{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCenę 𝑥 (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o 30%, a następnie obniżono\no 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach\ncena towaru jest równa\nA. 0,36 ⋅𝑥 złotych.\nB. 0,44 ⋅𝑥 złotych.\nC. 0,50 ⋅𝑥 złotych.\nD. 0,56 ⋅𝑥 złotych.\nCenę x (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o 30%, a następnie obniżono o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa A. 0,36⋅x złotych. B. 0,44⋅x złotych. C. 0,50⋅x złotych. D. 0,56⋅x złotych.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(0{,}56 \\cdot x\\) złotych\n\n## Sposób 1 - mnożenie przez współczynniki obniżki\n\n**Obniżka o 30%** oznacza, że zostaje \\(100\\% - 30\\% = 70\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}7\\).\n\nPo pierwszej obniżce cena wynosi:\n\\[x \\cdot 0{,}7 = 0{,}7x\\]\n\n**Obniżka o 20%** (od aktualnej ceny \\(0{,}7x\\)) oznacza, że zostaje \\(100\\% - 20\\% = 80\\%\\), czyli mnożymy przez \\(0{,}8\\):\n\\[0{,}7x \\cdot 0{,}8 = 0{,}56x\\]\n\n**Po obu obniżkach cena wynosi \\(0{,}56 \\cdot x\\) złotych.**\n\n## Sposób 2 - liczbowy przykład dla weryfikacji\n\nWeźmy konkretną cenę, np. \\(x = 100\\) zł.\n\n1. Obniżka o \\(30\\%\\): \\[100 - 30 = 70 \\text{ zł}\\]\n\n2. Obniżka o \\(20\\%\\) od \\(70\\) zł: \\[70 - 0{,}2 \\cdot 70 = 70 - 14 = 56 \\text{ zł}\\]\n\nSprawdzamy: \\(0{,}56 \\cdot 100 = 56\\) zł. ✓\n\n**Wynik zgadza się - odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i działania na ułamkach dziesiętnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(0{,}36 \\cdot x\\) | Dodano obie obniżki: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), a potem jeszcze coś pomieszano; lub policzono \\(0{,}6 \\cdot 0{,}6 = 0{,}36\\) (jakby obu obniżek było po 40%) |\n| B - \\(0{,}44 \\cdot x\\) | Odjęto \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\) od \\(0{,}7x\\) zamiast pomnożyć - błąd w interpretacji drugiej obniżki |\n| C - \\(0{,}50 \\cdot x\\) | Zsumowano obie obniżki: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), więc \\(100\\% - 50\\% = 50\\%\\); czyli przyjęto, że łączna obniżka to \\(50\\%\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to dodawanie procentów: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), co daje \\(0{,}5x\\). Ale druga obniżka dotyczy już **obniżonej** ceny, nie pierwotnej - więc nie można tak po prostu dodać!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie kolejne obniżki procentowe zawsze dają **mniej** niż ich suma. Tu łączna obniżka to \\(44\\%\\) (zostaje \\(56\\%\\)), a nie \\(50\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Schemat: \"obniżka o \\(p\\%\\)\" = mnożenie przez \\(\\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)\\). Zapamiętaj ten mechanizm - działa zawsze, niezależnie od liczby kolejnych obniżek lub podwyżek.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Współczynniki procentowe\nObniżka o \\(30\\%\\) to mnożenie przez \\(0{,}7\\), obniżka o \\(20\\%\\) to mnożenie przez \\(0{,}8\\).\n\\[x\\cdot 0{,}7\\cdot 0{,}8 = x\\cdot 0{,}56 = 0{,}56\\cdot x.\\]\n\n### Sposób 2 - Liczba konkretna\nNiech \\(x = 100\\) zł. Po pierwszej obniżce: \\(70\\) zł. Po drugiej: \\(70\\cdot 0{,}8 = 56\\) zł. To \\(56\\%\\) wartości początkowej, czyli \\(0{,}56\\cdot x\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}36\\cdot x\\)** - pomyłka: \\(0{,}6\\cdot 0{,}6\\), błędne współczynniki.\n- **B. \\(0{,}44\\cdot x\\)** - to wartość dwóch obniżek (\\(1-0{,}56\\)), nie cena końcowa.\n- **C. \\(0{,}50\\cdot x\\)** - suma procentów \\(30+20=50\\%\\) (błędne rozumowanie).\n\n**Trik:** obniżek procentowych NIE wolno dodawać - mnoży się współczynniki \\((1-p_1)(1-p_2)\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Cenę 𝑥 (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o 30%, a następnie obniżono<br>o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach<br>cena towaru jest równa<br>A. 0,36 ⋅𝑥 złotych.<br>B. 0,44 ⋅𝑥 złotych.<br>C. 0,50 ⋅𝑥 złotych.<br>D. 0,56 ⋅𝑥 złotych.<br>Cenę x (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o 30%, a następnie obniżono o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa A. 0,36⋅x złotych. B. 0,44⋅x złotych. C. 0,50⋅x złotych. D. 0,56⋅x złotych.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(0{,}56 \\cdot x\\) złotych</h4>\n<h4>Sposób 1 - mnożenie przez współczynniki obniżki</h4>\n<p><strong>Obniżka o 30%</strong> oznacza, że zostaje \\(100\\% - 30\\% = 70\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}7\\).</p>\n<p>Po pierwszej obniżce cena wynosi:<br>\\[x \\cdot 0{,}7 = 0{,}7x\\]</p>\n<p><strong>Obniżka o 20%</strong> (od aktualnej ceny \\(0{,}7x\\)) oznacza, że zostaje \\(100\\% - 20\\% = 80\\%\\), czyli mnożymy przez \\(0{,}8\\):<br>\\[0{,}7x \\cdot 0{,}8 = 0{,}56x\\]</p>\n<p><strong>Po obu obniżkach cena wynosi \\(0{,}56 \\cdot x\\) złotych.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - liczbowy przykład dla weryfikacji</h4>\n<p>Weźmy konkretną cenę, np. \\(x = 100\\) zł.</p>\n<ol><li>Obniżka o \\(30\\%\\): \\[100 - 30 = 70 \\text{ zł}\\]</li></ol>\n<ol><li>Obniżka o \\(20\\%\\) od \\(70\\) zł: \\[70 - 0{,}2 \\cdot 70 = 70 - 14 = 56 \\text{ zł}\\]</li></ol>\n<p>Sprawdzamy: \\(0{,}56 \\cdot 100 = 56\\) zł. ✓</p>\n<p><strong>Wynik zgadza się - odpowiedź D jest poprawna.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i działania na ułamkach dziesiętnych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A - \\(0{,}36 \\cdot x\\) | Dodano obie obniżki: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), a potem jeszcze coś pomieszano; lub policzono \\(0{,}6 \\cdot 0{,}6 = 0{,}36\\) (jakby obu obniżek było po 40%) |<br>| B - \\(0{,}44 \\cdot x\\) | Odjęto \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\) od \\(0{,}7x\\) zamiast pomnożyć - błąd w interpretacji drugiej obniżki |<br>| C - \\(0{,}50 \\cdot x\\) | Zsumowano obie obniżki: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), więc \\(100\\% - 50\\% = 50\\%\\); czyli przyjęto, że łączna obniżka to \\(50\\%\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to dodawanie procentów: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), co daje \\(0{,}5x\\). Ale druga obniżka dotyczy już <strong>obniżonej</strong> ceny, nie pierwotnej - więc nie można tak po prostu dodać!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dwie kolejne obniżki procentowe zawsze dają <strong>mniej</strong> niż ich suma. Tu łączna obniżka to \\(44\\%\\) (zostaje \\(56\\%\\)), a nie \\(50\\%\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Schemat: &quot;obniżka o \\(p\\%\\)&quot; = mnożenie przez \\(\\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)\\). Zapamiętaj ten mechanizm - działa zawsze, niezależnie od liczby kolejnych obniżek lub podwyżek.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Współczynniki procentowe</h5>\n<p>Obniżka o \\(30\\%\\) to mnożenie przez \\(0{,}7\\), obniżka o \\(20\\%\\) to mnożenie przez \\(0{,}8\\).<br>\\[x\\cdot 0{,}7\\cdot 0{,}8 = x\\cdot 0{,}56 = 0{,}56\\cdot x.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Liczba konkretna</h5>\n<p>Niech \\(x = 100\\) zł. Po pierwszej obniżce: \\(70\\) zł. Po drugiej: \\(70\\cdot 0{,}8 = 56\\) zł. To \\(56\\%\\) wartości początkowej, czyli \\(0{,}56\\cdot x\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0{,}36\\cdot x\\)</strong> - pomyłka: \\(0{,}6\\cdot 0{,}6\\), błędne współczynniki.</li><li><strong>B. \\(0{,}44\\cdot x\\)</strong> - to wartość dwóch obniżek (\\(1-0{,}56\\)), nie cena końcowa.</li><li><strong>C. \\(0{,}50\\cdot x\\)</strong> - suma procentów \\(30+20=50\\%\\) (błędne rozumowanie).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> obniżek procentowych NIE wolno dodawać - mnoży się współczynniki \\((1-p_1)(1-p_2)\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Na początku mamy cenę towaru, która wynosi $x$ złotych.\\</li><li>Obniżamy cenę o $30\\%$. Możemy to obliczyć jako: $$x \\times 0,30 = 0,30x.$$\\</li><li>Cena po pierwszej obniżce wyniesie: $$x - 0,30x = 0,70x.$$\\</li><li>Następnie obniżamy tę nową cenę o $20\\%$. Obliczamy $20\\%$ z $0,70x$: $$0,70x \\times 0,20 = 0,14x.$$\\</li><li>Cena po drugiej obniżce wyniesie: $$0,70x - 0,14x = 0,56x.$$\\</li><li>Podsumowując, cena towaru po obu obniżkach wynosi $0,56x$ złotych.\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $0,56 \\cdot x \\text{ złotych}$, co odpowiada opcji D.</p>"}]}