{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie (𝑥2-3𝑥)(𝑥+2)\n𝑥2-4\n= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie (x^2-3x)(x+2)/x^2-4 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{4}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\nMamy dwa punkty na prostej: \\(A = (-3, -1)\\) i \\(B = (4, 3)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a\\) to **iloraz przyrostu \\(y\\) do przyrostu \\(x\\)**:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nPodstawiamy współrzędne:\n\n\\[a = \\frac{3 - (-1)}{4 - (-3)} = \\frac{3 + 1}{4 + 3} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Zatem \\(a = \\dfrac{4}{7}\\).**\n\n## Sposób 2 - Układ równań (podstawienie obu punktów)\n\nSkoro prosta \\(y = ax + b\\) przechodzi przez \\(A = (-3, -1)\\) i \\(B = (4, 3)\\), oba punkty spełniają równanie prostej:\n\n\\[\\begin{cases} -1 = a \\cdot (-3) + b \\\\ 3 = a \\cdot 4 + b \\end{cases}\\]\n\n\\[\\begin{cases} -1 = -3a + b \\\\ 3 = 4a + b \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(b\\)):\n\n\\[3 - (-1) = 4a - (-3a)\\]\n\n\\[4 = 7a\\]\n\n\\[a = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Ten sam wynik - \\(a = \\dfrac{4}{7}\\).**\n\nPrzy okazji można wyznaczyć \\(b\\): z pierwszego równania \\(b = -1 + 3 \\cdot \\dfrac{4}{7} = -1 + \\dfrac{12}{7} = \\dfrac{5}{7}\\). Równanie prostej: \\(y = \\dfrac{4}{7}x + \\dfrac{5}{7}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nWzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów nie jest wprost wypisany na karcie, ale wynika bezpośrednio z definicji: \\(a\\) to **przyrost \\(y\\) podzielony przez przyrost \\(x\\)** między dowolnymi dwoma punktami prostej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-4\\) | Odjęto współrzędne w złej kolejności i jeszcze popełniono błąd arytmetyczny: np. \\((-1) - 3 = -4\\) bez dzielenia przez przyrost \\(x\\) |\n| B: \\(-\\dfrac{1}{2}\\) | Pomylono kolejność punktów w liczniku i mianowniku jednocześnie, lub wzięto odwrotność i zmieniono znak |\n| C: \\(2\\) | Wzięto tylko przyrost \\(y\\) wynoszący \\(4\\) i podzielono przez \\(2\\) zamiast przez \\(7\\), albo pomylono \\(x\\) z \\(y\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na podwójne minusy! \\(x_B - x_A = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7\\), **nie** \\(4 - 3 = 1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów nie ma znaczenia dla wyniku - możesz liczyć \\(\\dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B}\\) i dostaniesz to samo \\(\\dfrac{4}{7}\\). Ważne, żeby **licznik i mianownik były w tej samej kolejności**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a\\) to iloraz **przyrostów** (\\(\\Delta y / \\Delta x\\)), a nie sama różnica wartości \\(y\\) ani \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy\n\\(a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{3-(-1)}{4-(-3)} = \\dfrac{4}{7}.\\)\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nZ warunków \\(-1 = -3a+b\\), \\(3 = 4a+b\\). Odejmując: \\(4 = 7a\\), \\(a = \\tfrac{4}{7}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-4\\)** - ktoś obliczył tylko \\(y_{B}-y_{A}\\) ze złym znakiem.\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - znak liczyka przeciwny.\n- **C. 2** - przypadkowa wartość.\n\n**Trik:** wzór \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - pamiętaj o kolejności i znakach współrzędnych.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Równanie (𝑥2-3𝑥)(𝑥+2)<br>𝑥2-4<br>= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie<br>A. jedno rozwiązanie.<br>B. dwa rozwiązania.<br>C. trzy rozwiązania.<br>D. cztery rozwiązania.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Równanie (x^2-3x)(x+2)/x^2-4 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.6) rozwiązuje równania wymierne postaci<br>𝑉(𝑥)<br>𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)<br>są zapisane w postaci iloczynowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{4}{7}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów</h4>\n<p>Mamy dwa punkty na prostej: \\(A = (-3, -1)\\) i \\(B = (4, 3)\\).</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy \\(a\\) to <strong>iloraz przyrostu \\(y\\) do przyrostu \\(x\\)</strong>:</p>\n<p>\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]</p>\n<p>Podstawiamy współrzędne:</p>\n<p>\\[a = \\frac{3 - (-1)}{4 - (-3)} = \\frac{3 + 1}{4 + 3} = \\frac{4}{7}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(a = \\dfrac{4}{7}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Układ równań (podstawienie obu punktów)</h4>\n<p>Skoro prosta \\(y = ax + b\\) przechodzi przez \\(A = (-3, -1)\\) i \\(B = (4, 3)\\), oba punkty spełniają równanie prostej:</p>\n<p>\\[\\begin{cases} -1 = a \\cdot (-3) + b \\\\ 3 = a \\cdot 4 + b \\end{cases}\\]</p>\n<p>\\[\\begin{cases} -1 = -3a + b \\\\ 3 = 4a + b \\end{cases}\\]</p>\n<p>Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(b\\)):</p>\n<p>\\[3 - (-1) = 4a - (-3a)\\]</p>\n<p>\\[4 = 7a\\]</p>\n<p>\\[a = \\frac{4}{7}\\]</p>\n<p><strong>Ten sam wynik - \\(a = \\dfrac{4}{7}\\).</strong></p>\n<p>Przy okazji można wyznaczyć \\(b\\): z pierwszego równania \\(b = -1 + 3 \\cdot \\dfrac{4}{7} = -1 + \\dfrac{12}{7} = \\dfrac{5}{7}\\). Równanie prostej: \\(y = \\dfrac{4}{7}x + \\dfrac{5}{7}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]</p>\n<p>Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów nie jest wprost wypisany na karcie, ale wynika bezpośrednio z definicji: \\(a\\) to <strong>przyrost \\(y\\) podzielony przez przyrost \\(x\\)</strong> między dowolnymi dwoma punktami prostej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(-4\\) | Odjęto współrzędne w złej kolejności i jeszcze popełniono błąd arytmetyczny: np. \\((-1) - 3 = -4\\) bez dzielenia przez przyrost \\(x\\) |<br>| B: \\(-\\dfrac{1}{2}\\) | Pomylono kolejność punktów w liczniku i mianowniku jednocześnie, lub wzięto odwrotność i zmieniono znak |<br>| C: \\(2\\) | Wzięto tylko przyrost \\(y\\) wynoszący \\(4\\) i podzielono przez \\(2\\) zamiast przez \\(7\\), albo pomylono \\(x\\) z \\(y\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Uważaj na podwójne minusy! \\(x_B - x_A = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7\\), <strong>nie</strong> \\(4 - 3 = 1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność punktów nie ma znaczenia dla wyniku - możesz liczyć \\(\\dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B}\\) i dostaniesz to samo \\(\\dfrac{4}{7}\\). Ważne, żeby <strong>licznik i mianownik były w tej samej kolejności</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik \\(a\\) to iloraz <strong>przyrostów</strong> (\\(\\Delta y / \\Delta x\\)), a nie sama różnica wartości \\(y\\) ani \\(x\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy</h5>\n<p>\\(a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{3-(-1)}{4-(-3)} = \\dfrac{4}{7}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Układ równań</h5>\n<p>Z warunków \\(-1 = -3a+b\\), \\(3 = 4a+b\\). Odejmując: \\(4 = 7a\\), \\(a = \\tfrac{4}{7}.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-4\\)</strong> - ktoś obliczył tylko \\(y_{B}-y_{A}\\) ze złym znakiem.</li><li><strong>B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - znak liczyka przeciwny.</li><li><strong>C. 2</strong> - przypadkowa wartość.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> wzór \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - pamiętaj o kolejności i znakach współrzędnych.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, licznik można przedstawić jako iloczyn $x(x-3)(x+2)$, jednak $x=2$ nie jest rozwiązaniem, ponieważ nie należy do dziedziny równania.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dziedzina: x≠-2 i x≠2 . Licznik jest równy zeru dla</p>\n<p>(x^2-3x)(x+2)=0,</p>\n<p>czyli x=0 , x=3 lub x=-2 . Odrzucamy x=-2 , ponieważ nie należy do dziedziny. Zostają dwa rozwiązania.</p>"}]}