{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 przechodzi\nprzez punkty 𝐴= (-3, -1) oraz 𝐵= (4, 3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik 𝑎 w równaniu tej prostej jest równy\nA. (-4)\nB. (-1\n2)\nC. 2\nD. 4\n7\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu y=ax+b przechodzi przez punkty A=(-3,-1) oraz B=(4,3). Współczynnik a w równaniu tej prostej jest równy A. (-4) B. (-1/2) C. 2 D. 4/7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n## Sposób 1 - Analiza własności funkcji z warunków na \\(a\\) i \\(b\\)\n\nMamy \\(f(x) = ax^2 + bx + 1\\), gdzie \\(a < 0\\) i \\(b > 0\\).\n\nWyciągamy trzy kluczowe informacje z postaci wzoru:\n\n**Krok 1: Ramiona paraboli**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a < 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** (otwarta ku dołowi). Eliminujemy wszystkie wykresy z parabolą otwartą ku górze.\n\n**Krok 2: Punkt przecięcia z osią \\(OY\\)**\n\nObliczamy \\(f(0)\\):\n\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + 1 = 1\\]\n\nParabola przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 1)\\), czyli **powyżej początku układu współrzędnych**. Szukamy wykresu z dodatnim wyrazem wolnym.\n\n**Krok 3: Położenie wierzchołka względem osi \\(OY\\)**\n\nWspółrzędna \\(x\\) wierzchołka wynosi:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPonieważ \\(b > 0\\) i \\(a < 0\\), mamy:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{(\\text{dodatnia})}{2 \\cdot (\\text{ujemna})} = -\\frac{(\\text{dodatnia})}{(\\text{ujemna})} = +\\frac{(\\text{dodatnia})}{(\\text{dodatnia})} > 0\\]\n\n**Wierzchołek leży po prawej stronie osi \\(OY\\)** (dla \\(x > 0\\)).\n\n**Wniosek:** Szukamy paraboli, która:\n- otwarta jest **ku dołowi**,\n- przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 1)\\) (powyżej \\(Ox\\)),\n- ma wierzchołek **po prawej stronie** osi \\(OY\\).\n\nTo jest rysunek **D**.\n\n## Sposób 2 - Badanie znaku pochodnej w punkcie \\(x = 0\\)\n\nObliczamy pochodną funkcji:\n\\[f'(x) = 2ax + b\\]\n\nSprawdzamy jej znak w punkcie \\(x = 0\\):\n\\[f'(0) = 2a \\cdot 0 + b = b\\]\n\nPonieważ \\(b > 0\\), mamy \\(f'(0) > 0\\) - **funkcja rośnie w \\(x = 0\\)**.\n\nOznacza to, że:\n- parabola w punkcie \\(x = 0\\) (na osi \\(OY\\)) jest jeszcze na etapie wznoszenia się (lewa gałąź),\n- **wierzchołek (maksimum) leży na prawo od osi \\(OY\\)**.\n\nPołączone z faktem, że \\(a < 0\\) (ramiona w dół) i \\(f(0) = 1 > 0\\) (przecięcie \\(OY\\) powyżej \\(Ox\\)), jednoznacznie wskazuje to na rysunek **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do ustalenia, że wierzchołek leży dla \\(x > 0\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna trójmianu kwadratowego:\n\\[(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do określenia kierunku wzrastania funkcji w punkcie \\(x = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Wzięto parabolę otwartą ku górze - błędna interpretacja \\(a < 0\\) (pomyłka znaku) |\n| **B** | Parabola otwarta ku dołowi, ale wierzchołek na lewo od \\(OY\\) - nie zauważono, że \\(b > 0\\) i \\(a < 0\\) dają \\(p > 0\\) |\n| **C** | Parabola otwarta ku dołowi, wierzchołek po prawej, ale z wyrazem wolnym \\(\\leq 0\\) - zignorowano, że \\(f(0) = 1 > 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek otwarcia paraboli zależy wyłącznie od znaku **współczynnika \\(a\\)** (przy \\(x^2\\)), nie od znaku \\(b\\)! Wielu uczniów myli i myśli, że \\(b > 0\\) wpływa na kierunek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(c = 1\\) to zawsze **wartość funkcji w \\(x = 0\\)**, czyli dokładnie punkt przecięcia z osią \\(OY\\). To szybki i pewny sposób odczytu z wykresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu znaku \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) uważaj na podwójny minus - \\(b > 0\\), \\(a < 0\\), więc \\(2a < 0\\) i \\(\\frac{b}{2a} < 0\\), a po negacji \\(p > 0\\). Łatwo się tu pomylić przy szybkim liczeniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaków współczynników\n- \\(a<0\\) - parabola ramionami skierowana w dół (odpada A, C).\n- \\(f(0) = 1 > 0\\) - parabola przecina oś \\(OY\\) powyżej 0.\n- \\(b>0\\) i \\(a<0\\) - wierzchołek przy \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a} > 0\\), czyli na prawo od osi \\(OY\\).\n\nOdpowiedzi B i D mają ramiona w dół; D ma wierzchołek w prawej półpłaszczyźnie \\(\\Rightarrow\\) D.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\nB: wierzchołek po lewej stronie osi \\(OY\\) \\(\\Rightarrow x_{w} < 0\\), co wymagałoby \\(b<0\\) (sprzeczność).\nD: wierzchołek po prawej \\(\\Rightarrow b>0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C.** Ramiona w górę wymagają \\(a>0\\).\n- **B.** Dla \\(a<0\\) i wierzchołka na lewo od \\(OY\\) musiałoby być \\(b<0\\).\n\n**Trik:** znak \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a}\\) pokazuje, po której stronie osi \\(OY\\) leży wierzchołek.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 przechodzi
przez punkty 𝐴= (-3, -1) oraz 𝐵= (4, 3).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik 𝑎 w równaniu tej prostej jest równy
A. (-4)
B. (-1
2)
C. 2
D. 4
7

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu y=ax+b przechodzi przez punkty A=(-3,-1) oraz B=(4,3). Współczynnik a w równaniu tej prostej jest równy A. (-4) B. (-1/2) C. 2 D. 4/7

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
V.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na
podstawie informacji o jej wykresie lub o jej
własnościach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Sposób 1 - Analiza własności funkcji z warunków na \\(a\\) i \\(b\\)

\n

Mamy \\(f(x) = ax^2 + bx + 1\\), gdzie \\(a < 0\\) i \\(b > 0\\).

\n

Wyciągamy trzy kluczowe informacje z postaci wzoru:

\n

Krok 1: Ramiona paraboli

\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a < 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w dół (otwarta ku dołowi). Eliminujemy wszystkie wykresy z parabolą otwartą ku górze.

\n

Krok 2: Punkt przecięcia z osią \\(OY\\)

\n

Obliczamy \\(f(0)\\):
\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + 1 = 1\\]

\n

Parabola przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 1)\\), czyli powyżej początku układu współrzędnych. Szukamy wykresu z dodatnim wyrazem wolnym.

\n

Krok 3: Położenie wierzchołka względem osi \\(OY\\)

\n

Współrzędna \\(x\\) wierzchołka wynosi:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]

\n

Ponieważ \\(b > 0\\) i \\(a < 0\\), mamy:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{(\\text{dodatnia})}{2 \\cdot (\\text{ujemna})} = -\\frac{(\\text{dodatnia})}{(\\text{ujemna})} = +\\frac{(\\text{dodatnia})}{(\\text{dodatnia})} > 0\\]

\n

Wierzchołek leży po prawej stronie osi \\(OY\\) (dla \\(x > 0\\)).

\n

Wniosek: Szukamy paraboli, która:

\n\n

To jest rysunek D.

\n

Sposób 2 - Badanie znaku pochodnej w punkcie \\(x = 0\\)

\n

Obliczamy pochodną funkcji:
\\[f'(x) = 2ax + b\\]

\n

Sprawdzamy jej znak w punkcie \\(x = 0\\):
\\[f'(0) = 2a \\cdot 0 + b = b\\]

\n

Ponieważ \\(b > 0\\), mamy \\(f'(0) > 0\\) - funkcja rośnie w \\(x = 0\\).

\n

Oznacza to, że:

\n\n

Połączone z faktem, że \\(a < 0\\) (ramiona w dół) i \\(f(0) = 1 > 0\\) (przecięcie \\(OY\\) powyżej \\(Ox\\)), jednoznacznie wskazuje to na rysunek D.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyliśmy tego do ustalenia, że wierzchołek leży dla \\(x > 0\\).

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - pochodna trójmianu kwadratowego:
\\[(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do określenia kierunku wzrastania funkcji w punkcie \\(x = 0\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Wzięto parabolę otwartą ku górze - błędna interpretacja \\(a < 0\\) (pomyłka znaku) |
| B | Parabola otwarta ku dołowi, ale wierzchołek na lewo od \\(OY\\) - nie zauważono, że \\(b > 0\\) i \\(a < 0\\) dają \\(p > 0\\) |
| C | Parabola otwarta ku dołowi, wierzchołek po prawej, ale z wyrazem wolnym \\(\\leq 0\\) - zignorowano, że \\(f(0) = 1 > 0\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kierunek otwarcia paraboli zależy wyłącznie od znaku współczynnika \\(a\\) (przy \\(x^2\\)), nie od znaku \\(b\\)! Wielu uczniów myli i myśli, że \\(b > 0\\) wpływa na kierunek.
\n
⚠️ Uwaga: Wyraz wolny \\(c = 1\\) to zawsze wartość funkcji w \\(x = 0\\), czyli dokładnie punkt przecięcia z osią \\(OY\\). To szybki i pewny sposób odczytu z wykresu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu znaku \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) uważaj na podwójny minus - \\(b > 0\\), \\(a < 0\\), więc \\(2a < 0\\) i \\(\\frac{b}{2a} < 0\\), a po negacji \\(p > 0\\). Łatwo się tu pomylić przy szybkim liczeniu.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Analiza znaków współczynników
\n\n

Odpowiedzi B i D mają ramiona w dół; D ma wierzchołek w prawej półpłaszczyźnie \\(\\Rightarrow\\) D.

\n
Sposób 2 - Eliminacja
\n

B: wierzchołek po lewej stronie osi \\(OY\\) \\(\\Rightarrow x_{w} < 0\\), co wymagałoby \\(b<0\\) (sprzeczność).
D: wierzchołek po prawej \\(\\Rightarrow b>0\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: znak \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a}\\) pokazuje, po której stronie osi \\(OY\\) leży wierzchołek.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Rozpoczynamy od wzoru na współczynnik kierunkowy $a$ prostej przechodzącej przez dwa punkty $A(x_1, y_1)$ oraz $B(x_2, y_2)$. Wzór ten wygląda następująco:
\n

$$ a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

\n
  1. Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$ do wzoru. Punkty te mają współrzędne: $A = (-3, -1)$ oraz $B = (4, 3)$, więc $x_1 = -3$, $y_1 = -1$, $x_2 = 4$, $y_2 = 3$. Podstawiając te wartości do wzoru na $a$, otrzymujemy:
\n

$$ a = \\frac{3 - (-1)}{4 - (-3)} $$

\n
  1. Obliczamy różnice w liczniku i w mianowniku. Najpierw licznik:
\n

$$ 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 $$
Następnie mianownik:
$$ 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 $$

\n
  1. Teraz możemy podstawić obliczone wartości do wzoru na $a$:
\n

$$ a = \\frac{4}{7} $$

\n
  1. Otrzymaliśmy wartość współczynnika kierunkowego $a$. Wobec tego:
\n

$$ a = \\frac{4}{7} $$
Oznacza to, że współczynnik $a$ w równaniu prostej $(y = ax + b)$ równy jest $\\frac{4}{7}$.

\n

Odpowiedź: Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy $\\frac{4}{7}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

a=(3-(-1))/(4-(-3))=(4)/(7).

"}]}