{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟑𝒙𝟑-𝟔𝒙𝟐-𝟐𝟕𝒙+ 𝟓𝟒= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n6.\n0-3\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie: 3x^3-6x^2-27x+54 = 0. Zapisz obliczenia.","answer":"x=-3, x=2, x=3","answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej lub\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej metodą wyłączania\nwspólnego czynnika przed nawias lub\nmetodą grupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania równania i podanie wszystkich\nrozwiązań równania: 𝑥= -3 lub 𝑥= 2 lub 𝑥= 3.\n2 pkt - rozwiązanie jednego z równań: 𝑥2 -9 = 0 albo 𝑥-2 = 0.\n1 pkt - przekształcenie lewej strony równania 3𝑥3 -6𝑥2 -27𝑥+ 54 = 0 do postaci\niloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:\n3𝑥3 -6𝑥2 -27𝑥+ 54 = 0\n3𝑥2(𝑥-2) -27(𝑥-2) = 0\n(𝑥-2)(3𝑥2 -27) = 0\n3(𝑥-2)(𝑥2 -9) = 0\nStąd otrzymujemy kolejno\n𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -9 = 0\n𝑥-2 = 0 lub (𝑥-3)(𝑥+ 3) = 0\n𝑥-2 = 0 lub 𝑥-3 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0\n𝑥= 2 lub 𝑥= 3 lub 𝑥= -3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-3), 2 oraz 3.","solution":"Wyłączamy wspólny czynnik i grupujemy wyrazy:\n\n3x^3-6x^2-27x+54=3(x^3-2x^2-9x+18)\n\n=3[x^2(x-2)-9(x-2)]=3(x-2)(x^2-9).\n\nKorzystamy z różnicy kwadratów:\n\n3(x-2)(x-3)(x+3)=0.\n\nStąd\n\nx=-3, x=2, x=3.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wielomiany","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Rozwiąż równanie<br>𝟑𝒙𝟑-𝟔𝒙𝟐-𝟐𝟕𝒙+ 𝟓𝟒= 𝟎<br>Zapisz obliczenia.<br>6.<br>0-3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż równanie: 3x^3-6x^2-27x+54 = 0. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.5) rozwiązuje równania wielomianowe<br>postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów<br>doprowadzonych do postaci iloczynowej lub<br>takich, które dają się doprowadzić do<br>postaci iloczynowej metodą wyłączania<br>wspólnego czynnika przed nawias lub<br>metodą grupowania.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania równania i podanie wszystkich<br>rozwiązań równania: 𝑥= -3 lub 𝑥= 2 lub 𝑥= 3.<br>2 pkt - rozwiązanie jednego z równań: 𝑥2 -9 = 0 albo 𝑥-2 = 0.<br>1 pkt - przekształcenie lewej strony równania 3𝑥3 -6𝑥2 -27𝑥+ 54 = 0 do postaci<br>iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:<br>3𝑥3 -6𝑥2 -27𝑥+ 54 = 0<br>3𝑥2(𝑥-2) -27(𝑥-2) = 0<br>(𝑥-2)(3𝑥2 -27) = 0<br>3(𝑥-2)(𝑥2 -9) = 0<br>Stąd otrzymujemy kolejno<br>𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -9 = 0<br>𝑥-2 = 0 lub (𝑥-3)(𝑥+ 3) = 0<br>𝑥-2 = 0 lub 𝑥-3 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0<br>𝑥= 2 lub 𝑥= 3 lub 𝑥= -3<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-3), 2 oraz 3.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Wyłączamy wspólny czynnik i grupujemy wyrazy:</p>\n<p>3x^3-6x^2-27x+54=3(x^3-2x^2-9x+18)</p>\n<p>=3[x^2(x-2)-9(x-2)]=3(x-2)(x^2-9).</p>\n<p>Korzystamy z różnicy kwadratów:</p>\n<p>3(x-2)(x-3)(x+3)=0.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>x=-3, x=2, x=3.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x = 2$ lub $x = 3$ lub $x = -3$</p>"}]}