{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nDany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, którego podstawą jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. W tym\ngraniastosłupie |𝐵𝐷| = 15, a ponadto |𝐶𝐷| = 3 + |𝐵𝐶| oraz |∡𝐶𝐷𝐺| = 60° (zobacz\nrysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.\n𝐴\n𝐻\n𝐺\n𝐹\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n15\n60°\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nDany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |BD|=15, a ponadto |CD|=3+|BC| oraz |∠CDG|=60° (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-5)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie, w którym niewiadomą jest długość jednej z krawędzi podstawy\n𝐴𝐵𝐶𝐷, wynikające z uwzględnienia warunków zadania i zastosowania twierdzenia\nPitagorasa, np. 𝑏2 + (3 + 𝑏)2 = 152, (|𝐶𝐷| -3)2 + |𝐶𝐷|2 = 152.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy długość jednej z krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. 𝑏= 9, |𝐶𝐷| = 12.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy obliczy wysokość ℎ graniastosłupa o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷: ℎ= 12√3.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nobliczy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 1296√3\nALBO\nobliczy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej graniastosłupa: 𝑃𝑏= 504√3.\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę obliczenia objętości 𝑉 i pola 𝑃𝑏 powierzchni bocznej\ngraniastosłupa oraz otrzyma poprawne wyniki: 𝑉= 1296√3 i 𝑃𝑏= 504√3.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poda (bez stosownych obliczeń) długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, lecz\ndalej zapisze, że trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest prostokątny (lub sprawdzi rachunkiem,\nże taki trójkąt jest prostokątny) i bez błędu doprowadzi rozwiązanie do końca, to\notrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poda (bez stosownych obliczeń) długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i nie\nzapisze, że trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest prostokątny ani nie sprawdzi tego\nrachunkiem, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni jeden błąd rzeczowy, np.: przyjmie |𝐶𝐺|= 2|𝐶𝐷| lub\n|𝐶𝐺| =\n|𝐶𝐷|\n√3 , niepoprawnie zastosuje twierdzenie Pitagorasa, niepoprawnie zastosuje\nwzory skróconego mnożenia, i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający odgadnie długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i na tym zakończy, to\notrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadźmy następujące oznaczenia:\n𝑏 - długość krótszej krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\nℎ - wysokość graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 opuszczona\nna podstawę 𝐴𝐵𝐶𝐷\n(zobacz rysunek).\nObliczamy długość krótszej krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, stosując do trójkąta 𝐵𝐶𝐷\ntwierdzenie Pitagorasa:\n𝑏2 + (𝑏+ 3)2 = 152\n𝑏2 + 𝑏2 + 6𝑏+ 9 = 225\n2𝑏2 + 6𝑏-216 = 0\nΔ = 62 -4 ⋅2 ⋅(-216) = 49 ⋅36\n𝑏= -6 -42\n2 ⋅2\n< 0 lub 𝑏= -6 + 42\n2 ⋅2\n= 9\nwięc |𝐶𝐷| = 3 + 𝑏= 3 + 9 = 12.\nObliczamy wysokość ℎ graniastosłupa:\nℎ\n|𝐶𝐷| = tg 60°\nℎ\n12 = √3\nℎ= 12√3\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 𝑏⋅(𝑏+ 3) ⋅ℎ= 9 ⋅12 ⋅12√3 = 1296√3.\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej graniastosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅(𝑏+ 𝑏+ 3) ⋅ℎ= 2 ⋅(9 + 12) ⋅12√3 = 504√3\n𝐻\n𝐺\n𝐹\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n15\n𝐵\n𝐴\n𝑏\n𝑏+ 3\nℎ\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.)\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\npoprawkowy 2022.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania,\nprzestawienia cyfr,\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym\nzadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów\narytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli\nprzedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie\nrozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry\nlub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność,\nktóra wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może\notrzymać 1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nstosuje poprawną metodę obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -8𝑥-3, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy tylko o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\nw wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę,\nALBO\npoprawnie rozwiązuje nierówność 3𝑥2 -8𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\ndla wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu\ni nierówności konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań tej nierówności.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nspełni jeden z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz przedstawi\nrozwiązanie w postaci graficznej z poprawnie narysowaną parabolą, zaznaczonymi\nmiejscami zerowymi oraz zaznaczeniem przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości\nnieujemne.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów\notwartych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np.\nzapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , +∞),\n(+∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , -∞), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze równanie z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 wynikające z warunków zadania, np.\n(𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4) lub 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6, lub 𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4, lub\n𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nobliczy wyróżnik trójmianu 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 zmiennej 𝑎 (lub zmiennej 𝑏).\nZadanie 32.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nprzekształca równanie wymierne do postaci równania kwadratowego, popełniając przy\ntym błędy tylko o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\npopełnia błąd przy przekształceniu równania 4\n𝑥+2 = 𝑥-1 do prostszej postaci, lecz\ndalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania i konsekwentnie\noblicza pierwiastki tego równania.\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 32. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 3 do\nzadania ze standardowych zasad oceniania.\nZadanie 33.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze równanie, w którym jedyną niewiadomą jest długość odcinka 𝐸𝐷 (lub odcinka 𝐸𝑆,\nlub 𝑆𝐹), np. 12\n|𝐸𝐷| = 12√3\n6√3 , 6√3\n|𝐸𝑆| =\n√3\n2 , 12\n|𝑆𝐹| = 12√3\n6√3 .\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedynie liczbę 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych)\nALBO\nwyznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴, popełniając przy\ntym tylko błędy o charakterze dyskalkulicznym.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nwyznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴, popełniając przy tym\ntylko błędy o charakterze dyskalkulicznym, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 1 ze\nstandardowych zasad oceniania.\nZadanie 35.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: V = 1296√3, P_b = 504√3\n\n## Sposób 1 - Układ równań z diagonalą + trygonometria kąta CDG\n\n### Krok 1: Wyznaczymy boki podstawy\n\nOznaczmy \\(|BC| = a\\), wtedy \\(|CD| = a + 3\\).\n\nPodstawa to prostokąt, więc \\(BD\\) jest jego przekątną. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2\\]\n\\[225 = a^2 + (a+3)^2\\]\n\\[225 = a^2 + a^2 + 6a + 9\\]\n\\[2a^2 + 6a - 216 = 0\\]\n\\[a^2 + 3a - 108 = 0\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 9 + 432 = 441 = 21^2\\)\n\n\\[a = \\frac{-3 + 21}{2} = 9\\]\n\n(odrzucamy ujemne). Zatem:\n\\[|BC| = 9, \\quad |CD| = 12\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\\) ✓ (trójka pitagorejska 9-12-15, czyli 3·(3-4-5))\n\n### Krok 2: Wyznaczymy wysokość graniastosłupa z kąta ∠CDG\n\nW graniastosłupie prostym \\(G\\) leży **bezpośrednio nad \\(C\\)** (krawędź \\(CG\\) jest prostopadła do podstawy i ma długość \\(h\\) - szukaną wysokość).\n\nRozpatrzmy trójkąt \\(CDG\\). Kąt \\(\\angle CDG = 60°\\) jest przy wierzchołku \\(D\\).\n\n- \\(|DC| = 12\\) - bok podstawy (poziomy)\n- \\(|CG| = h\\) - krawędź boczna (pionowa)\n- Kąt między \\(DC\\) a \\(DG\\): ponieważ \\(DC \\perp CG\\), trójkąt \\(DCG\\) jest prostokątny przy \\(C\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle CDG) = \\frac{|CG|}{|DC|} = \\frac{h}{12}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]\n\\[h = 12\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 3: Objętość\n\n\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = |BC| \\cdot |CD| \\cdot h = 9 \\cdot 12 \\cdot 12\\sqrt{3}\\]\n\\[\\boxed{V = 1296\\sqrt{3}}\\]\n\n### Krok 4: Pole powierzchni bocznej\n\nPole boczne graniastosłupa prostego = obwód podstawy × wysokość:\n\n\\[O = 2(|BC| + |CD|) = 2(9 + 12) = 2 \\cdot 21 = 42\\]\n\\[P_b = O \\cdot h = 42 \\cdot 12\\sqrt{3}\\]\n\\[\\boxed{P_b = 504\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Inaczej wyznaczymy wysokość (przez długość DG)\n\nZamiast tangensa, możemy użyć cosinusa.\n\nOdcinek \\(DG\\) biegnie od \\(D\\) (w podstawie) do \\(G\\) (na górze, nad \\(C\\)). Jego długość:\n\n\\[|DG|^2 = |DC|^2 + |CG|^2 = 144 + h^2\\]\n\nZ definicji cosinusa w trójkącie \\(CDG\\) (kąt przy \\(D\\)):\n\n\\[\\cos(\\angle CDG) = \\frac{|DC|}{|DG|} = \\frac{12}{\\sqrt{144 + h^2}}\\]\n\\[\\cos(60°) = \\frac{1}{2} = \\frac{12}{\\sqrt{144 + h^2}}\\]\n\\[\\sqrt{144 + h^2} = 24\\]\n\\[h^2 = 576 - 144 = 432\\]\n\\[h = \\sqrt{432} = 12\\sqrt{3}\\]\n\nWynik identyczny. ✓\n\n**Weryfikacja \\(|DG|\\):** \\(\\sqrt{144 + 432} = \\sqrt{576} = 24\\), i rzeczywiście \\(\\sin(60°) = \\frac{12\\sqrt{3}}{24} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_{\\text{podstawy}} \\cdot h, \\quad V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h\\]\nUżyte w Krokach 3 i 4.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia boków prostokąta.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór kwadratowy:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad a = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte do rozwiązania równania \\(a^2 + 3a - 108 = 0\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do kąta}}{\\text{przyległa do kąta}}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (Krok 2) do wyznaczenia wysokości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle CDG\\) to kąt **przy wierzchołku D**, a nie przy C ani G! Łatwo go pomylić z kątem przy \\(C\\) (który wynosi 90°, bo \\(CG \\perp\\) podstawy).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna \\(|BD| = 15\\) to **przekątna prostokąta**, nie krawędź boczna! Wielu uczniów błędnie przyjmuje \\(|BC| = 15\\) lub \\(|CD| = 15\\) bezpośrednio.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole **powierzchni bocznej** \\(\\neq\\) pole **powierzchni całkowitej**. Pytanie dotyczy wyłącznie bocznej (bez dwóch podstaw), więc używamy \\(P_b = O \\cdot h\\), a nie \\(P_c = P_b + 2P_p\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = 1296\\sqrt{3}\\), \\(P_b = 504\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Krawędzie podstawy z tw. Pitagorasa (karta wzorów)\nNiech \\(|BC|=b\\), \\(|CD|=3+b\\). Z tw. Pitagorasa w \\(\\triangle BCD\\):\n\\(b^2 + (3+b)^2 = 15^2 \\Rightarrow 2b^2 + 6b + 9 = 225 \\Rightarrow b^2 + 3b - 108 = 0\\).\n\\(\\Delta = 9 + 432 = 441\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=21\\). \\(b = \\dfrac{-3+21}{2} = 9\\) (drugi < 0 odrzucamy).\nCzyli \\(|BC|=9\\), \\(|CD|=12\\). Zauważ trójkąt \\(9,12,15\\) - pitagorejski.\n\nWysokość graniastosłupa \\(h=|CG|\\) z \\(\\triangle CDG\\): \\(\\tan 60° = \\dfrac{|CG|}{|CD|}\\), więc \\(h = 12\\tan 60° = 12\\sqrt{3}\\).\n\nObjętość: \\(V = |BC|\\cdot|CD|\\cdot h = 9\\cdot 12\\cdot 12\\sqrt{3} = 1296\\sqrt{3}\\).\n\nPole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\text{obwód podstawy}\\cdot h = 2(9+12)\\cdot 12\\sqrt{3} = 42\\cdot 12\\sqrt{3} = 504\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Analogia z trójką pitagorejską\nOd razu zauważamy, że \\(15^2=225\\) i szukamy boków \\(b, b+3\\) z \\(b^2+(b+3)^2=225\\); trójka \\(9,12,15\\) to znana trójka pitagorejska. Reszta obliczeń jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za zapisanie równania z tw. Pitagorasa dla boków podstawy.\n- **2 pkt** - za obliczenie boków \\(|BC|=9, |CD|=12\\).\n- **3 pkt** - za obliczenie wysokości \\(h = 12\\sqrt{3}\\).\n- **4 pkt** - za obliczenie objętości \\(V=1296\\sqrt{3}\\) LUB pola bocznego \\(P_b = 504\\sqrt{3}\\).\n- **5 pkt** - za oba wyniki z poprawną metodą.\n\n**Trik:** trójki pitagorejskie \\(3,4,5\\) (i wielokrotności \\(9,12,15\\), \\(6,8,10\\)) często pojawiają się w zadaniach - warto je znać na pamięć.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-35.svg","topics":"stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 35. (0-5)
Dany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, którego podstawą jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. W tym
graniastosłupie |𝐵𝐷| = 15, a ponadto |𝐶𝐷| = 3 + |𝐵𝐶| oraz |∡𝐶𝐷𝐺| = 60° (zobacz
rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
𝐴
𝐻
𝐺
𝐹
𝐸
𝐷
𝐶
𝐵
15
60°

\n

EMAP-P0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
35.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |BD|=15, a ponadto |CD|=3+|BC| oraz |∠CDG|=60° (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 35. (0-5)
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze równanie, w którym niewiadomą jest długość jednej z krawędzi podstawy
𝐴𝐵𝐶𝐷, wynikające z uwzględnienia warunków zadania i zastosowania twierdzenia
Pitagorasa, np. 𝑏2 + (3 + 𝑏)2 = 152, (|𝐶𝐷| -3)2 + |𝐶𝐷|2 = 152.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy długość jednej z krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. 𝑏= 9, |𝐶𝐷| = 12.
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy obliczy wysokość ℎ graniastosłupa o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷: ℎ= 12√3.
Zdający otrzymuje 4 pkt
gdy:
obliczy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 1296√3
ALBO
obliczy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej graniastosłupa: 𝑃𝑏= 504√3.
Zdający otrzymuje 5 pkt
gdy zastosuje poprawną metodę obliczenia objętości 𝑉 i pola 𝑃𝑏 powierzchni bocznej
graniastosłupa oraz otrzyma poprawne wyniki: 𝑉= 1296√3 i 𝑃𝑏= 504√3.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający poda (bez stosownych obliczeń) długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, lecz
\n

dalej zapisze, że trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest prostokątny (lub sprawdzi rachunkiem,
że taki trójkąt jest prostokątny) i bez błędu doprowadzi rozwiązanie do końca, to
otrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poda (bez stosownych obliczeń) długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i nie
\n

zapisze, że trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest prostokątny ani nie sprawdzi tego
rachunkiem, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni jeden błąd rzeczowy, np.: przyjmie |𝐶𝐺|= 2|𝐶𝐷| lub
\n

|𝐶𝐺| =
|𝐶𝐷|
√3 , niepoprawnie zastosuje twierdzenie Pitagorasa, niepoprawnie zastosuje
wzory skróconego mnożenia, i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i na tym zakończy, to
\n

otrzymuje 1 punkt.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
𝑏 - długość krótszej krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,
ℎ - wysokość graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 opuszczona
na podstawę 𝐴𝐵𝐶𝐷
(zobacz rysunek).
Obliczamy długość krótszej krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, stosując do trójkąta 𝐵𝐶𝐷
twierdzenie Pitagorasa:
𝑏2 + (𝑏+ 3)2 = 152
𝑏2 + 𝑏2 + 6𝑏+ 9 = 225
2𝑏2 + 6𝑏-216 = 0
Δ = 62 -4 ⋅2 ⋅(-216) = 49 ⋅36
𝑏= -6 -42
2 ⋅2
< 0 lub 𝑏= -6 + 42
2 ⋅2
= 9
więc |𝐶𝐷| = 3 + 𝑏= 3 + 9 = 12.
Obliczamy wysokość ℎ graniastosłupa:
ℎ
|𝐶𝐷| = tg 60°
ℎ
12 = √3
ℎ= 12√3
Obliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 𝑏⋅(𝑏+ 3) ⋅ℎ= 9 ⋅12 ⋅12√3 = 1296√3.
Obliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej graniastosłupa:
𝑃𝑏= 2 ⋅(𝑏+ 𝑏+ 3) ⋅ℎ= 2 ⋅(9 + 12) ⋅12√3 = 504√3
𝐻
𝐺
𝐹
𝐸
𝐷
𝐶
15
𝐵
𝐴
𝑏
𝑏+ 3
ℎ
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.)
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin
poprawkowy 2022.
I.
Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
\n

błędnego przepisania,
przestawienia cyfr,
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,
przestawienia położenia przecinka.

\n
  1. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym
\n

zadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
\n

rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
\n

zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
\n

kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów
\n

arytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli
przedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie
rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry
\n

lub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność,
która wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może
otrzymać 1 punkt.
II.
Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku
arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 29.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
stosuje poprawną metodę obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
3𝑥2 -8𝑥-3, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te
pierwiastki, popełniając błędy tylko o charakterze dyskalkulicznym
ALBO
w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę,
ALBO
poprawnie rozwiązuje nierówność 3𝑥2 -8𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych
zasad oceniania),
ALBO
dla wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu
i nierówności konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań tej nierówności.
Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:
spełni jeden z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz przedstawi
rozwiązanie w postaci graficznej z poprawnie narysowaną parabolą, zaznaczonymi
miejscami zerowymi oraz zaznaczeniem przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości
nieujemne.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów
\n

otwartych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np.
\n

zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-∞, 3⟩∪⟨-1
3 , +∞),
(+∞, 3⟩∪⟨-1
3 , -∞), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.
\n

Zadanie 30.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
zapisze równanie z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 wynikające z warunków zadania, np.
(𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4) lub 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6, lub 𝑥+𝑦
2
= 𝑦-4, lub
𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6.
Zadanie 31.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
obliczy wyróżnik trójmianu 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 zmiennej 𝑎 (lub zmiennej 𝑏).
Zadanie 32.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
przekształca równanie wymierne do postaci równania kwadratowego, popełniając przy
tym błędy tylko o charakterze dyskalkulicznym
ALBO
popełnia błąd przy przekształceniu równania 4
𝑥+2 = 𝑥-1 do prostszej postaci, lecz
dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania i konsekwentnie
oblicza pierwiastki tego równania.
Uwaga:
W ocenie rozwiązania zadania 32. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 3 do
zadania ze standardowych zasad oceniania.
Zadanie 33.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
zapisze równanie, w którym jedyną niewiadomą jest długość odcinka 𝐸𝐷 (lub odcinka 𝐸𝑆,
lub 𝑆𝐹), np. 12
|𝐸𝐷| = 12√3
6√3 , 6√3
|𝐸𝑆| =
√3
2 , 12
|𝑆𝐹| = 12√3
6√3 .
Zadanie 34.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
zapisze jedynie liczbę 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych)
ALBO
wyznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴, popełniając przy
tym tylko błędy o charakterze dyskalkulicznym.
Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:
wyznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴, popełniając przy tym
tylko błędy o charakterze dyskalkulicznym, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwaga:
W ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 1 ze
standardowych zasad oceniania.
Zadanie 35.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-35.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: V = 1296√3, P_b = 504√3

\n

Sposób 1 - Układ równań z diagonalą + trygonometria kąta CDG

\n
Krok 1: Wyznaczymy boki podstawy
\n

Oznaczmy \\(|BC| = a\\), wtedy \\(|CD| = a + 3\\).

\n

Podstawa to prostokąt, więc \\(BD\\) jest jego przekątną. Z twierdzenia Pitagorasa:

\n

\\[|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2\\]
\\[225 = a^2 + (a+3)^2\\]
\\[225 = a^2 + a^2 + 6a + 9\\]
\\[2a^2 + 6a - 216 = 0\\]
\\[a^2 + 3a - 108 = 0\\]

\n

Wyróżnik: \\(\\Delta = 9 + 432 = 441 = 21^2\\)

\n

\\[a = \\frac{-3 + 21}{2} = 9\\]

\n

(odrzucamy ujemne). Zatem:
\\[|BC| = 9, \\quad |CD| = 12\\]

\n

Sprawdzenie: \\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\\) ✓ (trójka pitagorejska 9-12-15, czyli 3·(3-4-5))

\n
Krok 2: Wyznaczymy wysokość graniastosłupa z kąta ∠CDG
\n

W graniastosłupie prostym \\(G\\) leży bezpośrednio nad \\(C\\) (krawędź \\(CG\\) jest prostopadła do podstawy i ma długość \\(h\\) - szukaną wysokość).

\n

Rozpatrzmy trójkąt \\(CDG\\). Kąt \\(\\angle CDG = 60°\\) jest przy wierzchołku \\(D\\).

\n\n

\\[\\operatorname{tg}(\\angle CDG) = \\frac{|CG|}{|DC|} = \\frac{h}{12}\\]
\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]
\\[h = 12\\sqrt{3}\\]

\n
Krok 3: Objętość
\n

\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = |BC| \\cdot |CD| \\cdot h = 9 \\cdot 12 \\cdot 12\\sqrt{3}\\]
\\[\\boxed{V = 1296\\sqrt{3}}\\]

\n
Krok 4: Pole powierzchni bocznej
\n

Pole boczne graniastosłupa prostego = obwód podstawy × wysokość:

\n

\\[O = 2(|BC| + |CD|) = 2(9 + 12) = 2 \\cdot 21 = 42\\]
\\[P_b = O \\cdot h = 42 \\cdot 12\\sqrt{3}\\]
\\[\\boxed{P_b = 504\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Inaczej wyznaczymy wysokość (przez długość DG)

\n

Zamiast tangensa, możemy użyć cosinusa.

\n

Odcinek \\(DG\\) biegnie od \\(D\\) (w podstawie) do \\(G\\) (na górze, nad \\(C\\)). Jego długość:

\n

\\[|DG|^2 = |DC|^2 + |CG|^2 = 144 + h^2\\]

\n

Z definicji cosinusa w trójkącie \\(CDG\\) (kąt przy \\(D\\)):

\n

\\[\\cos(\\angle CDG) = \\frac{|DC|}{|DG|} = \\frac{12}{\\sqrt{144 + h^2}}\\]
\\[\\cos(60°) = \\frac{1}{2} = \\frac{12}{\\sqrt{144 + h^2}}\\]
\\[\\sqrt{144 + h^2} = 24\\]
\\[h^2 = 576 - 144 = 432\\]
\\[h = \\sqrt{432} = 12\\sqrt{3}\\]

\n

Wynik identyczny. ✓

\n

Weryfikacja \\(|DG|\\): \\(\\sqrt{144 + 432} = \\sqrt{576} = 24\\), i rzeczywiście \\(\\sin(60°) = \\frac{12\\sqrt{3}}{24} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - graniastosłup prosty:
\\[P_b = O_{\\text{podstawy}} \\cdot h, \\quad V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h\\]
Użyte w Krokach 3 i 4.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2\\]
Użyte w Kroku 1 do wyznaczenia boków prostokąta.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór kwadratowy:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad a = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte do rozwiązania równania \\(a^2 + 3a - 108 = 0\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do kąta}}{\\text{przyległa do kąta}}\\]
Użyte w Sposobie 1 (Krok 2) do wyznaczenia wysokości.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\angle CDG\\) to kąt przy wierzchołku D, a nie przy C ani G! Łatwo go pomylić z kątem przy \\(C\\) (który wynosi 90°, bo \\(CG \\perp\\) podstawy).
\n
⚠️ Uwaga: Przekątna \\(|BD| = 15\\) to przekątna prostokąta, nie krawędź boczna! Wielu uczniów błędnie przyjmuje \\(|BC| = 15\\) lub \\(|CD| = 15\\) bezpośrednio.
\n
⚠️ Uwaga: Pole powierzchni bocznej \\(\\neq\\) pole powierzchni całkowitej. Pytanie dotyczy wyłącznie bocznej (bez dwóch podstaw), więc używamy \\(P_b = O \\cdot h\\), a nie \\(P_c = P_b + 2P_p\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(V = 1296\\sqrt{3}\\), \\(P_b = 504\\sqrt{3}\\).

\n
Sposób 1 - Krawędzie podstawy z tw. Pitagorasa (karta wzorów)
\n

Niech \\(|BC|=b\\), \\(|CD|=3+b\\). Z tw. Pitagorasa w \\(\\triangle BCD\\):
\\(b^2 + (3+b)^2 = 15^2 \\Rightarrow 2b^2 + 6b + 9 = 225 \\Rightarrow b^2 + 3b - 108 = 0\\).
\\(\\Delta = 9 + 432 = 441\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=21\\). \\(b = \\dfrac{-3+21}{2} = 9\\) (drugi < 0 odrzucamy).
Czyli \\(|BC|=9\\), \\(|CD|=12\\). Zauważ trójkąt \\(9,12,15\\) - pitagorejski.

\n

Wysokość graniastosłupa \\(h=|CG|\\) z \\(\\triangle CDG\\): \\(\\tan 60° = \\dfrac{|CG|}{|CD|}\\), więc \\(h = 12\\tan 60° = 12\\sqrt{3}\\).

\n

Objętość: \\(V = |BC|\\cdot|CD|\\cdot h = 9\\cdot 12\\cdot 12\\sqrt{3} = 1296\\sqrt{3}\\).

\n

Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\text{obwód podstawy}\\cdot h = 2(9+12)\\cdot 12\\sqrt{3} = 42\\cdot 12\\sqrt{3} = 504\\sqrt{3}\\).

\n
Sposób 2 - Analogia z trójką pitagorejską
\n

Od razu zauważamy, że \\(15^2=225\\) i szukamy boków \\(b, b+3\\) z \\(b^2+(b+3)^2=225\\); trójka \\(9,12,15\\) to znana trójka pitagorejska. Reszta obliczeń jak wyżej.

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: trójki pitagorejskie \\(3,4,5\\) (i wielokrotności \\(9,12,15\\), \\(6,8,10\\)) często pojawiają się w zadaniach - warto je znać na pamięć.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = 1296\\sqrt{3}$, $P_b = 504\\sqrt{3}$

"}]}