{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nJednym z rozwiązań równania 5(𝑥+ 1) -𝑥2(𝑥+ 1) = 0 jest liczba\nA. 1\nB. (-1)\nC. 5\nD. (-5)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nJednym z rozwiązań równania 5(x+1)-x^2(x+1)=0 jest liczba A. 1 B. (-1) C. 5 D. (-5)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\nZauważamy, że w obu wyrazach lewej strony występuje czynnik \\((x+1)\\). Wyłączamy go przed nawias:\n\n\\[5(x+1) - x^2(x+1) = 0\\]\n\n\\[(x+1)\\bigl(5 - x^2\\bigr) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden z czynników jest zerem**:\n\n\\[x + 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 5 - x^2 = 0\\]\n\n**Z pierwszego:**\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\n**Z drugiego:**\n\\[5 - x^2 = 0 \\implies x^2 = 5 \\implies x = \\sqrt{5} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{5}\\]\n\nWszystkie rozwiązania: \\(x = -1\\), \\(x = \\sqrt{5}\\), \\(x = -\\sqrt{5}\\).\n\nSpośród odpowiedzi A-D jedyną, która należy do tego zbioru, jest **\\(x = -1\\)**, czyli odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą z odpowiedzi, podstawiając do oryginalnego równania \\(5(x+1) - x^2(x+1) = 0\\):\n\n**A. \\(x = 1\\):**\n\\[5(1+1) - 1^2(1+1) = 5 \\cdot 2 - 1 \\cdot 2 = 10 - 2 = 8 \\neq 0\\] ✗\n\n**B. \\(x = -1\\):**\n\\[5(-1+1) - (-1)^2(-1+1) = 5 \\cdot 0 - 1 \\cdot 0 = 0\\] ✓\n\n**C. \\(x = 5\\):**\n\\[5(5+1) - 5^2(5+1) = 5 \\cdot 6 - 25 \\cdot 6 = 30 - 150 = -120 \\neq 0\\] ✗\n\n**D. \\(x = -5\\):**\n\\[5(-5+1) - (-5)^2(-5+1) = 5 \\cdot (-4) - 25 \\cdot (-4) = -20 + 100 = 80 \\neq 0\\] ✗\n\nTylko \\(x = -1\\) spełnia równanie - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa technika algebraiczna: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias oraz własność, że jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(x = 1\\) | Uczeń \"widzi\" \\(5\\) i \\(1\\) w równaniu i zgaduje, albo myli rozwiązanie z podstawionym czynnikiem |\n| C - \\(x = 5\\) | Uczeń wyciąga \\(5 - x^2 = 0\\) i zamiast \\(x = \\sqrt{5}\\) zapisuje \\(x = 5\\) (zgubienie pierwiastka) |\n| D - \\(x = -5\\) | Analogicznie jak C, ale bierze ujemną wartość - dalej pomyłka \\(\\sqrt{5} \\neq 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dziel obu stron przez \\((x+1)\\)! Dzielenie przez wyrażenie zawierające \\(x\\) grozi utratą rozwiązania \\(x = -1\\) - właśnie tego, który jest odpowiedzią.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(5 - x^2 = 0\\) daje \\(x = \\pm\\sqrt{5}\\), a **nie** \\(x = \\pm 5\\). To częsty błąd - pomylenie \\(x^2 = 5\\) z \\(x = 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie trzeciego stopnia ma **trzy** rozwiązania (tu: \\(-1, \\sqrt{5}, -\\sqrt{5}\\)). Nie kończ na pierwszym znalezionym - ale w zadaniu zamkniętym wystarczy sprawdzić, które z podanych odpowiedzi pasuje.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\[5(x+1) - x^2(x+1) = (x+1)(5 - x^2) = 0.\\]\nZ \\(x+1 = 0\\) mamy \\(x = -1\\). Z \\(5-x^2=0\\): \\(x = \\pm\\sqrt{5}\\).\nRozwiązania: \\(\\{-1, -\\sqrt{5}, \\sqrt{5}\\}\\). Na liście: \\(-1\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie każdej z odpowiedzi\nDla \\(x=-1\\): \\(5\\cdot 0 - 1\\cdot 0 = 0\\) ✓.\nDla \\(x=1\\): \\(5\\cdot 2 - 1\\cdot 2 = 8 \\neq 0\\).\nDla \\(x=5\\): \\(5\\cdot 6 - 25\\cdot 6 = -120 \\neq 0\\).\nDla \\(x=-5\\): \\(5\\cdot(-4) - 25\\cdot(-4) = 80 \\neq 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - nie są zerami równania (sprawdzone podstawieniem).\n\n**Trik:** gdy widzisz powtarzający się czynnik \\((x+1)\\), od razu wyłącz go przed rozkładem.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Jednym z rozwiązań równania 5(𝑥+ 1) -𝑥2(𝑥+ 1) = 0 jest liczba
A. 1
B. (-1)
C. 5
D. (-5)

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Jednym z rozwiązań równania 5(x+1)-x^2(x+1)=0 jest liczba A. 1 B. (-1) C. 5 D. (-5)

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(x = -1\\)

\n

Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika

\n

Zauważamy, że w obu wyrazach lewej strony występuje czynnik \\((x+1)\\). Wyłączamy go przed nawias:

\n

\\[5(x+1) - x^2(x+1) = 0\\]

\n

\\[(x+1)\\bigl(5 - x^2\\bigr) = 0\\]

\n

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:

\n

\\[x + 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 5 - x^2 = 0\\]

\n

Z pierwszego:
\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]

\n

Z drugiego:
\\[5 - x^2 = 0 \\implies x^2 = 5 \\implies x = \\sqrt{5} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{5}\\]

\n

Wszystkie rozwiązania: \\(x = -1\\), \\(x = \\sqrt{5}\\), \\(x = -\\sqrt{5}\\).

\n

Spośród odpowiedzi A-D jedyną, która należy do tego zbioru, jest \\(x = -1\\), czyli odpowiedź B.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy każdą z odpowiedzi, podstawiając do oryginalnego równania \\(5(x+1) - x^2(x+1) = 0\\):

\n

A. \\(x = 1\\):
\\[5(1+1) - 1^2(1+1) = 5 \\cdot 2 - 1 \\cdot 2 = 10 - 2 = 8 \\neq 0\\] ✗

\n

B. \\(x = -1\\):
\\[5(-1+1) - (-1)^2(-1+1) = 5 \\cdot 0 - 1 \\cdot 0 = 0\\] ✓

\n

C. \\(x = 5\\):
\\[5(5+1) - 5^2(5+1) = 5 \\cdot 6 - 25 \\cdot 6 = 30 - 150 = -120 \\neq 0\\] ✗

\n

D. \\(x = -5\\):
\\[5(-5+1) - (-5)^2(-5+1) = 5 \\cdot (-4) - 25 \\cdot (-4) = -20 + 100 = 80 \\neq 0\\] ✗

\n

Tylko \\(x = -1\\) spełnia równanie - odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa technika algebraiczna: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias oraz własność, że jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(x = 1\\) | Uczeń "widzi" \\(5\\) i \\(1\\) w równaniu i zgaduje, albo myli rozwiązanie z podstawionym czynnikiem |
| C - \\(x = 5\\) | Uczeń wyciąga \\(5 - x^2 = 0\\) i zamiast \\(x = \\sqrt{5}\\) zapisuje \\(x = 5\\) (zgubienie pierwiastka) |
| D - \\(x = -5\\) | Analogicznie jak C, ale bierze ujemną wartość - dalej pomyłka \\(\\sqrt{5} \\neq 5\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie dziel obu stron przez \\((x+1)\\)! Dzielenie przez wyrażenie zawierające \\(x\\) grozi utratą rozwiązania \\(x = -1\\) - właśnie tego, który jest odpowiedzią.
\n
⚠️ Uwaga: \\(5 - x^2 = 0\\) daje \\(x = \\pm\\sqrt{5}\\), a nie \\(x = \\pm 5\\). To częsty błąd - pomylenie \\(x^2 = 5\\) z \\(x = 5\\).
\n
⚠️ Uwaga: Równanie trzeciego stopnia ma trzy rozwiązania (tu: \\(-1, \\sqrt{5}, -\\sqrt{5}\\)). Nie kończ na pierwszym znalezionym - ale w zadaniu zamkniętym wystarczy sprawdzić, które z podanych odpowiedzi pasuje.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\n

\\[5(x+1) - x^2(x+1) = (x+1)(5 - x^2) = 0.\\]
Z \\(x+1 = 0\\) mamy \\(x = -1\\). Z \\(5-x^2=0\\): \\(x = \\pm\\sqrt{5}\\).
Rozwiązania: \\(\\{-1, -\\sqrt{5}, \\sqrt{5}\\}\\). Na liście: \\(-1\\).

\n
Sposób 2 - Podstawienie każdej z odpowiedzi
\n

Dla \\(x=-1\\): \\(5\\cdot 0 - 1\\cdot 0 = 0\\) ✓.
Dla \\(x=1\\): \\(5\\cdot 2 - 1\\cdot 2 = 8 \\neq 0\\).
Dla \\(x=5\\): \\(5\\cdot 6 - 25\\cdot 6 = -120 \\neq 0\\).
Dla \\(x=-5\\): \\(5\\cdot(-4) - 25\\cdot(-4) = 80 \\neq 0\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: gdy widzisz powtarzający się czynnik \\((x+1)\\), od razu wyłącz go przed rozkładem.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Rozpoczynamy od równania: $$5(x + 1) - x^2(x + 1) = 0$$\\n\\n2. Zauważamy, że $x + 1$ jest wspólnym czynnikiem w obu wyrazach. Możemy więc wyciągnąć $x + 1$ przed nawias: $$ (x + 1)(5 - x^2) = 0 $$\\n\\n3. Teraz równanie jest w postaci iloczynu z równaniem równym zeru. Możemy ustalić dwa przypadki, które muszą być spełnione:\\n\\n a) $x + 1 = 0$\\n b) $5 - x^2 = 0$\\n\\n4. Rozwiązując pierwszy przypadek: $$x + 1 = 0 $$\\n Przenosimy $1$ na drugą stronę: $$x = -1$$\\n\\n5. Rozwiązując drugi przypadek: $$5 - x^2 = 0$$\\n Przenosimy $x^2$ na drugą stronę: $$5 = x^2 $$\\n\\n6. Teraz bierzemy pierwiastek z obu stron równania: $$x = \\text{±}\\\\sqrt{5}$$\\n\\n7. Uzyskaliśmy dwa rozwiązania z drugiego przypadku: $$x = \\\\sqrt{5}$$ oraz $$x = -\\\\sqrt{5}$$\\n\\n8. Podsumowując, mamy trzy rozwiązania równania:\\n - $x = -1$\\n - $x = \\\\sqrt{5}$\\n - $x = -\\\\sqrt{5}$\\n\\n9. Sprawdzając podane opcje odpowiedzi, widzimy, że jedyną liczbą, która jest rozwiązaniem tego równania, jest $-1$.\\n\\nOdpowiedź: $\\text{B. } -1$
"}]}