{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresy funkcji liniowych\n𝑓(𝑥) = (2𝑚+ 3)𝑥+ 5 oraz 𝑔(𝑥) = -𝑥 nie mają punktów wspólnych dla\nA. 𝑚= -2\nB. 𝑚= -1\nC. 𝑚= 1\nD. 𝑚= 2\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresy funkcji liniowych f(x)=(2m+3)x+5 oraz g(x)=-x nie mają punktów wspólnych dla A. m=-2 B. m=-1 C. m=1 D. m=2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(m = -2\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych\n\nDwie proste nie mają punktów wspólnych wtedy i tylko wtedy, gdy są **równoległe**, czyli mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nDane proste:\n\\[f(x) = (2m+3)x + 5\\]\n\\[g(x) = -x + 0\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(f\\): \\(\\quad a_f = 2m + 3\\)\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(g\\): \\(\\quad a_g = -1\\)\n\n**Warunek równoległości:**\n\\[2m + 3 = -1\\]\n\\[2m = -4\\]\n\\[m = -2\\]\n\nTeraz sprawdzamy wyrazy wolne - czy proste nie są tą samą prostą (bo wtedy miałyby nieskończenie wiele punktów wspólnych):\n- Wyraz wolny \\(f\\): \\(5\\)\n- Wyraz wolny \\(g\\): \\(0\\)\n\n\\[5 \\neq 0\\] ✓\n\nProste są równoległe i **różne** - brak punktów wspólnych.\n\n**Odpowiedź: \\(m = -2\\)**\n\n## Sposób 2 - Układ równań bez rozwiązania\n\nPunkty wspólne wykresów to rozwiązania układu:\n\\[\\begin{cases} y = (2m+3)x + 5 \\\\ y = -x \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[-x = (2m+3)x + 5\\]\n\\[-x - (2m+3)x = 5\\]\n\\[x \\cdot (-1 - 2m - 3) = 5\\]\n\\[x \\cdot (-2m - 4) = 5\\]\n\nUkład nie ma rozwiązania, gdy **współczynnik przy \\(x\\) wynosi zero** (nie możemy podzielić przez zero):\n\\[-2m - 4 = 0\\]\n\\[-2m = 4\\]\n\\[m = -2\\]\n\nSprawdzamy: przy \\(m = -2\\) równanie staje się \\(0 \\cdot x = 5\\), czyli **\\(0 = 5\\)** - sprzeczność. Brak rozwiązań.\n\n**Odpowiedź: \\(m = -2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\\[a_1 = a_2\\]\n(gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\))\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównanie współczynników kierunkowych obu funkcji liniowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B (\\(m = -1\\)) | Podstawienie \\(m = -1\\): \\(a_f = 2(-1)+3 = 1 \\neq -1\\). Proste mają różne współczynniki → przecinają się w jednym punkcie |\n| C (\\(m = 1\\)) | Podstawienie \\(m = 1\\): \\(a_f = 2(1)+3 = 5 \\neq -1\\). Proste przecinają się |\n| D (\\(m = 2\\)) | Podstawienie \\(m = 2\\): \\(a_f = 2(2)+3 = 7 \\neq -1\\). Proste przecinają się |\n\nTypowy błąd: uczeń przyrównuje do zera cały wyrażenie \\((2m+3)x + 5 = -x\\) i szuka \\(x = 0\\) zamiast rozpatrywać brak rozwiązania.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to konieczny, ale nie wystarczający warunek braku punktów wspólnych - trzeba jeszcze upewnić się, że proste **nie są identyczne** (różne wyrazy wolne). Tu \\(5 \\neq 0\\), więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myląc „brak punktów wspólnych\" z „jedna prosta\", czyli nie szukamy \\(m\\) tak, żeby proste były tą samą prostą - to dawałoby nieskończenie wiele punktów wspólnych, nie zero.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 zerowanie współczynnika przy \\(x\\) to właśnie moment, gdy równanie nie ma rozwiązania - to intuicja z algebry liniowej: \\(0 \\cdot x = 5\\) jest sprzeczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste nie mają punktów wspólnych \\(\\Leftrightarrow\\) są równoległe i różne. Równość współczynników kierunkowych: \\(2m+3 = -1 \\Rightarrow 2m = -4 \\Rightarrow m = -2\\). Wyrazy wolne: \\(5 \\ne 0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(m=-2\\): \\(f(x) = -x + 5\\) oraz \\(g(x) = -x\\). Proste równoległe (oba współczynniki kierunkowe \\(-1\\)), różne wyrazy wolne - brak punktów wspólnych.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(m=-1\\)** - \\(f(x)=x+5\\), przecina \\(g(x)=-x\\) w \\((-\\tfrac{5}{2},\\tfrac{5}{2})\\).\n- **C. \\(m=1\\)** - \\(f(x)=5x+5\\), inny współczynnik kierunkowy.\n- **D. \\(m=2\\)** - \\(f(x)=7x+5\\), inny współczynnik.\n\n**Trik:** dwie proste liniowe nie mają punktów wspólnych \\(\\Leftrightarrow\\) są równoległe i nie pokrywają się.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresy funkcji liniowych<br>𝑓(𝑥) = (2𝑚+ 3)𝑥+ 5 oraz 𝑔(𝑥) = -𝑥 nie mają punktów wspólnych dla<br>A. 𝑚= -2<br>B. 𝑚= -1<br>C. 𝑚= 1<br>D. 𝑚= 2<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresy funkcji liniowych f(x)=(2m+3)x+5 oraz g(x)=-x nie mają punktów wspólnych dla A. m=-2 B. m=-1 C. m=1 D. m=2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>V.5) interpretuje współczynniki występujące<br>we wzorze funkcji liniowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (\\(m = -2\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek równoległości prostych</h4>\n<p>Dwie proste nie mają punktów wspólnych wtedy i tylko wtedy, gdy są <strong>równoległe</strong>, czyli mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> i <strong>różne wyrazy wolne</strong>.</p>\n<p>Dane proste:<br>\\[f(x) = (2m+3)x + 5\\]<br>\\[g(x) = -x + 0\\]</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy \\(f\\): \\(\\quad a_f = 2m + 3\\)</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy \\(g\\): \\(\\quad a_g = -1\\)</p>\n<p><strong>Warunek równoległości:</strong><br>\\[2m + 3 = -1\\]<br>\\[2m = -4\\]<br>\\[m = -2\\]</p>\n<p>Teraz sprawdzamy wyrazy wolne - czy proste nie są tą samą prostą (bo wtedy miałyby nieskończenie wiele punktów wspólnych):</p>\n<ul><li>Wyraz wolny \\(f\\): \\(5\\)</li><li>Wyraz wolny \\(g\\): \\(0\\)</li></ul>\n<p>\\[5 \\neq 0\\] ✓</p>\n<p>Proste są równoległe i <strong>różne</strong> - brak punktów wspólnych.</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(m = -2\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Układ równań bez rozwiązania</h4>\n<p>Punkty wspólne wykresów to rozwiązania układu:<br>\\[\\begin{cases} y = (2m+3)x + 5 \\\\ y = -x \\end{cases}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[-x = (2m+3)x + 5\\]<br>\\[-x - (2m+3)x = 5\\]<br>\\[x \\cdot (-1 - 2m - 3) = 5\\]<br>\\[x \\cdot (-2m - 4) = 5\\]</p>\n<p>Układ nie ma rozwiązania, gdy <strong>współczynnik przy \\(x\\) wynosi zero</strong> (nie możemy podzielić przez zero):<br>\\[-2m - 4 = 0\\]<br>\\[-2m = 4\\]<br>\\[m = -2\\]</p>\n<p>Sprawdzamy: przy \\(m = -2\\) równanie staje się \\(0 \\cdot x = 5\\), czyli <strong>\\(0 = 5\\)</strong> - sprzeczność. Brak rozwiązań.</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(m = -2\\)</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:<br>\\[a_1 = a_2\\]<br>(gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\))</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównanie współczynników kierunkowych obu funkcji liniowych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B (\\(m = -1\\)) | Podstawienie \\(m = -1\\): \\(a_f = 2(-1)+3 = 1 \\neq -1\\). Proste mają różne współczynniki → przecinają się w jednym punkcie |<br>| C (\\(m = 1\\)) | Podstawienie \\(m = 1\\): \\(a_f = 2(1)+3 = 5 \\neq -1\\). Proste przecinają się |<br>| D (\\(m = 2\\)) | Podstawienie \\(m = 2\\): \\(a_f = 2(2)+3 = 7 \\neq -1\\). Proste przecinają się |</p>\n<p>Typowy błąd: uczeń przyrównuje do zera cały wyrażenie \\((2m+3)x + 5 = -x\\) i szuka \\(x = 0\\) zamiast rozpatrywać brak rozwiązania.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równoległość to konieczny, ale nie wystarczający warunek braku punktów wspólnych - trzeba jeszcze upewnić się, że proste <strong>nie są identyczne</strong> (różne wyrazy wolne). Tu \\(5 \\neq 0\\), więc wszystko gra.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myląc „brak punktów wspólnych&quot; z „jedna prosta&quot;, czyli nie szukamy \\(m\\) tak, żeby proste były tą samą prostą - to dawałoby nieskończenie wiele punktów wspólnych, nie zero.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 zerowanie współczynnika przy \\(x\\) to właśnie moment, gdy równanie nie ma rozwiązania - to intuicja z algebry liniowej: \\(0 \\cdot x = 5\\) jest sprzeczne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek równoległości</h5>\n<p>Proste nie mają punktów wspólnych \\(\\Leftrightarrow\\) są równoległe i różne. Równość współczynników kierunkowych: \\(2m+3 = -1 \\Rightarrow 2m = -4 \\Rightarrow m = -2\\). Wyrazy wolne: \\(5 \\ne 0\\) ✓.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<p>Dla \\(m=-2\\): \\(f(x) = -x + 5\\) oraz \\(g(x) = -x\\). Proste równoległe (oba współczynniki kierunkowe \\(-1\\)), różne wyrazy wolne - brak punktów wspólnych.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(m=-1\\)</strong> - \\(f(x)=x+5\\), przecina \\(g(x)=-x\\) w \\((-\\tfrac{5}{2},\\tfrac{5}{2})\\).</li><li><strong>C. \\(m=1\\)</strong> - \\(f(x)=5x+5\\), inny współczynnik kierunkowy.</li><li><strong>D. \\(m=2\\)</strong> - \\(f(x)=7x+5\\), inny współczynnik.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dwie proste liniowe nie mają punktów wspólnych \\(\\Leftrightarrow\\) są równoległe i nie pokrywają się.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, dla $m = -2$ funkcja $f(x) = (2\\cdot(-2) + 3)x + 5 = -x + 5$ jest równoległa do funkcji $g(x)=-x$, więc nie mają one punktów wspólnych.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Proste nie mają punktów wspólnych, gdy są równoległe:</p>\n<p>2m+3=-1.</p>\n<p>2m=-4, m=-2.</p>"}]}