{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟏𝟎𝒏𝟐+ 𝟑𝟎𝒏+ 𝟖 przy dzieleniu\nprzez 𝟓 daje resztę 𝟑.\n26.\n0-2\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10n^2+30n+8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3 oraz\nzapisanie, że 2𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 10𝑛2 + 30𝑛+ 8 do postaci\n5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3.\n0 pkt -rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n10𝑛2 + 30𝑛+ 8 = 10𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 3 = 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3.\nPonieważ wartość wyrażenia 2𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą, to 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1)\njest wielokrotnością liczby 5, zatem 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3 przy dzieleniu przez 5 daje\nresztę 3. To należało wykazać.","solution":"Przekształcamy wyrażenie:\n\n10n^2+30n+8=5(2n^2+6n+1)+3.\n\nPonieważ n jest liczbą naturalną, wyrażenie\n\n2n^2+6n+1\n\njest liczbą całkowitą. Zatem 5(2n^2+6n+1) jest wielokrotnością liczby 5 . Całe wyrażenie ma więc postać\n\n5k+3,\n\ngdzie k jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że przy dzieleniu przez 5 zawsze daje resztę 3 .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟏𝟎𝒏𝟐+ 𝟑𝟎𝒏+ 𝟖 przy dzieleniu<br>przez 𝟓 daje resztę 𝟑.<br>26.<br>0-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10n^2+30n+8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych i reszt<br>z dzielenia nie trudniejsze niż dowód<br>podzielności przez 24 iloczynu czterech<br>kolejnych liczb naturalnych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3 oraz<br>zapisanie, że 2𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 10𝑛2 + 30𝑛+ 8 do postaci<br>5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3.<br>0 pkt -rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie<br>10𝑛2 + 30𝑛+ 8 = 10𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 3 = 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3.<br>Ponieważ wartość wyrażenia 2𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą, to 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1)<br>jest wielokrotnością liczby 5, zatem 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3 przy dzieleniu przez 5 daje<br>resztę 3. To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przekształcamy wyrażenie:</p>\n<p>10n^2+30n+8=5(2n^2+6n+1)+3.</p>\n<p>Ponieważ n jest liczbą naturalną, wyrażenie</p>\n<p>2n^2+6n+1</p>\n<p>jest liczbą całkowitą. Zatem 5(2n^2+6n+1) jest wielokrotnością liczby 5 . Całe wyrażenie ma więc postać</p>\n<p>5k+3,</p>\n<p>gdzie k jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że przy dzieleniu przez 5 zawsze daje resztę 3 .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Dowód</p>"}]}