{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 8𝑥-3\n4\n> 6𝑥 jest przedział\nA. (-∞, -3\n4)\nB. (-3\n4 , +∞)\nC. (-∞, -3\n16)\nD. (-3\n16 , +∞)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 8x-3/4 > 6x jest przedział A. (-∞,-3/4) B. (-3/4,+∞) C. (-∞,-3/16) D. (-3/16,+∞)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiorem rozwiązań nierówności jest \\(\\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\nMamy nierówność:\n\\[\\frac{8x - 3}{4} > 6x\\]\n\n**Krok 1.** Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności się **nie zmienia**):\n\\[8x - 3 > 24x\\]\n\n**Krok 2.** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na jedną stronę:\n\\[-3 > 24x - 8x\\]\n\\[-3 > 16x\\]\n\n**Krok 3.** Dzielimy obie strony przez \\(16\\) (liczba dodatnia, znak nierówności bez zmian):\n\\[\\frac{-3}{16} > x\\]\n\nczyli:\n\\[x < -\\frac{3}{16}\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\)\n\n## Sposób 2 - Przeniesienie wszystkiego na lewą stronę\n\nZapisujemy równoważną nierówność:\n\\[\\frac{8x - 3}{4} - 6x > 0\\]\n\n**Krok 1.** Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(4\\):\n\\[\\frac{8x - 3}{4} - \\frac{24x}{4} > 0\\]\n\\[\\frac{8x - 3 - 24x}{4} > 0\\]\n\\[\\frac{-16x - 3}{4} > 0\\]\n\n**Krok 2.** Mnożymy obie strony przez \\(4 > 0\\) (znak bez zmian):\n\\[-16x - 3 > 0\\]\n\n**Krok 3.** Przenosimy \\(3\\) na prawą stronę:\n\\[-16x > 3\\]\n\n**Krok 4.** Dzielimy przez \\(-16\\) - uwaga, **dzielimy przez liczbę ujemną**, więc **znak nierówności się odwraca**:\n\\[x < \\frac{3}{-16} = -\\frac{3}{16}\\]\n\nWynik ten sam: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę dodatnią lub ujemną).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń obliczył dobrze \\(-\\frac{3}{4}\\), co mogło powstać przez pominięcie mianownika 4 pod \\(8x\\) i uproszczenie \\(8x - 3 > 24x\\) do \\(-3 > 16x\\), ale potem podzielił przez 4 zamiast 16, otrzymując \\(-\\frac{3}{4}\\). Dodatkowo kierunek przedziału poprawny. |\n| B | Ta sama wartość \\(-\\frac{3}{4}\\) co w A, ale z odwróconym kierunkiem - podwójny błąd: zła wartość i odwrócony znak nierówności. |\n| D | Prawidłowo obliczona wartość \\(-\\frac{3}{16}\\), ale **znak nierówności odwrócony** - zapominamy, że po przeniesieniu \\(x\\) na prawą stronę mamy \\(x < -\\frac{3}{16}\\), nie \\(x > -\\frac{3}{16}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy **dzielisz lub mnożysz nierówność przez liczbę ujemną**, znak nierówności **zawsze się odwraca** (\\(>\\) staje się \\(<\\)). To najczęstszy błąd w tym typie zadania - odpowiedź D jest właśnie wynikiem tego błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez mianownik \\(4\\), pamiętaj że mnożysz **całą prawą stronę** - tu \\(6x \\cdot 4 = 24x\\), nie \\(6x + 4\\) ani \\(6x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(-\\frac{3}{16}\\) z \\(-\\frac{3}{4}\\). Sprawdź obliczenia: \\(\\frac{-3}{16}\\), bo dzielisz \\(-3\\) przez \\(16\\) (wynik z \\(8x - 24x = -16x\\)), a nie przez \\(4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Pomnożenie obu stron przez 4\n\\[\\dfrac{8x-3}{4} > 6x \\;\\Longleftrightarrow\\; 8x - 3 > 24x \\;\\Longleftrightarrow\\; -16x > 3 \\;\\Longleftrightarrow\\; x < -\\dfrac{3}{16}.\\]\nZbiór rozwiązań: \\(\\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Przeniesienie na jedną stronę\n\\(\\dfrac{8x-3}{4} - 6x > 0 \\Rightarrow \\dfrac{8x-3-24x}{4} > 0 \\Rightarrow -16x - 3 > 0 \\Rightarrow x < -\\dfrac{3}{16}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, -\\tfrac{3}{4})\\)** - błąd: nie podzielono \\(3\\) przez \\(16\\), tylko \\(4\\).\n- **B. \\((-\\tfrac{3}{4}, +\\infty)\\)** - dodatkowo błędny kierunek.\n- **D. \\((-\\tfrac{3}{16}, +\\infty)\\)** - nie odwrócono znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.\n\n**Trik:** mnożąc/dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, ZAWSZE odwróć znak.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 8𝑥-3
4

\n
6𝑥 jest przedział
\n

A. (-∞, -3
4)
B. (-3
4 , +∞)
C. (-∞, -3
16)
D. (-3
16 , +∞)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 8x-3/4 > 6x jest przedział A. (-∞,-3/4) B. (-3/4,+∞) C. (-∞,-3/16) D. (-3/16,+∞)

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Zbiorem rozwiązań nierówności jest \\(\\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\).

\n

Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik

\n

Mamy nierówność:
\\[\\frac{8x - 3}{4} > 6x\\]

\n

Krok 1. Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia):
\\[8x - 3 > 24x\\]

\n

Krok 2. Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na jedną stronę:
\\[-3 > 24x - 8x\\]
\\[-3 > 16x\\]

\n

Krok 3. Dzielimy obie strony przez \\(16\\) (liczba dodatnia, znak nierówności bez zmian):
\\[\\frac{-3}{16} > x\\]

\n

czyli:
\\[x < -\\frac{3}{16}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\)

\n

Sposób 2 - Przeniesienie wszystkiego na lewą stronę

\n

Zapisujemy równoważną nierówność:
\\[\\frac{8x - 3}{4} - 6x > 0\\]

\n

Krok 1. Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(4\\):
\\[\\frac{8x - 3}{4} - \\frac{24x}{4} > 0\\]
\\[\\frac{8x - 3 - 24x}{4} > 0\\]
\\[\\frac{-16x - 3}{4} > 0\\]

\n

Krok 2. Mnożymy obie strony przez \\(4 > 0\\) (znak bez zmian):
\\[-16x - 3 > 0\\]

\n

Krok 3. Przenosimy \\(3\\) na prawą stronę:
\\[-16x > 3\\]

\n

Krok 4. Dzielimy przez \\(-16\\) - uwaga, dzielimy przez liczbę ujemną, więc znak nierówności się odwraca:
\\[x < \\frac{3}{-16} = -\\frac{3}{16}\\]

\n

Wynik ten sam: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę dodatnią lub ujemną).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń obliczył dobrze \\(-\\frac{3}{4}\\), co mogło powstać przez pominięcie mianownika 4 pod \\(8x\\) i uproszczenie \\(8x - 3 > 24x\\) do \\(-3 > 16x\\), ale potem podzielił przez 4 zamiast 16, otrzymując \\(-\\frac{3}{4}\\). Dodatkowo kierunek przedziału poprawny. |
| B | Ta sama wartość \\(-\\frac{3}{4}\\) co w A, ale z odwróconym kierunkiem - podwójny błąd: zła wartość i odwrócony znak nierówności. |
| D | Prawidłowo obliczona wartość \\(-\\frac{3}{16}\\), ale znak nierówności odwrócony - zapominamy, że po przeniesieniu \\(x\\) na prawą stronę mamy \\(x < -\\frac{3}{16}\\), nie \\(x > -\\frac{3}{16}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy dzielisz lub mnożysz nierówność przez liczbę ujemną, znak nierówności zawsze się odwraca (\\(>\\) staje się \\(<\\)). To najczęstszy błąd w tym typie zadania - odpowiedź D jest właśnie wynikiem tego błędu.
\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc obie strony przez mianownik \\(4\\), pamiętaj że mnożysz całą prawą stronę - tu \\(6x \\cdot 4 = 24x\\), nie \\(6x + 4\\) ani \\(6x\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(-\\frac{3}{16}\\) z \\(-\\frac{3}{4}\\). Sprawdź obliczenia: \\(\\frac{-3}{16}\\), bo dzielisz \\(-3\\) przez \\(16\\) (wynik z \\(8x - 24x = -16x\\)), a nie przez \\(4\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Pomnożenie obu stron przez 4
\n

\\[\\dfrac{8x-3}{4} > 6x \\;\\Longleftrightarrow\\; 8x - 3 > 24x \\;\\Longleftrightarrow\\; -16x > 3 \\;\\Longleftrightarrow\\; x < -\\dfrac{3}{16}.\\]
Zbiór rozwiązań: \\(\\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\).

\n
Sposób 2 - Przeniesienie na jedną stronę
\n

\\(\\dfrac{8x-3}{4} - 6x > 0 \\Rightarrow \\dfrac{8x-3-24x}{4} > 0 \\Rightarrow -16x - 3 > 0 \\Rightarrow x < -\\dfrac{3}{16}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: mnożąc/dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, ZAWSZE odwróć znak.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisania nierówności, którą mamy rozwiązać: $$\\frac{8x - 3}{4} > 6x$$.
\n
  1. Aby pozbyć się ułamka, mnożymy obie strony nierówności przez 4 (pamiętamy, że mnożenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku nierówności): $$8x - 3 > 24x$$.
\n
  1. Następnie przekształcamy nierówność, aby wszystkie wyrazy z x były po jednej stronie. Odejmujemy $8x$ od obu stron: $$-3 > 24x - 8x$$.
\n
  1. Upraszczamy prawą stronę nierówności: $$-3 > 16x$$.
\n
  1. Teraz dzielimy obie strony nierówności przez 16. Pamiętaj, że dzielenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku nierówności: $$\\frac{-3}{16} > x$$.
\n
  1. Przekształcamy to, aby mieć $x$ po lewej stronie: $$x < \\frac{-3}{16}$$.
\n
  1. Zapisujemy zbiór rozwiązań. Oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest przedział: $$(-\\infty, -\\frac{3}{16})$$.
\n

Odpowiedź: C

"}]}