{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nSuma wszystkich rozwiązań równania (2𝑥-1)(2𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0 jest równa\nA. (-7\n2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 1\nSuma wszystkich rozwiązań równania (2x-1)(2x-2)(x+2)=0 jest równa A. (-7/2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczanie pierwiastków wprost z postaci iloczynowej\n\nRównanie \\((2x-1)(2x-2)(x+2) = 0\\) jest już w postaci iloczynowej - iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.\n\nRozwiązujemy każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[2x - 1 = 0 \\implies x_1 = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[2x - 2 = 0 \\implies 2x = 2 \\implies x_2 = 1\\]\n\n**Czynnik 3:**\n\\[x + 2 = 0 \\implies x_3 = -2\\]\n\n**Suma wszystkich rozwiązań:**\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = \\frac{1}{2} + 1 + (-2) = \\frac{1}{2} + 1 - 2 = \\frac{3}{2} - 2 = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{1}{2}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a po rozwinięciu do postaci ogólnej\n\nRozwińmy iloczyn, żeby wyznaczyć sumę pierwiastków bez ich znajomości.\n\nNajpierw rozwijamy dwa pierwsze czynniki:\n\\[(2x-1)(2x-2) = 4x^2 - 4x - 2x + 2 = 4x^2 - 6x + 2\\]\n\nTeraz mnożymy przez \\((x+2)\\):\n\\[(4x^2 - 6x + 2)(x+2)\\]\n\\[= 4x^3 + 8x^2 - 6x^2 - 12x + 2x + 4\\]\n\\[= 4x^3 + 2x^2 - 10x + 4\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(4\\):\n\\[x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - \\frac{5}{2}x + 1 = 0\\]\n\nZe wzorów Viète'a dla wielomianu \\(x^3 + px^2 + qx + r = 0\\) suma pierwiastków wynosi:\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -p = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Potwierdza wynik: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{1}{2}}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość własności iloczynu (iloczyn = 0 wtedy gdy jeden czynnik = 0) oraz ewentualnie wzorów Viète'a, które nie są wyszczególnione jako osobny wzór na karcie, ale wynikają z działu 7.\n\nPomocniczo można odwołać się do:\n\n> **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - analogia do wzorów Viète'a dla trójmianu:\n> \\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n> W Sposobie 2 rozszerzamy tę logikę na wielomian stopnia 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\left(-\\frac{7}{2}\\right)\\) | Pomylenie wyznaczania pierwiastków: np. wzięcie \\(x = -\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(x = \\frac{1}{2}\\) z czynnika \\((2x-1)\\), i dodanie \\(-\\frac{1}{2} + (-2) + (-1) = -\\frac{7}{2}\\) - błąd znaku i wartości |\n| **C** \\(\\frac{1}{2}\\) | Zgubienie \\(x_3 = -2\\), zsumowanie tylko \\(\\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\) lub pominięcie czynnika \\((x+2)\\) całkowicie |\n| **D** \\(1\\) | Podanie tylko jednego pierwiastka \\(x_2 = 1\\) zamiast ich sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\((2x - 1) = 0\\) wynika \\(x = \\frac{1}{2}\\), **nie** \\(x = -\\frac{1}{2}\\). Łatwo tu pomylić znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie ma **trzy** rozwiązania (wielomian 3. stopnia) - nie zatrzymuj się po znalezieniu dwóch pierwiastków. Każdy czynnik liniowy daje jedno rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz rozwijać iloczynu - postać iloczynowa to prezent od zadania. Wprost odczytaj pierwiastki z każdego nawiasu i zsumuj.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Znajdź każdy pierwiastek\n\\((2x-1)(2x-2)(x+2)=0\\) daje:\n\\(2x-1=0 \\Rightarrow x=\\tfrac{1}{2}\\), \\(2x-2=0 \\Rightarrow x=1\\), \\(x+2=0 \\Rightarrow x=-2\\).\nSuma: \\(\\tfrac{1}{2} + 1 + (-2) = \\tfrac{1}{2} - 1 = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Dokładne sumowanie\n\\(\\tfrac{1}{2} + \\tfrac{2}{2} - \\tfrac{4}{2} = \\tfrac{1+2-4}{2} = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{7}{2}\\)** - dodano wszystkie wyrazy z ujemnym znakiem.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - zapomniano o \\(-2\\).\n- **D. \\(1\\)** - pominięto \\(-2\\) i dodano tylko dodatnie pierwiastki.\n\n**Trik:** iloczyn równy 0 ⇔ choć jeden czynnik = 0. Rozwiązania czynników SUMUJ.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Suma wszystkich rozwiązań równania (2𝑥-1)(2𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0 jest równa
A. (-7
2)
B. (-1
2)
C. 1
2
D. 1
Suma wszystkich rozwiązań równania (2x-1)(2x-2)(x+2)=0 jest równa A. (-7/2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 1

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczanie pierwiastków wprost z postaci iloczynowej

\n

Równanie \\((2x-1)(2x-2)(x+2) = 0\\) jest już w postaci iloczynowej - iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

\n

Rozwiązujemy każdy czynnik osobno:

\n

Czynnik 1:
\\[2x - 1 = 0 \\implies x_1 = \\frac{1}{2}\\]

\n

Czynnik 2:
\\[2x - 2 = 0 \\implies 2x = 2 \\implies x_2 = 1\\]

\n

Czynnik 3:
\\[x + 2 = 0 \\implies x_3 = -2\\]

\n

Suma wszystkich rozwiązań:
\\[x_1 + x_2 + x_3 = \\frac{1}{2} + 1 + (-2) = \\frac{1}{2} + 1 - 2 = \\frac{3}{2} - 2 = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{1}{2}}\\)

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a po rozwinięciu do postaci ogólnej

\n

Rozwińmy iloczyn, żeby wyznaczyć sumę pierwiastków bez ich znajomości.

\n

Najpierw rozwijamy dwa pierwsze czynniki:
\\[(2x-1)(2x-2) = 4x^2 - 4x - 2x + 2 = 4x^2 - 6x + 2\\]

\n

Teraz mnożymy przez \\((x+2)\\):
\\[(4x^2 - 6x + 2)(x+2)\\]
\\[= 4x^3 + 8x^2 - 6x^2 - 12x + 2x + 4\\]
\\[= 4x^3 + 2x^2 - 10x + 4\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(4\\):
\\[x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - \\frac{5}{2}x + 1 = 0\\]

\n

Ze wzorów Viète'a dla wielomianu \\(x^3 + px^2 + qx + r = 0\\) suma pierwiastków wynosi:
\\[x_1 + x_2 + x_3 = -p = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Potwierdza wynik: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{1}{2}}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość własności iloczynu (iloczyn = 0 wtedy gdy jeden czynnik = 0) oraz ewentualnie wzorów Viète'a, które nie są wyszczególnione jako osobny wzór na karcie, ale wynikają z działu 7.

\n

Pomocniczo można odwołać się do:

\n
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - analogia do wzorów Viète'a dla trójmianu:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
W Sposobie 2 rozszerzamy tę logikę na wielomian stopnia 3.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\(\\left(-\\frac{7}{2}\\right)\\) | Pomylenie wyznaczania pierwiastków: np. wzięcie \\(x = -\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(x = \\frac{1}{2}\\) z czynnika \\((2x-1)\\), i dodanie \\(-\\frac{1}{2} + (-2) + (-1) = -\\frac{7}{2}\\) - błąd znaku i wartości |
| C \\(\\frac{1}{2}\\) | Zgubienie \\(x_3 = -2\\), zsumowanie tylko \\(\\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\) lub pominięcie czynnika \\((x+2)\\) całkowicie |
| D \\(1\\) | Podanie tylko jednego pierwiastka \\(x_2 = 1\\) zamiast ich sumy |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Z czynnika \\((2x - 1) = 0\\) wynika \\(x = \\frac{1}{2}\\), nie \\(x = -\\frac{1}{2}\\). Łatwo tu pomylić znak!
\n
⚠️ Uwaga: Równanie ma trzy rozwiązania (wielomian 3. stopnia) - nie zatrzymuj się po znalezieniu dwóch pierwiastków. Każdy czynnik liniowy daje jedno rozwiązanie.
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz rozwijać iloczynu - postać iloczynowa to prezent od zadania. Wprost odczytaj pierwiastki z każdego nawiasu i zsumuj.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Znajdź każdy pierwiastek
\n

\\((2x-1)(2x-2)(x+2)=0\\) daje:
\\(2x-1=0 \\Rightarrow x=\\tfrac{1}{2}\\), \\(2x-2=0 \\Rightarrow x=1\\), \\(x+2=0 \\Rightarrow x=-2\\).
Suma: \\(\\tfrac{1}{2} + 1 + (-2) = \\tfrac{1}{2} - 1 = -\\tfrac{1}{2}\\).

\n
Sposób 2 - Dokładne sumowanie
\n

\\(\\tfrac{1}{2} + \\tfrac{2}{2} - \\tfrac{4}{2} = \\tfrac{1+2-4}{2} = -\\tfrac{1}{2}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: iloczyn równy 0 ⇔ choć jeden czynnik = 0. Rozwiązania czynników SUMUJ.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, rozwiązania równania $(2x - 1)(2x - 2)(x + 2) = 0$ to $\\displaystyle \\small x_1 = \\frac{1}{2}$, $x_2 = 1$ i $x_2 = -2$. Suma tych rozwiązań to $\\displaystyle \\small \\frac{1}{2} + 1 - 2 = -\\frac{1}{2}$.

"}]}