{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nPunkt 𝐴= (1, 2) należy do wykresu funkcji 𝑓, określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = (𝑚2 -3)𝑥3 -𝑚2 + 𝑚+ 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Wtedy\nA. 𝑚= -4\nB. 𝑚= -2\nC. 𝑚= 0\nD. 𝑚= 4\nPunkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji f, określonej wzorem f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy A. m=-4 B. m=-2 C. m=0 & D. m=4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 4\\))\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\n**Kluczowa obserwacja:** Jeśli punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu funkcji \\(f\\), to \\(f(1) = 2\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 1\\) do wzoru:\n\n\\[f(1) = (m^2 - 3) \\cdot 1^3 - m^2 + m + 1\\]\n\n\\[f(1) = m^2 - 3 - m^2 + m + 1\\]\n\nWyrazy \\(m^2\\) i \\(-m^2\\) znoszą się:\n\n\\[f(1) = m - 2\\]\n\nTeraz używamy warunku \\(f(1) = 2\\):\n\n\\[m - 2 = 2\\]\n\n\\[\\boxed{m = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie odpowiedzi\n\nPodstawiamy \\(x = 1\\) do wzoru i sprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n\\[f(1) = (m^2 - 3) - m^2 + m + 1 = m - 2\\]\n\nDla \\(m = 4\\): \\(f(1) = 4 - 2 = 2\\) ✓ - zgadza się z \\(y = 2\\).\n\nPozostałe:\n- \\(m = -4\\): \\(f(1) = -4 - 2 = -6 \\neq 2\\)\n- \\(m = -2\\): \\(f(1) = -2 - 2 = -4 \\neq 2\\)\n- \\(m = 0\\): \\(f(1) = 0 - 2 = -2 \\neq 2\\)\n\nTylko \\(m = 4\\) spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przynależności punktu do wykresu funkcji (\\(f(x_0) = y_0\\)) i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(m = -4\\)) | Uczeń może mylnie liczyć \\(m^2 - 3\\) przy \\(m=-4\\): dostaje \\(13\\), ale zapomina uprościć całe wyrażenie i gubi człon \\(-m^2\\) |\n| B (\\(m = -2\\)) | Podobny błąd - nie upraszcza \\(m^2 - m^2 = 0\\), próbuje rozwiązać pełne równanie kwadratowe zamiast liniowego |\n| C (\\(m = 0\\)) | Uczeń może myśleć, że \"najprostsze\" \\(m = 0\\) jest odpowiedzią, bez faktycznego podstawienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(x = 1\\) wyrazy \\(+m^2\\) i \\(-m^2\\) **znoszą się** - to kluczowe uproszczenie. Kto go przeoczy i próbuje rozwiązać równanie kwadratowe, dostanie fałszywe wyniki lub dwa błędne rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu\" to dokładnie \\(f(1) = 2\\). To standardowe sformułowanie w zadaniach maturalnych - zapamiętaj je jako odruch.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz nic wiedzieć o funkcji sześciennej (\\(x^3\\)) - zadanie jest czysto algebraiczne po podstawieniu \\(x = 1\\), bo \\(1^3 = 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstaw punkt \\(A=(1,2)\\)\nJeśli \\(f(1) = 2\\), to:\n\\[(m^2-3)\\cdot 1 - m^2 + m + 1 = 2 \\Rightarrow m^2 - 3 - m^2 + m + 1 = 2 \\Rightarrow m - 2 = 2 \\Rightarrow m = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Uprość wzór na \\(f(1)\\)\n\\(f(1) = (m^2-3) - m^2 + m + 1 = m - 2\\). Warunek \\(m-2=2\\) daje \\(m=4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=-4\\)**: \\(f(1) = -4 - 2 = -6 \\neq 2\\).\n- **B. \\(m=-2\\)**: \\(f(1) = -2 - 2 = -4 \\neq 2\\).\n- **C. \\(m=0\\)**: \\(f(1) = 0 - 2 = -2 \\neq 2\\).\n\n**Trik:** gdy podstawisz \\(x=1\\), składniki \\(m^2\\) się kasują - zostaje proste równanie liniowe z \\(m\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Punkt 𝐴= (1, 2) należy do wykresu funkcji 𝑓, określonej wzorem<br>𝑓(𝑥) = (𝑚2 -3)𝑥3 -𝑚2 + 𝑚+ 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Wtedy<br>A. 𝑚= -4<br>B. 𝑚= -2<br>C. 𝑚= 0<br>D. 𝑚= 4<br>Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji f, określonej wzorem f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy A. m=-4 B. m=-2 C. m=0 &amp; D. m=4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 4\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie punktu do wzoru funkcji</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Jeśli punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu funkcji \\(f\\), to \\(f(1) = 2\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 1\\) do wzoru:</p>\n<p>\\[f(1) = (m^2 - 3) \\cdot 1^3 - m^2 + m + 1\\]</p>\n<p>\\[f(1) = m^2 - 3 - m^2 + m + 1\\]</p>\n<p>Wyrazy \\(m^2\\) i \\(-m^2\\) znoszą się:</p>\n<p>\\[f(1) = m - 2\\]</p>\n<p>Teraz używamy warunku \\(f(1) = 2\\):</p>\n<p>\\[m - 2 = 2\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = 4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie odpowiedzi</h4>\n<p>Podstawiamy \\(x = 1\\) do wzoru i sprawdzamy każdą odpowiedź:</p>\n<p>\\[f(1) = (m^2 - 3) - m^2 + m + 1 = m - 2\\]</p>\n<p>Dla \\(m = 4\\): \\(f(1) = 4 - 2 = 2\\) ✓ - zgadza się z \\(y = 2\\).</p>\n<p>Pozostałe:</p>\n<ul><li>\\(m = -4\\): \\(f(1) = -4 - 2 = -6 \\neq 2\\)</li><li>\\(m = -2\\): \\(f(1) = -2 - 2 = -4 \\neq 2\\)</li><li>\\(m = 0\\): \\(f(1) = 0 - 2 = -2 \\neq 2\\)</li></ul>\n<p>Tylko \\(m = 4\\) spełnia warunek.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przynależności punktu do wykresu funkcji (\\(f(x_0) = y_0\\)) i podstawowe działania algebraiczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(m = -4\\)) | Uczeń może mylnie liczyć \\(m^2 - 3\\) przy \\(m=-4\\): dostaje \\(13\\), ale zapomina uprościć całe wyrażenie i gubi człon \\(-m^2\\) |<br>| B (\\(m = -2\\)) | Podobny błąd - nie upraszcza \\(m^2 - m^2 = 0\\), próbuje rozwiązać pełne równanie kwadratowe zamiast liniowego |<br>| C (\\(m = 0\\)) | Uczeń może myśleć, że &quot;najprostsze&quot; \\(m = 0\\) jest odpowiedzią, bez faktycznego podstawienia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy podstawianiu \\(x = 1\\) wyrazy \\(+m^2\\) i \\(-m^2\\) <strong>znoszą się</strong> - to kluczowe uproszczenie. Kto go przeoczy i próbuje rozwiązać równanie kwadratowe, dostanie fałszywe wyniki lub dwa błędne rozwiązania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek &quot;punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu&quot; to dokładnie \\(f(1) = 2\\). To standardowe sformułowanie w zadaniach maturalnych - zapamiętaj je jako odruch.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie musisz nic wiedzieć o funkcji sześciennej (\\(x^3\\)) - zadanie jest czysto algebraiczne po podstawieniu \\(x = 1\\), bo \\(1^3 = 1\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstaw punkt \\(A=(1,2)\\)</h5>\n<p>Jeśli \\(f(1) = 2\\), to:<br>\\[(m^2-3)\\cdot 1 - m^2 + m + 1 = 2 \\Rightarrow m^2 - 3 - m^2 + m + 1 = 2 \\Rightarrow m - 2 = 2 \\Rightarrow m = 4.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Uprość wzór na \\(f(1)\\)</h5>\n<p>\\(f(1) = (m^2-3) - m^2 + m + 1 = m - 2\\). Warunek \\(m-2=2\\) daje \\(m=4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m=-4\\)</strong>: \\(f(1) = -4 - 2 = -6 \\neq 2\\).</li><li><strong>B. \\(m=-2\\)</strong>: \\(f(1) = -2 - 2 = -4 \\neq 2\\).</li><li><strong>C. \\(m=0\\)</strong>: \\(f(1) = 0 - 2 = -2 \\neq 2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> gdy podstawisz \\(x=1\\), składniki \\(m^2\\) się kasują - zostaje proste równanie liniowe z \\(m\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania wzoru funkcji, który brzmi:</li></ol>\n<p>$$f(x) = (m^2 - 3)x^3 - m^2 + m + 1$$</p>\n<ol><li>Wiemy, że punkt $A = (1, 2)$ należy do wykresu funkcji $f$. Oznacza to, że $f(1) = 2$. Zapisujemy to równanie:</li></ol>\n<p>$$f(1) = 2$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy $x = 1$ do wzoru funkcji:</li></ol>\n<p>$$f(1) = (m^2 - 3) \\cdot 1^3 - m^2 + m + 1$$</p>\n<p>co upraszcza się do:</p>\n<p>$$f(1) = m^2 - 3 - m^2 + m + 1$$</p>\n<ol><li>Upraszczamy wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$f(1) = -3 + m + 1$$</p>\n<ol><li>Sprowadza się to do:</li></ol>\n<p>$$f(1) = m - 2$$</p>\n<ol><li>Teraz z równania $f(1) = 2$ otrzymujemy:</li></ol>\n<p>$$m - 2 = 2$$</p>\n<ol><li>Dodajemy 2 do obu stron równania:</li></ol>\n<p>$$m = 2 + 2$$</p>\n<ol><li>Po uproszczeniu otrzymujemy:</li></ol>\n<p>$$m = 4$$</p>\n<ol><li>Sprawdzamy, która z podanych opcji odpowiada temu rozwiązaniu. Mamy opcję D, gdzie $m = 4$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $m = 4$</p>"}]}