{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"23","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-4)\nRodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy\nrzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:\nprzychód 𝑃 (w złotych) z tygodniowej sprzedaży 𝑥 wiatraków można opisać funkcją\n𝑃(𝑥) = 251𝑥\nkoszt 𝐾 (w złotych) produkcji 𝑥 wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić\nfunkcją 𝐾(𝑥) = 𝑥2 + 21𝑥+ 170.\nTygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków.\nOblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego\ntygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.\n23.\n0-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że: •przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją P(x)=251x •koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją K(x)=x^2+21x+170. Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 23. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII. rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia liczby wiatraków maksymalizującej zysk\noraz poprawny wynik: 𝑥= 115 oraz 𝑍(115) = 13 055 𝑧ł.\n3 pkt - zapisanie dziedziny funkcji 𝑍: 𝑥∈[0 ,150] ∩ℤ oraz obliczenie pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka paraboli i zapisanie, że 115 należy do dziedziny funkcji\n𝑍.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru funkcji 𝑍 zysku w postaci jawnej:\n𝑍(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170.\n1 pkt - zapisanie funkcji 𝑍 zysku w postaci 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży wiatraków oraz kosztu ich\nwytworzenia: 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170.\nTygodniowo w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 150 wiatraków, więc\ndziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych z przedziału [0 , 150].\nPonieważ funkcja 𝑍(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170 jest funkcją kwadratową, największą\nwartość przyjmuje dla argumentu będącego pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.\nKorzystając ze wzoru 𝑝= -\n𝑏\n2𝑎, obliczamy\n𝑥= -\n230\n2 ⋅(-1) = -230\n-2\n= 115\nLiczba 𝑥= 115 należy do dziedziny funkcji 𝑍.\nNajwiększy tygodniowy zysk jest osiągany przy produkcji 115 wiatraków tygodniowo.\nObliczymy go, przyjmując 𝑥= 115:\n𝑍(115) = -1152 + 230 ∙115 -170 = 13 055 zł\nPrzy produkcji 115 wiatraków tygodniowo zysk firmy będzie równy 13 055 zł.","solution":"Zysk jest różnicą przychodu i kosztu:\n\nZ(x)=P(x)-K(x)=251x-(x^2+21x+170).\n\nPo uporządkowaniu:\n\nZ(x)=-x^2+230x-170.\n\nJest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi\n\nx_w=(-230)/(2·(-1))=115.\n\nLiczba 115 mieści się w przedziale 0≤ x≤150 . Obliczamy największy zysk:\n\nZ(115)=-(115)^2+230·115-170=13 055.\n\nZatem należy sprzedać 115 wiatraków, a największy tygodniowy zysk wynosi 13 055 zł.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-4)<br>Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy<br>rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:<br>przychód 𝑃 (w złotych) z tygodniowej sprzedaży 𝑥 wiatraków można opisać funkcją<br>𝑃(𝑥) = 251𝑥<br>koszt 𝐾 (w złotych) produkcji 𝑥 wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić<br>funkcją 𝐾(𝑥) = 𝑥2 + 21𝑥+ 170.<br>Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków.<br>Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego<br>tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.<br>Zapisz obliczenia.<br>Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.<br>23.<br>0-4</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że: •przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją P(x)=251x •koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją K(x)=x^2+21x+170. Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XIII. rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia liczby wiatraków maksymalizującej zysk<br>oraz poprawny wynik: 𝑥= 115 oraz 𝑍(115) = 13 055 𝑧ł.<br>3 pkt - zapisanie dziedziny funkcji 𝑍: 𝑥∈[0 ,150] ∩ℤ oraz obliczenie pierwszej<br>współrzędnej wierzchołka paraboli i zapisanie, że 115 należy do dziedziny funkcji<br>𝑍.<br>2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru funkcji 𝑍 zysku w postaci jawnej:<br>𝑍(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170.<br>1 pkt - zapisanie funkcji 𝑍 zysku w postaci 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży wiatraków oraz kosztu ich<br>wytworzenia: 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170.<br>Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 150 wiatraków, więc<br>dziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych z przedziału [0 , 150].<br>Ponieważ funkcja 𝑍(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170 jest funkcją kwadratową, największą<br>wartość przyjmuje dla argumentu będącego pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.<br>Korzystając ze wzoru 𝑝= -<br>𝑏<br>2𝑎, obliczamy<br>𝑥= -<br>230<br>2 ⋅(-1) = -230<br>-2<br>= 115<br>Liczba 𝑥= 115 należy do dziedziny funkcji 𝑍.<br>Największy tygodniowy zysk jest osiągany przy produkcji 115 wiatraków tygodniowo.<br>Obliczymy go, przyjmując 𝑥= 115:<br>𝑍(115) = -1152 + 230 ∙115 -170 = 13 055 zł<br>Przy produkcji 115 wiatraków tygodniowo zysk firmy będzie równy 13 055 zł.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Zysk jest różnicą przychodu i kosztu:</p>\n<p>Z(x)=P(x)-K(x)=251x-(x^2+21x+170).</p>\n<p>Po uporządkowaniu:</p>\n<p>Z(x)=-x^2+230x-170.</p>\n<p>Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi</p>\n<p>x_w=(-230)/(2·(-1))=115.</p>\n<p>Liczba 115 mieści się w przedziale 0≤ x≤150 . Obliczamy największy zysk:</p>\n<p>Z(115)=-(115)^2+230·115-170=13 055.</p>\n<p>Zatem należy sprzedać 115 wiatraków, a największy tygodniowy zysk wynosi 13 055 zł.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x = 115$, zysk $13\\,055 \\text{ zł}$</p>"}]}