{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"25","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-3)\nKażda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 10√3, a każda jego krawędź\nboczna ma długość 15.\nOblicz wysokość tego ostrosłupa.\nZapisz obliczenia.\n25.\n0-3\n\nMMAP-P0_100\nKażda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 10√3, a każda jego krawędź boczna ma długość 15. Oblicz wysokość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.","answer":"5√(5)","answer_text":"Zadanie 25. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii podczas\nrozwiązywania zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem\ntwierdzenia cosinusów).\nVIII.2) […] stosuje twierdzenie: w trójkącie\nnaprzeciw większego kąta wewnętrznego\nleży dłuższy bok.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, poprawne\nzastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości 𝐻 bryły i poprawny\nwynik: 𝐻= 5√5.\n2 pkt - obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz poprawne\nzastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości 𝐻 bryły.\n1 pkt - obliczenie promienia 𝑅 okręgu opisanego na trójkącie równobocznym: 𝑅= 10.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPodstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku 10√3.\nPonieważ krawędzie boczne ostrosłupa mają taką samą długość, spodek wysokości\nostrosłupa jest punktem jednakowo odległym od wierzchołków podstawy bryły, czyli jest\nśrodkiem okręgu opisanego na podstawie.\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na\npodstawie: 𝑅=\n10√3⋅√3\n3\n= 10.\nOznaczmy przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑆 wierzchołki ostrosłupa,\nprzez 𝑆′ - spodek wysokości 𝐻 opuszczonej z\nwierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐴𝐵𝐶 (patrz rysunek).\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝑆′𝑆 twierdzenie Pitagorasa\ni otrzymujemy kolejno\n|𝐴𝑆′|2 + |𝑆′𝑆|2 = |𝑆𝐴|2\n𝑅2 + 𝐻2 = |𝑆𝐴|2\n102 + 𝐻2 = 152\n𝐻2 = 225 -100\n𝐻= 5√5\nWysokość ostrosłupa jest równa 5√5.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n𝑆′\n𝐻\n𝑅","solution":"Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku\n\na=10√(3).\n\nSpodek wysokości ostrosłupa leży w środku trójkąta równobocznego. Odległość tego punktu od wierzchołka podstawy, czyli odcinek biegnący od spodka wysokości do krawędzi bocznej, ma długość\n\n(a√(3))/(3)=(10√(3)·√(3))/(3)=10.\n\nKrawędź boczna ma długość 15 . Z twierdzenia Pitagorasa:\n\nh^2+10^2=15^2.\n\nZatem\n\nh^2=225-100=125,\n\nh=5√(5).","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-3)<br>Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 10√3, a każda jego krawędź<br>boczna ma długość 15.<br>Oblicz wysokość tego ostrosłupa.<br>Zapisz obliczenia.<br>25.<br>0-3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 10√3, a każda jego krawędź boczna ma długość 15. Oblicz wysokość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii podczas</li></ol>\n<p>rozwiązywania zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego<br>boków przy odpowiednich danych<br>(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem<br>twierdzenia cosinusów).<br>VIII.2) […] stosuje twierdzenie: w trójkącie<br>naprzeciw większego kąta wewnętrznego<br>leży dłuższy bok.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, poprawne<br>zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości 𝐻 bryły i poprawny<br>wynik: 𝐻= 5√5.<br>2 pkt - obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz poprawne<br>zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości 𝐻 bryły.<br>1 pkt - obliczenie promienia 𝑅 okręgu opisanego na trójkącie równobocznym: 𝑅= 10.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku 10√3.<br>Ponieważ krawędzie boczne ostrosłupa mają taką samą długość, spodek wysokości<br>ostrosłupa jest punktem jednakowo odległym od wierzchołków podstawy bryły, czyli jest<br>środkiem okręgu opisanego na podstawie.<br>Obliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na<br>podstawie: 𝑅=<br>10√3⋅√3<br>3<br>= 10.<br>Oznaczmy przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑆 wierzchołki ostrosłupa,<br>przez 𝑆′ - spodek wysokości 𝐻 opuszczonej z<br>wierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐴𝐵𝐶 (patrz rysunek).<br>Stosujemy do trójkąta 𝐴𝑆′𝑆 twierdzenie Pitagorasa<br>i otrzymujemy kolejno<br>|𝐴𝑆′|2 + |𝑆′𝑆|2 = |𝑆𝐴|2<br>𝑅2 + 𝐻2 = |𝑆𝐴|2<br>102 + 𝐻2 = 152<br>𝐻2 = 225 -100<br>𝐻= 5√5<br>Wysokość ostrosłupa jest równa 5√5.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝑆<br>𝑆′<br>𝐻<br>𝑅</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku</p>\n<p>a=10√(3).</p>\n<p>Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku trójkąta równobocznego. Odległość tego punktu od wierzchołka podstawy, czyli odcinek biegnący od spodka wysokości do krawędzi bocznej, ma długość</p>\n<p>(a√(3))/(3)=(10√(3)·√(3))/(3)=10.</p>\n<p>Krawędź boczna ma długość 15 . Z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>h^2+10^2=15^2.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>h^2=225-100=125,</p>\n<p>h=5√(5).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$H = 5\\sqrt{5}$</p>"}]}