{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"21","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-2)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości 6, 7 oraz 8.\nOblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.\nZapisz obliczenia.\n21.\n0-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia.","answer":"(1)/(4)","answer_text":"Zadanie 21. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem\ntwierdzenia cosinusów).\nVIII.2) […] stosuje twierdzenie: w trójkącie\nnaprzeciw większego kąta wewnętrznego\nleży dłuższy bok.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów i obliczenie cosinusa największego kąta\ntrójkąta: cos 𝛼= 1\n4 .\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania\n82 = 62 + 72 -2 ⋅6 ⋅7 ⋅cos 𝛼.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy miarę największego kąta w rozpatrywanym trójkącie przez 𝛼.\nW trójkącie największy kąt wewnętrzny znajduje się naprzeciw najdłuższego boku.\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów i obliczamy cosinus największego kąta:\n82 = 62 + 72 -2 ⋅6 ⋅7 ⋅cos 𝛼\n64 = 36 + 49 -84 cos 𝛼\ncos 𝛼= 1\n4","solution":"Największy kąt leży naprzeciw boku długości 8 . Z twierdzenia cosinusów:\n\n8^2=6^2+7^2-2·6·7cosα.\n\nZatem\n\ncosα=(6^2+7^2-8^2)/(2·6·7)\n=(36+49-64)/(84)=(21)/(84)=(1)/(4).","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 21. (0-2)
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości 6, 7 oraz 8.
Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.
Zapisz obliczenia.
21.
0-2

\n

MMAP-P0_100
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego
boków przy odpowiednich danych
(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem
twierdzenia cosinusów).
VIII.2) […] stosuje twierdzenie: w trójkącie
naprzeciw większego kąta wewnętrznego
leży dłuższy bok.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów i obliczenie cosinusa największego kąta
trójkąta: cos 𝛼= 1
4 .
1 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania
82 = 62 + 72 -2 ⋅6 ⋅7 ⋅cos 𝛼.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy miarę największego kąta w rozpatrywanym trójkącie przez 𝛼.
W trójkącie największy kąt wewnętrzny znajduje się naprzeciw najdłuższego boku.
Korzystamy z twierdzenia cosinusów i obliczamy cosinus największego kąta:
82 = 62 + 72 -2 ⋅6 ⋅7 ⋅cos 𝛼
64 = 36 + 49 -84 cos 𝛼
cos 𝛼= 1
4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Największy kąt leży naprzeciw boku długości 8 . Z twierdzenia cosinusów:

\n

8^2=6^2+7^2-2·6·7cosα.

\n

Zatem

\n

cosα=(6^2+7^2-8^2)/(2·6·7)
=(36+49-64)/(84)=(21)/(84)=(1)/(4).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\cos \\alpha = \\dfrac{1}{4}$

"}]}