\n\\(D\\) to stopa wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\) - w trójkącie równobocznym wysokość = mediana, więc \\(D\\) to środek \\(AB\\):\n\\[D = (12, 0)\\]\n\n\\(S\\) to środek odcinka \\(CD\\):\n\\[S = \\left(12,\\ \\frac{0 + 12\\sqrt{3}}{2}\\right) = (12,\\ 6\\sqrt{3})\\]\n\n**Wyznaczamy prostą \\(EF\\):**\n\n\\(EF \\parallel AC\\), więc kierunek prostej \\(EF\\) = kierunek \\(\\overrightarrow{AC} = (12, 12\\sqrt{3})\\), czyli wektor \\((1, \\sqrt{3})\\).\n\nProsta przez \\(S(12, 6\\sqrt{3})\\) o kierunku \\((1, \\sqrt{3})\\):\n\\[x = 12 + t, \\quad y = 6\\sqrt{3} + t\\sqrt{3}\\]\n\n**Szukamy punktu E (na \\(AB\\), czyli \\(y = 0\\)):**\n\\[6\\sqrt{3} + t\\sqrt{3} = 0 \\implies t = -6 \\implies E = (6,\\ 0)\\]\n\n**Szukamy punktu F (na \\(BC\\)):**\n\nRównanie prostej \\(BC\\): od \\(B(24, 0)\\) do \\(C(12, 12\\sqrt{3})\\), postać parametryczna: \\((24 - 12s,\\ 12\\sqrt{3} \\cdot s)\\).\n\nPrzyrównując do punktu na \\(EF\\) przy \\(t = 3\\):\n\\[12 + 3 = 15 = 24 - 12s \\implies s = \\frac{3}{4}\\]\n\\[F = \\left(15,\\ 9\\sqrt{3}\\right)\\]\n\n**Długość \\(EF\\):**\n\n\\[EF = \\sqrt{(15-6)^2 + (9\\sqrt{3} - 0)^2} = \\sqrt{81 + 243} = \\sqrt{324} = \\boxed{18}\\]\n\n## Sposób 2 - Wektory i trójkąty podobne\n\n**Zapis wektorowy** (B jako początek układu, wektory \\(\\vec{a} = \\overrightarrow{BA}\\), \\(\\vec{c} = \\overrightarrow{BC}\\)):\n\nPonieważ \\(EF \\parallel AC\\), \\(E \\in BA\\), \\(F \\in BC\\), z podobieństwa trójkątów \\(BEF \\sim BAC\\) z współczynnikiem \\(k\\):\n\\[\\overrightarrow{BE} = k\\vec{a}, \\quad \\overrightarrow{BF} = k\\vec{c}, \\quad EF = k \\cdot 24\\]\n\n**Wyrażamy punkty D i S wektorowo:**\n\n\\(D\\) = środek \\(AB\\): \\(\\overrightarrow{BD} = \\frac{\\vec{a}}{2}\\)\n\n\\(S\\) = środek \\(CD\\): \\(\\overrightarrow{BS} = \\frac{\\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{BD}}{2} = \\frac{\\vec{c} + \\frac{\\vec{a}}{2}}{2} = \\frac{\\vec{c}}{2} + \\frac{\\vec{a}}{4}\\)\n\n**Warunek: S leży na prostej EF:**\n\nPunkt na odcinku \\(EF\\): \\(k\\vec{a}(1-t) + k\\vec{c} \\cdot t\\) dla pewnego \\(t \\in [0,1]\\).\n\nPrzyrównując do \\(\\overrightarrow{BS}\\) (wektory \\(\\vec{a}\\) i \\(\\vec{c}\\) są liniowo niezależne):\n\n\\[\\text{przy } \\vec{a}: \\quad k(1-t) = \\frac{1}{4}\\]\n\\[\\text{przy } \\vec{c}: \\quad kt = \\frac{1}{2}\\]\n\nDodając oba równania:\n\\[k(1-t) + kt = \\frac{1}{4} + \\frac{1}{2} \\implies k = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Wynik:**\n\n\\[EF = k \\cdot AC = \\frac{3}{4} \\cdot 24 = \\boxed{18}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)** - Twierdzenie Talesa / podobieństwo trójkątów:\n\nJeśli \\(EF \\parallel AC\\), \\(E \\in AB\\), \\(F \\in BC\\), to:\n\\[\\frac{BE}{BA} = \\frac{BF}{BC} = \\frac{EF}{AC}\\]\n\nUżyliśmy tego, by stwierdzić, że \\(EF = k \\cdot 24\\), a cały problem sprowadził się do wyznaczenia \\(k = \\frac{3}{4}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nUżyte przy wyznaczeniu długości wysokości \\(CD = \\frac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\) i współrzędnych \\(S\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"środek wysokości CD\" z \"środek podstawy AB\". S leży na wysokości, nie na podstawie - trzeba uważnie odczytać treść zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** EF jest równoległy do AC, nie do AB! Odcinek EF jest pochylony - nie łącz punktów \"na tej samej wysokości\", bo E leży na AB (wysokość 0), a F leży na BC (wysokość \\(9\\sqrt{3}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równobocznym wysokość, mediana i dwusieczna z tego samego wierzchołka to ten sam odcinek - stąd D jest środkiem AB. To ułatwia obliczenia, ale nie wolno zakładać tego w ogólnym trójkącie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|EF| = 18\\).\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\nWysokość trójkąta równobocznego o boku \\(24\\): \\(|CD| = \\dfrac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\), więc \\(|SD| = 6\\sqrt{3}\\) (środek wysokości).\n\\(ES\\parallel AC \\Rightarrow \\triangle ACD \\sim \\triangle ESD\\) (kkk). Stosunek podobieństwa: \\(\\dfrac{|AD|}{|ED|} = \\dfrac{|CD|}{|SD|} = 2\\), stąd \\(|ED|=6\\). Analogicznie \\(|DF|=6\\), lecz (uważniej): \\(\\triangle EFB\\) jest równoboczny, bo \\(EF\\parallel AC\\), więc \\(|EB|=|FB|=|EF|\\).\nW \\(\\triangle ACD\\): \\(|AD|=12\\). W \\(\\triangle ESD\\): \\(|ED|=6\\). Zatem \\(|EB|=|AB|-|AE| = |EB|\\) prościej: \\(|AE| = |AD|-|ED| = 12-6 = 6\\), więc \\(|EB|=24-6=18\\). \\(\\triangle EFB\\) równoboczny, stąd \\(|EF|=18\\).\n\n### Sposób 2 - Trygonometria\n\\(|SD|=6\\sqrt{3}\\). W \\(\\triangle ESD\\) prostokątnym: \\(\\sin 60° = \\dfrac{|SD|}{|ES|}\\), więc \\(|ES| = \\dfrac{|SD|}{\\sin 60°} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}/2} = 12\\).\nW \\(\\triangle CSF\\) równoramiennym (\\(\\angle BCD=30°\\)) z wysokością \\(FK\\): \\(|KS|=3\\sqrt{3}\\), \\(|SF|=\\dfrac{|KS|}{\\cos 30°} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}/2} = 6\\).\n\\(|EF|=|ES|+|SF|=12+6=18\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za obliczenie dowolnego odcinka pomocniczego: \\(|ED|=6\\) lub \\(|DS|=6\\sqrt{3}\\) lub \\(|ES|=12\\) lub \\(|SF|=6\\).\n- **2 pkt** - za poprawny wynik \\(|EF|=18\\) z uzasadnieniem.\n- Sam wynik bez obliczeń → 1 pkt.\n\n**Trik:** w trójkącie równobocznym \\(EF\\parallel AC\\) generuje trójkąt \\(\\triangle EFB\\) podobny (równoboczny). Wystarczy znaleźć stosunek.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Dany jest trójkąt równoboczny 𝐴𝐵𝐶 o boku długości 24. Punkt 𝐸 leży na boku 𝐴𝐵,<br>a punkt 𝐹 - na boku 𝐵𝐶 tego trójkąta. Odcinek 𝐸𝐹 jest równoległy do boku 𝐴𝐶<br>i przechodzi przez środek 𝑆 wysokości 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (zobacz rysunek).<br>Oblicz długość odcinka 𝐸𝐹.<br>𝐴<br>𝐵<br>24<br>𝐹<br>𝑆<br>𝐸<br>𝐷<br>𝐶</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt E leży na boku AB, a punkt F - na boku BC tego trójkąta. Odcinek EF jest równoległy do boku AC i przechodzi przez środek S wysokości CD trójkąta ABC (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka EF.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy:<br>obliczy długość odcinka 𝐸𝐷: |𝐸𝐷| = 6<br>ALBO<br>obliczy długość odcinka 𝐷𝑆: |𝐷𝑆| = 6√3,<br>ALBO<br>obliczy długość odcinka 𝐸𝑆: |𝐸𝑆| = 12,<br>ALBO<br>obliczy długość odcinka 𝑆𝐹: |𝑆𝐹| = 6 (sposób 3.).<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |𝐸𝐹| = 18.<br>Uwaga:<br>Jeśli zdający zapisze tylko |𝐸𝐹| = 18, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Ponieważ 𝐸𝑆∥𝐴𝐶, więc |∡𝐶𝐴𝐷| = |∡𝑆𝐸𝐷| = 60° i |∡𝐴𝐶𝐷| = |∡𝐸𝑆𝐷| = 30°. Zatem<br>trójkąty prostokątne 𝐴𝐶𝐷 i 𝐸𝑆𝐷 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa<br>trójkątów). Stąd |𝐴𝐷|<br>|𝐸𝐷| = |𝐶𝐷|<br>|𝑆𝐷| , więc 12<br>|𝐸𝐷| = 2, czyli |𝐸𝐷| = 6.<br>Trójkąt 𝐸𝐹𝐵 jest równoboczny, więc |𝐸𝐹| = |𝐸𝐵| = |𝐸𝐷| + |𝐷𝐵| = 6 + 12 = 18.<br>Sposób 2.<br>Wysokość trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶 jest równa 24√3<br>2<br>, więc |𝑆𝐷| = 1<br>2 ⋅24√3<br>2<br>= 6√3.<br>Ponieważ |𝑆𝐷|<br>|𝐸𝑆| = sin 60°, więc 6√3<br>|𝐸𝑆| =<br>√3<br>2 i stąd |𝐸𝑆| = 12.<br>Niech 𝐾 będzie środkiem odcinka 𝐶𝑆.<br>𝐴<br>𝐹<br>24<br>𝑆<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐸<br>𝐾<br>Ponieważ |∡𝐵𝐶𝐷| = 30° i |∡𝐶𝑆𝐹| = |∡𝐷𝑆𝐸| = 30°, więc trójkąt 𝐶𝑆𝐹 jest<br>równoramienny i 𝐹𝐾 jest wysokością tego trójkąta. Stąd |𝐾𝑆| = 1<br>2 ⋅|𝐶𝑆| = 1<br>2 ⋅|𝑆𝐷| = 3√3.<br>Ponieważ |𝐾𝑆|<br>|𝑆𝐹| = cos|∡𝐶𝑆𝐹|, więc 3√3<br>|𝑆𝐹| =<br>√3<br>2 , czyli |𝑆𝐹| = 6.<br>Obliczamy długość odcinka 𝐸𝐹: |𝐸𝐹| = |𝐸𝑆| + |𝑆𝐹| = 12 + 6 = 18.<br>Sposób 3.<br>Niech 𝐺 będzie punktem na boku 𝐵𝐶, takim, że 𝐷𝐺∥𝐴𝐶.<br>Wtedy trójkąt 𝐷𝐵𝐺 jest równoboczny i |𝐷𝐺| = 12. Ponieważ 𝐷𝐺∥𝐸𝐹, więc<br>|∡𝐺𝐷𝐶| = |∡𝐹𝑆𝐶| oraz |∡𝑆𝐹𝐶| = |∡𝐷𝐺𝐶|. Zatem trójkąty 𝑆𝐹𝐶 i 𝐷𝐺𝐶 są podobne (na<br>podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów). Stąd |𝐷𝐺|<br>|𝑆𝐹| = |𝐶𝐷|<br>|𝐶𝑆| , więc 12<br>|𝑆𝐹| = 2, czyli<br>|𝑆𝐹| = 6.<br>Wysokość trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶 jest równa 24√3<br>2<br>, więc |𝑆𝐷| = 1<br>2 ⋅24√3<br>2<br>= 6√3.<br>Ponieważ |𝑆𝐷|<br>|𝐸𝑆| = sin 60°, więc 6√3<br>|𝐸𝑆| =<br>√3<br>2 i stąd |𝐸𝑆| = 12.<br>Obliczamy długość odcinka 𝐸𝐹: |𝐸𝐹| = |𝐸𝑆| + |𝑆𝐹| = 12 + 6 = 18.<br>𝐴<br>𝐹<br>24<br>𝑆<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐸<br>𝐺<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(EF = 18\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ współrzędnych</h4>\n<p><strong>Ustawiamy trójkąt na układzie współrzędnych:</strong></p>\n<p>\\[A = (0, 0), \\quad B = (24, 0), \\quad C = (12, 12\\sqrt{3})\\]</p>\n<p>(wysokość trójkąta równobocznego o boku 24: \\(h = \\frac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\))</p>\n<p><strong>Wyznaczamy D i S:</strong></p>\n<p>\\(D\\) to stopa wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\) - w trójkącie równobocznym wysokość = mediana, więc \\(D\\) to środek \\(AB\\):<br>\\[D = (12, 0)\\]</p>\n<p>\\(S\\) to środek odcinka \\(CD\\):<br>\\[S = \\left(12,\\ \\frac{0 + 12\\sqrt{3}}{2}\\right) = (12,\\ 6\\sqrt{3})\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy prostą \\(EF\\):</strong></p>\n<p>\\(EF \\parallel AC\\), więc kierunek prostej \\(EF\\) = kierunek \\(\\overrightarrow{AC} = (12, 12\\sqrt{3})\\), czyli wektor \\((1, \\sqrt{3})\\).</p>\n<p>Prosta przez \\(S(12, 6\\sqrt{3})\\) o kierunku \\((1, \\sqrt{3})\\):<br>\\[x = 12 + t, \\quad y = 6\\sqrt{3} + t\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Szukamy punktu E (na \\(AB\\), czyli \\(y = 0\\)):</strong><br>\\[6\\sqrt{3} + t\\sqrt{3} = 0 \\implies t = -6 \\implies E = (6,\\ 0)\\]</p>\n<p><strong>Szukamy punktu F (na \\(BC\\)):</strong></p>\n<p>Równanie prostej \\(BC\\): od \\(B(24, 0)\\) do \\(C(12, 12\\sqrt{3})\\), postać parametryczna: \\((24 - 12s,\\ 12\\sqrt{3} \\cdot s)\\).</p>\n<p>Przyrównując do punktu na \\(EF\\) przy \\(t = 3\\):<br>\\[12 + 3 = 15 = 24 - 12s \\implies s = \\frac{3}{4}\\]<br>\\[F = \\left(15,\\ 9\\sqrt{3}\\right)\\]</p>\n<p><strong>Długość \\(EF\\):</strong></p>\n<p>\\[EF = \\sqrt{(15-6)^2 + (9\\sqrt{3} - 0)^2} = \\sqrt{81 + 243} = \\sqrt{324} = \\boxed{18}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wektory i trójkąty podobne</h4>\n<p><strong>Zapis wektorowy</strong> (B jako początek układu, wektory \\(\\vec{a} = \\overrightarrow{BA}\\), \\(\\vec{c} = \\overrightarrow{BC}\\)):</p>\n<p>Ponieważ \\(EF \\parallel AC\\), \\(E \\in BA\\), \\(F \\in BC\\), z podobieństwa trójkątów \\(BEF \\sim BAC\\) z współczynnikiem \\(k\\):<br>\\[\\overrightarrow{BE} = k\\vec{a}, \\quad \\overrightarrow{BF} = k\\vec{c}, \\quad EF = k \\cdot 24\\]</p>\n<p><strong>Wyrażamy punkty D i S wektorowo:</strong></p>\n<p>\\(D\\) = środek \\(AB\\): \\(\\overrightarrow{BD} = \\frac{\\vec{a}}{2}\\)</p>\n<p>\\(S\\) = środek \\(CD\\): \\(\\overrightarrow{BS} = \\frac{\\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{BD}}{2} = \\frac{\\vec{c} + \\frac{\\vec{a}}{2}}{2} = \\frac{\\vec{c}}{2} + \\frac{\\vec{a}}{4}\\)</p>\n<p><strong>Warunek: S leży na prostej EF:</strong></p>\n<p>Punkt na odcinku \\(EF\\): \\(k\\vec{a}(1-t) + k\\vec{c} \\cdot t\\) dla pewnego \\(t \\in [0,1]\\).</p>\n<p>Przyrównując do \\(\\overrightarrow{BS}\\) (wektory \\(\\vec{a}\\) i \\(\\vec{c}\\) są liniowo niezależne):</p>\n<p>\\[\\text{przy } \\vec{a}: \\quad k(1-t) = \\frac{1}{4}\\]<br>\\[\\text{przy } \\vec{c}: \\quad kt = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Dodając oba równania:<br>\\[k(1-t) + kt = \\frac{1}{4} + \\frac{1}{2} \\implies k = \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong></p>\n<p>\\[EF = k \\cdot AC = \\frac{3}{4} \\cdot 24 = \\boxed{18}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)</strong> - Twierdzenie Talesa / podobieństwo trójkątów:</p>\n<p>Jeśli \\(EF \\parallel AC\\), \\(E \\in AB\\), \\(F \\in BC\\), to:<br>\\[\\frac{BE}{BA} = \\frac{BF}{BC} = \\frac{EF}{AC}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego, by stwierdzić, że \\(EF = k \\cdot 24\\), a cały problem sprowadził się do wyznaczenia \\(k = \\frac{3}{4}\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - wysokość trójkąta równobocznego:<br>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Użyte przy wyznaczeniu długości wysokości \\(CD = \\frac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\) i współrzędnych \\(S\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić &quot;środek wysokości CD&quot; z &quot;środek podstawy AB&quot;. S leży na wysokości, nie na podstawie - trzeba uważnie odczytać treść zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> EF jest równoległy do AC, nie do AB! Odcinek EF jest pochylony - nie łącz punktów &quot;na tej samej wysokości&quot;, bo E leży na AB (wysokość 0), a F leży na BC (wysokość \\(9\\sqrt{3}\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W trójkącie równobocznym wysokość, mediana i dwusieczna z tego samego wierzchołka to ten sam odcinek - stąd D jest środkiem AB. To ułatwia obliczenia, ale nie wolno zakładać tego w ogólnym trójkącie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(|EF| = 18\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów</h5>\n<p>Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(24\\): \\(|CD| = \\dfrac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\), więc \\(|SD| = 6\\sqrt{3}\\) (środek wysokości).<br>\\(ES\\parallel AC \\Rightarrow \\triangle ACD \\sim \\triangle ESD\\) (kkk). Stosunek podobieństwa: \\(\\dfrac{|AD|}{|ED|} = \\dfrac{|CD|}{|SD|} = 2\\), stąd \\(|ED|=6\\). Analogicznie \\(|DF|=6\\), lecz (uważniej): \\(\\triangle EFB\\) jest równoboczny, bo \\(EF\\parallel AC\\), więc \\(|EB|=|FB|=|EF|\\).<br>W \\(\\triangle ACD\\): \\(|AD|=12\\). W \\(\\triangle ESD\\): \\(|ED|=6\\). Zatem \\(|EB|=|AB|-|AE| = |EB|\\) prościej: \\(|AE| = |AD|-|ED| = 12-6 = 6\\), więc \\(|EB|=24-6=18\\). \\(\\triangle EFB\\) równoboczny, stąd \\(|EF|=18\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Trygonometria</h5>\n<p>\\(|SD|=6\\sqrt{3}\\). W \\(\\triangle ESD\\) prostokątnym: \\(\\sin 60° = \\dfrac{|SD|}{|ES|}\\), więc \\(|ES| = \\dfrac{|SD|}{\\sin 60°} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}/2} = 12\\).<br>W \\(\\triangle CSF\\) równoramiennym (\\(\\angle BCD=30°\\)) z wysokością \\(FK\\): \\(|KS|=3\\sqrt{3}\\), \\(|SF|=\\dfrac{|KS|}{\\cos 30°} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}/2} = 6\\).<br>\\(|EF|=|ES|+|SF|=12+6=18\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - za obliczenie dowolnego odcinka pomocniczego: \\(|ED|=6\\) lub \\(|DS|=6\\sqrt{3}\\) lub \\(|ES|=12\\) lub \\(|SF|=6\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> - za poprawny wynik \\(|EF|=18\\) z uzasadnieniem.</li><li>Sam wynik bez obliczeń → 1 pkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w trójkącie równobocznym \\(EF\\parallel AC\\) generuje trójkąt \\(\\triangle EFB\\) podobny (równoboczny). Wystarczy znaleźć stosunek.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$|EF| = 18$</p>"}]}