{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |𝑥+ 5| < 15 jest\nA. 9\nB. 10\nC. 20\nD. 21\nWszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |x+5|<15 jest A. 9 B. 10 C. 20 D. 21","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje […] nierówności typu:\n[…] |𝑥-2| < 3, |𝑥+ 3| ≥4.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3^{30}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze\n\nRozkładamy podstawy na czynniki pierwsze: \\(6 = 2 \\cdot 3\\) oraz \\(4 = 2^2\\).\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[6^{30} : 4^{15} = (2 \\cdot 3)^{30} : (2^2)^{15}\\]\n\nStosujemy wzór \\((a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n\\) oraz \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\):\n\n\\[= 2^{30} \\cdot 3^{30} : 2^{30}\\]\n\nDzielimy - czynnik \\(2^{30}\\) skraca się:\n\n\\[= \\frac{2^{30} \\cdot 3^{30}}{2^{30}} = 3^{30}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{30}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie przez ułamek\n\nZapisujemy dzielenie jako ułamek i upraszczamy inaczej:\n\n\\[\\frac{6^{30}}{4^{15}} = \\frac{6^{30}}{4^{15}}\\]\n\nZauważamy, że \\(4^{15} = (4^{\\frac{1}{2}})^{30} = 2^{30}\\) (bo \\(\\sqrt{4} = 2\\)):\n\n\\[= \\frac{6^{30}}{2^{30}} = \\left(\\frac{6}{2}\\right)^{30} = 3^{30}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{30}\\)** - ten sam co w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyte przy rozkładzie \\((2 \\cdot 3)^{30} = 2^{30} \\cdot 3^{30}\\) oraz \\(\\left(\\frac{6}{2}\\right)^{30} = \\frac{6^{30}}{2^{30}}\\).\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyte przy upraszczaniu \\((2^2)^{15} = 2^{30}\\).\n\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyte przy skracaniu \\(\\frac{2^{30}}{2^{30}} = 2^0 = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń oblicza \\(\\frac{6}{4} = 1{,}5\\), ale bierze potęgę \\(15\\) zamiast właściwie połączyć wykładniki - zapomina, że \\(6^{30} : 4^{15} \\neq \\left(\\frac{6}{4}\\right)^{15}\\), bo wykładniki są różne |\n| B | Uczeń liczy \\(\\left(\\frac{6}{4}\\right)^{30-15} = (1{,}5)^{15}\\) i jeszcze błędnie upraszcza do \\((1{,}5)^2\\) - podwójny błąd |\n| D | Uczeń myśli, że \\(6^{30} : 4^{15} = (6:4)^{30:15} = (1{,}5)^2\\), a potem myli \\((1{,}5)^2\\) z \\(3^0 = 1\\) - całkowicie błędne działanie na potęgach |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie można dzielić potęg o różnych wykładnikach wzorem \\(\\frac{a^m}{b^n} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^{m-n}\\) - taki wzór nie istnieje! Można to zrobić tylko gdy wykładniki są równe: \\(\\frac{a^n}{b^n} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy trick w tym zadaniu - wyrównanie wykładników. Skoro \\(4^{15} = 2^{30}\\), a \\(6^{30} = 2^{30} \\cdot 3^{30}\\), wykładniki stają się równe i czynnik \\(2^{30}\\) się skraca. Szukaj takiego wyrównania przy podobnych zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\((1{,}5)^{15}\\)) jest \"logicznie kusząca\", bo \\(\\frac{6}{4} = 1{,}5\\) - ale działa to tylko gdy **oba wykładniki są takie same**, np. \\(\\frac{6^{15}}{4^{15}} = (1{,}5)^{15}\\). Tu mamy \\(6^{30}\\), nie \\(6^{15}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie potęg\n\\(6^{30} = (6^{2})^{15} = 36^{15}\\), więc \\(\\dfrac{6^{30}}{4^{15}} = \\dfrac{36^{15}}{4^{15}} = \\left(\\dfrac{36}{4}\\right)^{15} = 9^{15} = (3^{2})^{15} = 3^{30}.\\)\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(6 = 2\\cdot 3\\), więc \\(6^{30} = 2^{30}\\cdot 3^{30}\\). Ponieważ \\(4^{15} = 2^{30}\\), otrzymujemy \\(\\dfrac{2^{30}\\cdot 3^{30}}{2^{30}} = 3^{30}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((1{,}5)^{15}\\)** - to wynik \\(\\dfrac{6^{15}}{4^{15}}\\), nie \\(\\dfrac{6^{30}}{4^{15}}\\).\n- **B. \\((1{,}5)^{2}\\)** - błędne uproszczenie wykładników.\n- **D. \\(3^{0}=1\\)** - wynikałoby z odjęcia \\(30-30\\), ale mamy \\(30\\) i \\(15\\).\n\n**Trik:** \\(6^{30}=(6^{2})^{15}\\) pozwala skrócić do tego samego wykładnika co \\(4^{15}\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |𝑥+ 5| &lt; 15 jest<br>A. 9<br>B. 10<br>C. 20<br>D. 21<br>Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |x+5|&lt;15 jest A. 9 B. 10 C. 20 D. 21</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 20241<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>I.7) stosuje interpretację geometryczną<br>i algebraiczną wartości bezwzględnej,<br>rozwiązuje […] nierówności typu:<br>[…] |𝑥-2| &lt; 3, |𝑥+ 3| ≥4.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla<br>egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(3^{30}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze</h4>\n<p>Rozkładamy podstawy na czynniki pierwsze: \\(6 = 2 \\cdot 3\\) oraz \\(4 = 2^2\\).</p>\n<p>Podstawiamy do wyrażenia:</p>\n<p>\\[6^{30} : 4^{15} = (2 \\cdot 3)^{30} : (2^2)^{15}\\]</p>\n<p>Stosujemy wzór \\((a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n\\) oraz \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\):</p>\n<p>\\[= 2^{30} \\cdot 3^{30} : 2^{30}\\]</p>\n<p>Dzielimy - czynnik \\(2^{30}\\) skraca się:</p>\n<p>\\[= \\frac{2^{30} \\cdot 3^{30}}{2^{30}} = 3^{30}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(3^{30}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przekształcenie przez ułamek</h4>\n<p>Zapisujemy dzielenie jako ułamek i upraszczamy inaczej:</p>\n<p>\\[\\frac{6^{30}}{4^{15}} = \\frac{6^{30}}{4^{15}}\\]</p>\n<p>Zauważamy, że \\(4^{15} = (4^{\\frac{1}{2}})^{30} = 2^{30}\\) (bo \\(\\sqrt{4} = 2\\)):</p>\n<p>\\[= \\frac{6^{30}}{2^{30}} = \\left(\\frac{6}{2}\\right)^{30} = 3^{30}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(3^{30}\\)</strong> - ten sam co w Sposobie 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]<br>Użyte przy rozkładzie \\((2 \\cdot 3)^{30} = 2^{30} \\cdot 3^{30}\\) oraz \\(\\left(\\frac{6}{2}\\right)^{30} = \\frac{6^{30}}{2^{30}}\\).</p>\n<p>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]<br>Użyte przy upraszczaniu \\((2^2)^{15} = 2^{30}\\).</p>\n<p>\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]<br>Użyte przy skracaniu \\(\\frac{2^{30}}{2^{30}} = 2^0 = 1\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń oblicza \\(\\frac{6}{4} = 1{,}5\\), ale bierze potęgę \\(15\\) zamiast właściwie połączyć wykładniki - zapomina, że \\(6^{30} : 4^{15} \\neq \\left(\\frac{6}{4}\\right)^{15}\\), bo wykładniki są różne |<br>| B | Uczeń liczy \\(\\left(\\frac{6}{4}\\right)^{30-15} = (1{,}5)^{15}\\) i jeszcze błędnie upraszcza do \\((1{,}5)^2\\) - podwójny błąd |<br>| D | Uczeń myśli, że \\(6^{30} : 4^{15} = (6:4)^{30:15} = (1{,}5)^2\\), a potem myli \\((1{,}5)^2\\) z \\(3^0 = 1\\) - całkowicie błędne działanie na potęgach |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie można dzielić potęg o różnych wykładnikach wzorem \\(\\frac{a^m}{b^n} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^{m-n}\\) - taki wzór nie istnieje! Można to zrobić tylko gdy wykładniki są równe: \\(\\frac{a^n}{b^n} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczowy trick w tym zadaniu - wyrównanie wykładników. Skoro \\(4^{15} = 2^{30}\\), a \\(6^{30} = 2^{30} \\cdot 3^{30}\\), wykładniki stają się równe i czynnik \\(2^{30}\\) się skraca. Szukaj takiego wyrównania przy podobnych zadaniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź A (\\((1{,}5)^{15}\\)) jest &quot;logicznie kusząca&quot;, bo \\(\\frac{6}{4} = 1{,}5\\) - ale działa to tylko gdy <strong>oba wykładniki są takie same</strong>, np. \\(\\frac{6^{15}}{4^{15}} = (1{,}5)^{15}\\). Tu mamy \\(6^{30}\\), nie \\(6^{15}\\)!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przekształcenie potęg</h5>\n<p>\\(6^{30} = (6^{2})^{15} = 36^{15}\\), więc \\(\\dfrac{6^{30}}{4^{15}} = \\dfrac{36^{15}}{4^{15}} = \\left(\\dfrac{36}{4}\\right)^{15} = 9^{15} = (3^{2})^{15} = 3^{30}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozkład na czynniki</h5>\n<p>\\(6 = 2\\cdot 3\\), więc \\(6^{30} = 2^{30}\\cdot 3^{30}\\). Ponieważ \\(4^{15} = 2^{30}\\), otrzymujemy \\(\\dfrac{2^{30}\\cdot 3^{30}}{2^{30}} = 3^{30}.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((1{,}5)^{15}\\)</strong> - to wynik \\(\\dfrac{6^{15}}{4^{15}}\\), nie \\(\\dfrac{6^{30}}{4^{15}}\\).</li><li><strong>B. \\((1{,}5)^{2}\\)</strong> - błędne uproszczenie wykładników.</li><li><strong>D. \\(3^{0}=1\\)</strong> - wynikałoby z odjęcia \\(30-30\\), ale mamy \\(30\\) i \\(15\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(6^{30}=(6^{2})^{15}\\) pozwala skrócić do tego samego wykładnika co \\(4^{15}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Rozpoczynamy od zapisu nierówności: $$|x + 5| &lt; 15.$$</li><li>Z definicji wartości bezwzględnej, zapisujemy dwie nierówności: $$-15 &lt; x + 5 &lt; 15.$$</li><li>Rozdzielamy nierówność na dwie części:</li></ol>\n<p>a) $-15 &lt; x + 5$<br>b) $x + 5 &lt; 15$</p>\n<ol><li>Rozwiązujemy pierwszą nierówność $-15 &lt; x + 5$:</li></ol>\n<p>a) Odejmujemy 5 od obu stron: $$-15 - 5 &lt; x$$<br>b) Upraszczamy: $$-20 &lt; x,$$ co można zapisać jako $$x &gt; -20.$$</p>\n<ol><li>Rozwiązujemy drugą nierówność $x + 5 &lt; 15$:</li></ol>\n<p>a) Odejmujemy 5 od obu stron: $$x &lt; 15 - 5$$<br>b) Upraszczamy: $$x &lt; 10.$$</p>\n<ol><li>Ustaliliśmy, że: $$-20 &lt; x &lt; 10.$$</li><li>Szukamy teraz wszystkich liczb całkowitych dodatnich, które spełniają tę nierówność. Liczby całkowite dodatnie to $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.</li><li>Liczymy ilość liczb: Istnieje 9 liczb całkowitych dodatnich.</li><li>Sprawdzamy, czy inne liczby całkowite dodatnie są w zakresie: Dla $0$ nie rozważamy, zatem dodane liczby to tylko $1$ do $9$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 9.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozwiązujemy nierówność:</p>\n<p>|x+5|&lt;15⇔ -15&lt;x+5&lt;15⇔ -20&lt;x&lt;10.</p>\n<p>Dodatnie liczby całkowite w tym przedziale to 1,2,…,9 . Jest ich 9 .</p>"}]}