{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru pięciu liczb {-5, -4, 1, 2, 3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej\nliczbie. Zdarzenie 𝐴 polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nZe zbioru pięciu liczb {-5,-4,1,2,3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 5 ⋅5\nALBO\nprzedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub wypisze\n(zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 i nie\nwypisze żadnego niewłaściwego:\n(-5, 1), (-5, 2), (-5, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-4, 3),\n(1, -5), (2, -5), (3, -5), (1, -4), (2, -4), (3, -4),\nALBO\npoda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 12,\nALBO\nsporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo 1\n5 na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\nzapisze |𝐴| = 2 ⋅3 + 3 ⋅2 (lub |𝐴| = 2 ⋅2 ⋅3),\nALBO\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 12\n25 .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną\nmetodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n25 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 12 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie\ntych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 25 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{-5, -4, 1, 2, 3}.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅5 = 25.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(-5, 1), (-5, 2), (-5, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-4, 3),\n(1, -5), (2, -5), (3, -5), (1, -4), (2, -4), (3, -4),\nwięc |𝐴| = 12.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n25 .\nSposób 2.\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{-5, -4, 1, 2, 3}.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n-𝟓 -𝟒\n𝟏\n𝟐\n𝟑\nII losowanie\n-𝟓\n×\n×\n×\n-𝟒\n×\n×\n×\n𝟏\n×\n×\n𝟐\n×\n×\n𝟑\n×\n×\nSymbolem × oznaczono pola odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym\nzdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 25.\nWszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 12.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n25 .\nSposób 3. (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\n-5\n1\n3\n2\n1\n-4\n-5\n-4\n3\n2\n1\n2\n-4\n-5\n3\n-4\n-5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 12 ⋅1\n5 ∙1\n5 = 12\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par (ujemny × dodatni)\n\n**Ustalamy przestrzeń zdarzeń.**\n\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru 5-elementowego, więc każde ciągnięcie jest niezależne.\n\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Kiedy iloczyn jest ujemny?**\n\nIloczyn dwóch liczb jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy **jedna jest ujemna, a druga dodatnia**.\n\nPodzielmy zbiór:\n- Liczby **ujemne**: \\(\\{-5, -4\\}\\) → **2 liczby**\n- Liczby **dodatnie**: \\(\\{1, 2, 3\\}\\) → **3 liczby**\n- Liczby zerowe: brak\n\n**Zliczamy zdarzenie \\(A\\):**\n\nMożliwe są dwa przypadki:\n\n| Przypadek | 1. losowanie | 2. losowanie | Liczba par |\n| ujemna × dodatnia | 2 możliwości | 3 możliwości | \\(2 \\cdot 3 = 6\\) |\n| dodatnia × ujemna | 3 możliwości | 2 możliwości | \\(3 \\cdot 2 = 6\\) |\n\n\\[|A| = 6 + 6 = 12\\]\n\n**Obliczamy prawdopodobieństwo:**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo geometryczne / zdarzenie dopełniające\n\nZamiast liczyć wprost, możemy skorzystać ze **zdarzenia dopełniającego**:\n\n\\[P(A) = 1 - P(A')\\]\n\nZdarzenie \\(A'\\) to „iloczyn jest nieujemny\", czyli:\n- obydwie liczby są **dodatnie**, lub\n- obydwie liczby są **ujemne**\n\n\\[P(\\text{obie dodatnie}) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\\]\n\n\\[P(\\text{obie ujemne}) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[P(A') = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}\\]\n\n\\[P(A) = 1 - \\frac{13}{25} = \\boxed{\\frac{12}{25}}\\]\n\nWynik zgodny - potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(|A| = 12\\), \\(|\\Omega| = 25\\).\n\n**Dział 14 - zdarzenie dopełniające:**\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, licząc \\(P(A) = 1 - P(A')\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To losowanie **ze zwracaniem** - po pierwszym losowaniu wracamy liczbę do zbioru, więc drugie losowanie nadal ma 5 możliwości. Gdyby było **bez zwracania**, przestrzeń byłaby \\(5 \\cdot 4 = 20\\), a zadanie inne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór nie zawiera zera, więc nie ma przypadku „iloczyn = 0\". Gdyby zero było w zbiorze, nie zaliczałoby się do zdarzenia \\(A\\) (iloczyn nie byłby ujemny) - trzeba by je osobno wykluczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn **ujemny × ujemny = dodatni** - dwie liczby ujemne dają iloczyn DODATNI, nie ujemny. To częsty błąd przy pochopnym czytaniu treści!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nZdarzenia elementarne: pary uporządkowane \\((a,b)\\), \\(a,b\\in\\{-5,-4,1,2,3\\}\\).\n\\(|\\Omega|=5\\cdot 5=25\\).\nIloczyn ujemny ⇔ jedna liczba dodatnia, druga ujemna. Ujemnych: \\(2\\) \\((-5,-4)\\), dodatnich: \\(3\\) \\((1,2,3)\\).\nPary: (ujemna, dodatnia) → \\(2\\cdot 3 = 6\\); (dodatnia, ujemna) → \\(3\\cdot 2 = 6\\).\n\\(|A|=6+6=12\\), więc \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\).\n\n### Sposób 2 - Drzewo stochastyczne\nPrawdopodobieństwo wylosowania dodatniej w pojedynczym rzucie: \\(\\tfrac{3}{5}\\); ujemnej: \\(\\tfrac{2}{5}\\).\n\\(P(A) = 2\\cdot P(\\text{U})\\cdot P(\\text{D}) = 2\\cdot \\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{12}{25}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za \\(|\\Omega|=25\\) lub \\(|A|=12\\) lub wypisanie wszystkich par sprzyjających.\n- **2 pkt** - za poprawny wynik \\(P(A)=\\tfrac{12}{25}\\) z uzasadnieniem.\n- Same liczby \\(12\\) lub \\(25\\) bez kontekstu → 0 pkt.\n\n**Trik:** \"iloczyn ujemny\" = jeden dodatni i jeden ujemny czynnik. Pomnóż liczby grup i uwzględnij kolejność.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Ze zbioru pięciu liczb {-5, -4, 1, 2, 3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej<br>liczbie. Zdarzenie 𝐴 polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>33.<br>34.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Ze zbioru pięciu liczb {-5,-4,1,2,3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy:<br>wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 5 ⋅5<br>ALBO<br>przedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub wypisze<br>(zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 i nie<br>wypisze żadnego niewłaściwego:<br>(-5, 1), (-5, 2), (-5, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-4, 3),<br>(1, -5), (2, -5), (3, -5), (1, -4), (2, -4), (3, -4),<br>ALBO<br>poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 12,<br>ALBO<br>sporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie<br>sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo 1<br>5 na co najmniej<br>jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,<br>ALBO<br>zapisze |𝐴| = 2 ⋅3 + 3 ⋅2 (lub |𝐴| = 2 ⋅2 ⋅3),<br>ALBO<br>zapisze tylko 𝑃(𝐴) = 12<br>25 .<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną<br>metodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:<br>𝑃(𝐴) =<br>|𝐴|<br>|Ω| = 12<br>25 .<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 12 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie</li></ol>\n<p>tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 25 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za</li></ol>\n<p>całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie<br>𝑎, 𝑏∈{-5, -4, 1, 2, 3}.<br>Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅5 = 25.<br>Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:<br>(-5, 1), (-5, 2), (-5, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-4, 3),<br>(1, -5), (2, -5), (3, -5), (1, -4), (2, -4), (3, -4),<br>więc |𝐴| = 12.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =<br>|𝐴|<br>|Ω| = 12<br>25 .<br>Sposób 2.<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie<br>𝑎, 𝑏∈{-5, -4, 1, 2, 3}.<br>Jest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.<br>I losowanie<br>-𝟓 -𝟒<br>𝟏<br>𝟐<br>𝟑<br>II losowanie<br>-𝟓<br>×<br>×<br>×<br>-𝟒<br>×<br>×<br>×<br>𝟏<br>×<br>×<br>𝟐<br>×<br>×<br>𝟑<br>×<br>×<br>Symbolem × oznaczono pola odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym<br>zdarzeniu 𝐴.<br>Wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 25.<br>Wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 12.<br>Stąd 𝑃(𝐴) =<br>|𝐴|<br>|Ω| = 12<br>25 .<br>Sposób 3. (drzewo stochastyczne)<br>Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem<br>wszystkich istotnych gałęzi.<br>-5<br>1<br>3<br>2<br>1<br>-4<br>-5<br>-4<br>3<br>2<br>1<br>2<br>-4<br>-5<br>3<br>-4<br>-5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe<br>𝑃(𝐴) = 12 ⋅1<br>5 ∙1<br>5 = 12<br>25</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zliczanie par (ujemny × dodatni)</h4>\n<p><strong>Ustalamy przestrzeń zdarzeń.</strong></p>\n<p>Losujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru 5-elementowego, więc każde ciągnięcie jest niezależne.</p>\n<p>\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]</p>\n<p><strong>Kiedy iloczyn jest ujemny?</strong></p>\n<p>Iloczyn dwóch liczb jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>jedna jest ujemna, a druga dodatnia</strong>.</p>\n<p>Podzielmy zbiór:</p>\n<ul><li>Liczby <strong>ujemne</strong>: \\(\\{-5, -4\\}\\) → <strong>2 liczby</strong></li><li>Liczby <strong>dodatnie</strong>: \\(\\{1, 2, 3\\}\\) → <strong>3 liczby</strong></li><li>Liczby zerowe: brak</li></ul>\n<p><strong>Zliczamy zdarzenie \\(A\\):</strong></p>\n<p>Możliwe są dwa przypadki:</p>\n<p>| Przypadek | 1. losowanie | 2. losowanie | Liczba par |<br>| ujemna × dodatnia | 2 możliwości | 3 możliwości | \\(2 \\cdot 3 = 6\\) |<br>| dodatnia × ujemna | 3 możliwości | 2 możliwości | \\(3 \\cdot 2 = 6\\) |</p>\n<p>\\[|A| = 6 + 6 = 12\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy prawdopodobieństwo:</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{25}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Prawdopodobieństwo geometryczne / zdarzenie dopełniające</h4>\n<p>Zamiast liczyć wprost, możemy skorzystać ze <strong>zdarzenia dopełniającego</strong>:</p>\n<p>\\[P(A) = 1 - P(A&#x27;)\\]</p>\n<p>Zdarzenie \\(A&#x27;\\) to „iloczyn jest nieujemny&quot;, czyli:</p>\n<ul><li>obydwie liczby są <strong>dodatnie</strong>, lub</li><li>obydwie liczby są <strong>ujemne</strong></li></ul>\n<p>\\[P(\\text{obie dodatnie}) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\\]</p>\n<p>\\[P(\\text{obie ujemne}) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}\\]</p>\n<p>\\[P(A&#x27;) = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}\\]</p>\n<p>\\[P(A) = 1 - \\frac{13}{25} = \\boxed{\\frac{12}{25}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - potwierdzony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1: \\(|A| = 12\\), \\(|\\Omega| = 25\\).</p>\n<p><strong>Dział 14 - zdarzenie dopełniające:</strong><br>\\[P(A&#x27;) = 1 - P(A)\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2, licząc \\(P(A) = 1 - P(A&#x27;)\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> To losowanie <strong>ze zwracaniem</strong> - po pierwszym losowaniu wracamy liczbę do zbioru, więc drugie losowanie nadal ma 5 możliwości. Gdyby było <strong>bez zwracania</strong>, przestrzeń byłaby \\(5 \\cdot 4 = 20\\), a zadanie inne!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zbiór nie zawiera zera, więc nie ma przypadku „iloczyn = 0&quot;. Gdyby zero było w zbiorze, nie zaliczałoby się do zdarzenia \\(A\\) (iloczyn nie byłby ujemny) - trzeba by je osobno wykluczyć.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Iloczyn <strong>ujemny × ujemny = dodatni</strong> - dwie liczby ujemne dają iloczyn DODATNI, nie ujemny. To częsty błąd przy pochopnym czytaniu treści!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)</h5>\n<p>Zdarzenia elementarne: pary uporządkowane \\((a,b)\\), \\(a,b\\in\\{-5,-4,1,2,3\\}\\).<br>\\(|\\Omega|=5\\cdot 5=25\\).<br>Iloczyn ujemny ⇔ jedna liczba dodatnia, druga ujemna. Ujemnych: \\(2\\) \\((-5,-4)\\), dodatnich: \\(3\\) \\((1,2,3)\\).<br>Pary: (ujemna, dodatnia) → \\(2\\cdot 3 = 6\\); (dodatnia, ujemna) → \\(3\\cdot 2 = 6\\).<br>\\(|A|=6+6=12\\), więc \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Drzewo stochastyczne</h5>\n<p>Prawdopodobieństwo wylosowania dodatniej w pojedynczym rzucie: \\(\\tfrac{3}{5}\\); ujemnej: \\(\\tfrac{2}{5}\\).<br>\\(P(A) = 2\\cdot P(\\text{U})\\cdot P(\\text{D}) = 2\\cdot \\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{12}{25}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - za \\(|\\Omega|=25\\) lub \\(|A|=12\\) lub wypisanie wszystkich par sprzyjających.</li><li><strong>2 pkt</strong> - za poprawny wynik \\(P(A)=\\tfrac{12}{25}\\) z uzasadnieniem.</li><li>Same liczby \\(12\\) lub \\(25\\) bez kontekstu → 0 pkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> &quot;iloczyn ujemny&quot; = jeden dodatni i jeden ujemny czynnik. Pomnóż liczby grup i uwzględnij kolejność.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{12}{25}$</p>"}]}