{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = (2𝑚-5)𝑥+ 22 jest rosnąca dla\nA. 𝑚> 2\n5\nB. 𝑚> 2,5\nC. 𝑚> 0\nD. 𝑚> 2\nFunkcja liniowa f określona wzorem f(x)=(2m-5)x+22 jest rosnąca dla A. m>2/5 B. m>2,5 C. m>0 D. m>2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(m > 2{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - warunek dodatniego współczynnika kierunkowego\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest **rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a > 0\\)**.\n\nW naszym zadaniu współczynnik kierunkowy to \\(a = 2m - 5\\).\n\nStawiamy warunek:\n\\[2m - 5 > 0\\]\n\\[2m > 5\\]\n\\[m > \\frac{5}{2}\\]\n\\[m > 2{,}5\\]\n\n**Odpowiedź: \\(m > 2{,}5\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie wartości\n\nSprawdźmy kilka konkretnych wartości \\(m\\), żeby potwierdzić wynik.\n\n**Dla \\(m = 3\\)** (powinno być rosnąca, bo \\(3 > 2{,}5\\)):\n\\[f(x) = (2 \\cdot 3 - 5)x + 22 = 1 \\cdot x + 22 = x + 22\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(= 1 > 0\\) - funkcja **rosnąca**. ✓\n\n**Dla \\(m = 2\\)** (powinno być malejąca, bo \\(2 < 2{,}5\\)):\n\\[f(x) = (2 \\cdot 2 - 5)x + 22 = -1 \\cdot x + 22 = -x + 22\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(= -1 < 0\\) - funkcja **malejąca**. ✓\n\n**Dla \\(m = 2{,}5\\)** (granica):\n\\[f(x) = (2 \\cdot 2{,}5 - 5)x + 22 = 0 \\cdot x + 22 = 22\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(= 0\\) - funkcja **stała** (ani rosnąca, ani malejąca). ✓\n\nPotwierdzamy: rosnąca dokładnie gdy \\(m > 2{,}5\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek monotoniczności (podstawa z lekcji).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Napisano \\(m > \\frac{2}{5}\\) - pomylono kolejność działań: zamiast \\(2m > 5 \\Rightarrow m > \\frac{5}{2}\\), odwrócono ułamek i wychodzi \\(\\frac{2}{5}\\) |\n| C | \\(m > 0\\) - uczeń sprawdził tylko, czy \\(m\\) jest dodatnie, zamiast sprawdzić, czy cały współczynnik \\(2m-5\\) jest dodatni |\n| D | \\(m > 2\\) - uczeń rozwiązał \\(2m > 4\\) (błędnie przyjął \\(2m - 4 > 0\\) zamiast \\(2m - 5 > 0\\)), czyli pomylił wyraz wolny z \\(-4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek rosnącości dotyczy **współczynnika kierunkowego** \\(a\\), a nie samego parametru \\(m\\). Nie wystarczy \\(m > 0\\) - trzeba rozwiązać nierówność \\(2m - 5 > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu liczby przez nierówność pamiętaj o kolejności: \\(2m > 5 \\Rightarrow m > \\frac{5}{2} = 2{,}5\\). Łatwo tu pomylić \\(\\frac{5}{2}\\) z \\(\\frac{2}{5}\\) - to dwa razy mniejsza liczba!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy współczynnik kierunkowy \\(= 0\\) (tutaj dla \\(m = 2{,}5\\)), funkcja jest **stała** - nie rosnąca ani malejąca. Dlatego mamy nierówność **ostrą**: \\(m > 2{,}5\\), a nie \\(\\geq\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek monotoniczności (karta wzorów)\nFunkcja liniowa \\(y=ax+b\\) jest rosnąca \\(\\Leftrightarrow a>0\\).\nTu \\(a = 2m-5\\), więc \\(2m-5 > 0 \\Rightarrow m > \\dfrac{5}{2} = 2{,}5\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wartości granicznej\nDla \\(m = 2{,}5\\) mamy \\(a=0\\) (funkcja stała, nierosnąca). Musi być ściśle większe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m > \\tfrac{2}{5}\\)** - odwrócono licznik i mianownik.\n- **C. \\(m > 0\\)** - pomyłka: warunek \\(2m>0\\), zignorowano \\(-5\\).\n- **D. \\(m > 2\\)** - błędne dzielenie przed przeniesieniem.\n\n**Trik:** znak współczynnika przy \\(x\\) decyduje o monotoniczności - \\(a>0\\) rosnąca, \\(a<0\\) malejąca.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
Funkcja liniowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = (2𝑚-5)𝑥+ 22 jest rosnąca dla
A. 𝑚> 2
5
B. 𝑚> 2,5
C. 𝑚> 0
D. 𝑚> 2
Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=(2m-5)x+22 jest rosnąca dla A. m>2/5 B. m>2,5 C. m>0 D. m>2

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\(m > 2{,}5\\)

\n

Sposób 1 - warunek dodatniego współczynnika kierunkowego

\n

Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a > 0\\).

\n

W naszym zadaniu współczynnik kierunkowy to \\(a = 2m - 5\\).

\n

Stawiamy warunek:
\\[2m - 5 > 0\\]
\\[2m > 5\\]
\\[m > \\frac{5}{2}\\]
\\[m > 2{,}5\\]

\n

Odpowiedź: \\(m > 2{,}5\\)

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie wartości

\n

Sprawdźmy kilka konkretnych wartości \\(m\\), żeby potwierdzić wynik.

\n

Dla \\(m = 3\\) (powinno być rosnąca, bo \\(3 > 2{,}5\\)):
\\[f(x) = (2 \\cdot 3 - 5)x + 22 = 1 \\cdot x + 22 = x + 22\\]
Współczynnik kierunkowy \\(= 1 > 0\\) - funkcja rosnąca. ✓

\n

Dla \\(m = 2\\) (powinno być malejąca, bo \\(2 < 2{,}5\\)):
\\[f(x) = (2 \\cdot 2 - 5)x + 22 = -1 \\cdot x + 22 = -x + 22\\]
Współczynnik kierunkowy \\(= -1 < 0\\) - funkcja malejąca. ✓

\n

Dla \\(m = 2{,}5\\) (granica):
\\[f(x) = (2 \\cdot 2{,}5 - 5)x + 22 = 0 \\cdot x + 22 = 22\\]
Współczynnik kierunkowy \\(= 0\\) - funkcja stała (ani rosnąca, ani malejąca). ✓

\n

Potwierdzamy: rosnąca dokładnie gdy \\(m > 2{,}5\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek monotoniczności (podstawa z lekcji).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Napisano \\(m > \\frac{2}{5}\\) - pomylono kolejność działań: zamiast \\(2m > 5 \\Rightarrow m > \\frac{5}{2}\\), odwrócono ułamek i wychodzi \\(\\frac{2}{5}\\) |
| C | \\(m > 0\\) - uczeń sprawdził tylko, czy \\(m\\) jest dodatnie, zamiast sprawdzić, czy cały współczynnik \\(2m-5\\) jest dodatni |
| D | \\(m > 2\\) - uczeń rozwiązał \\(2m > 4\\) (błędnie przyjął \\(2m - 4 > 0\\) zamiast \\(2m - 5 > 0\\)), czyli pomylił wyraz wolny z \\(-4\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek rosnącości dotyczy współczynnika kierunkowego \\(a\\), a nie samego parametru \\(m\\). Nie wystarczy \\(m > 0\\) - trzeba rozwiązać nierówność \\(2m - 5 > 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu liczby przez nierówność pamiętaj o kolejności: \\(2m > 5 \\Rightarrow m > \\frac{5}{2} = 2{,}5\\). Łatwo tu pomylić \\(\\frac{5}{2}\\) z \\(\\frac{2}{5}\\) - to dwa razy mniejsza liczba!
\n
⚠️ Uwaga: Gdy współczynnik kierunkowy \\(= 0\\) (tutaj dla \\(m = 2{,}5\\)), funkcja jest stała - nie rosnąca ani malejąca. Dlatego mamy nierówność ostrą: \\(m > 2{,}5\\), a nie \\(\\geq\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Warunek monotoniczności (karta wzorów)
\n

Funkcja liniowa \\(y=ax+b\\) jest rosnąca \\(\\Leftrightarrow a>0\\).
Tu \\(a = 2m-5\\), więc \\(2m-5 > 0 \\Rightarrow m > \\dfrac{5}{2} = 2{,}5\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie wartości granicznej
\n

Dla \\(m = 2{,}5\\) mamy \\(a=0\\) (funkcja stała, nierosnąca). Musi być ściśle większe.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: znak współczynnika przy \\(x\\) decyduje o monotoniczności - \\(a>0\\) rosnąca, \\(a<0\\) malejąca.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ponieważ aby funkcja była rosnąca, musimy mieć $2m - 5 > 0$, co prowadzi do $m > 2{,}5$. Ta nierówność jest spełniona, gdy $m > 2{,}5$.

"}]}