{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)\n(zobacz rysunek).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x)<1.","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **31 wyrazów**\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\n\nSzukamy liczby wyrazów, dla których \\(a_n < 10\\). Podstawiamy wzór ogólny:\n\n\\[\\frac{n-2}{3} < 10\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(3 > 0\\) (nierówność nie zmienia kierunku):\n\n\\[n - 2 < 30\\]\n\nDodajemy \\(2\\) do obu stron:\n\n\\[n < 32\\]\n\nPonieważ \\(n\\) jest liczbą naturalną i \\(n \\geq 1\\), warunek \\(n < 32\\) spełniają:\n\n\\[n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 31\\}\\]\n\n**Liczba takich wyrazów to \\(31\\).**\n\nSprawdzenie graniczne:\n- \\(a_{31} = \\frac{31-2}{3} = \\frac{29}{3} \\approx 9{,}67 < 10\\) ✓\n- \\(a_{32} = \\frac{32-2}{3} = \\frac{30}{3} = 10\\) - **równe** 10, więc NIE spełnia warunku \\(< 10\\) ✗\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie granicznego wyrazu i liczenie\n\nPytamy: który wyraz jako **pierwszy** osiąga wartość \\(\\geq 10\\)?\n\nRozwiązujemy równanie \\(a_n = 10\\):\n\n\\[\\frac{n-2}{3} = 10 \\implies n - 2 = 30 \\implies n = 32\\]\n\nWyraz \\(a_{32} = 10\\) jest pierwszym wyrazem **niespełniającym** warunku \\(a_n < 10\\).\n\nWszystkie wyrazy od \\(n = 1\\) do \\(n = 31\\) są mniejsze od \\(10\\).\n\nLiczba wyrazów: od \\(1\\) do \\(31\\) - to dokładnie \\(31\\) wyrazów.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozwiązanie prostej nierówności liniowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** (\\(28\\)) | Pominięcie wyrazów ujemnych - uczeń liczy tylko wyrazy dodatnie (od \\(n = 4\\)) i jednocześnie myli granicę, dochodząc do \\(n \\leq 31\\): \\(n = 4, 5, \\ldots, 31\\) to \\(28\\) wyrazów |\n| **C** (\\(32\\)) | Pomylono \\(<\\) z \\(\\leq\\) - uczeń uwzględnia też \\(a_{32} = 10\\) (czyli liczy wyrazy \"mniejsze lub równe 10\"), dostając \\(n \\in \\{1, \\ldots, 32\\}\\) |\n| **D** (\\(27\\)) | Pominięcie wyrazów ujemnych i zerowego (zaczęcie od \\(n = 5\\)) albo błąd arytmetyczny przy wyznaczaniu granicy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrazy \\(a_1 = -\\frac{1}{3}\\) i \\(a_2 = 0\\) **są mniejsze od 10** - też je liczymy! Warunek to \\(a_n < 10\\), nie \\(0 < a_n < 10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniczna wartość \\(a_{32} = 10\\) **nie** spełnia nierówności \\(< 10\\) (ostrej). To klasyczna pułapka - wyraz graniczny zawsze sprawdzaj ręcznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu \\(n < 32\\) łatwo pomylić \"ile jest naturalnych \\(n\\) mniejszych od \\(32\\) i nie mniejszych od \\(1\\)\". To po prostu \\(31 - 1 + 1 = 31\\), nie \\(32\\) ani \\(30\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Nierówność\n\\(\\dfrac{n-2}{3} < 10 \\Rightarrow n-2 < 30 \\Rightarrow n < 32.\\)\nLiczby naturalne \\(n\\in\\{1,2,\\ldots,31\\}\\) to \\(31\\) wartości.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(a_{31} = \\tfrac{29}{3}\\approx 9{,}67 < 10\\) ✓\n\\(a_{32} = \\tfrac{30}{3} = 10\\), nie spełnia \\(<10\\).\nPozostaje \\(n=1,\\ldots,31\\), czyli \\(31\\) wyrazów.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 28** - błąd rachunkowy.\n- **C. 32** - obejmuje \\(a_{32}=10\\), co nie jest \\(<10\\).\n- **D. 27** - błędny warunek.\n\n**Trik:** przy ostrej nierówności \\(<\\) równość na granicy jest wykluczona.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)<br>(zobacz rysunek).<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x)&lt;1.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - <strong>31 wyrazów</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności</h4>\n<p>Szukamy liczby wyrazów, dla których \\(a_n &lt; 10\\). Podstawiamy wzór ogólny:</p>\n<p>\\[\\frac{n-2}{3} &lt; 10\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(3 &gt; 0\\) (nierówność nie zmienia kierunku):</p>\n<p>\\[n - 2 &lt; 30\\]</p>\n<p>Dodajemy \\(2\\) do obu stron:</p>\n<p>\\[n &lt; 32\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(n\\) jest liczbą naturalną i \\(n \\geq 1\\), warunek \\(n &lt; 32\\) spełniają:</p>\n<p>\\[n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 31\\}\\]</p>\n<p><strong>Liczba takich wyrazów to \\(31\\).</strong></p>\n<p>Sprawdzenie graniczne:</p>\n<ul><li>\\(a_{31} = \\frac{31-2}{3} = \\frac{29}{3} \\approx 9{,}67 &lt; 10\\) ✓</li><li>\\(a_{32} = \\frac{32-2}{3} = \\frac{30}{3} = 10\\) - <strong>równe</strong> 10, więc NIE spełnia warunku \\(&lt; 10\\) ✗</li></ul>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie granicznego wyrazu i liczenie</h4>\n<p>Pytamy: który wyraz jako <strong>pierwszy</strong> osiąga wartość \\(\\geq 10\\)?</p>\n<p>Rozwiązujemy równanie \\(a_n = 10\\):</p>\n<p>\\[\\frac{n-2}{3} = 10 \\implies n - 2 = 30 \\implies n = 32\\]</p>\n<p>Wyraz \\(a_{32} = 10\\) jest pierwszym wyrazem <strong>niespełniającym</strong> warunku \\(a_n &lt; 10\\).</p>\n<p>Wszystkie wyrazy od \\(n = 1\\) do \\(n = 31\\) są mniejsze od \\(10\\).</p>\n<p>Liczba wyrazów: od \\(1\\) do \\(31\\) - to dokładnie \\(31\\) wyrazów.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozwiązanie prostej nierówności liniowej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| <strong>A</strong> (\\(28\\)) | Pominięcie wyrazów ujemnych - uczeń liczy tylko wyrazy dodatnie (od \\(n = 4\\)) i jednocześnie myli granicę, dochodząc do \\(n \\leq 31\\): \\(n = 4, 5, \\ldots, 31\\) to \\(28\\) wyrazów |<br>| <strong>C</strong> (\\(32\\)) | Pomylono \\(&lt;\\) z \\(\\leq\\) - uczeń uwzględnia też \\(a_{32} = 10\\) (czyli liczy wyrazy &quot;mniejsze lub równe 10&quot;), dostając \\(n \\in \\{1, \\ldots, 32\\}\\) |<br>| <strong>D</strong> (\\(27\\)) | Pominięcie wyrazów ujemnych i zerowego (zaczęcie od \\(n = 5\\)) albo błąd arytmetyczny przy wyznaczaniu granicy |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyrazy \\(a_1 = -\\frac{1}{3}\\) i \\(a_2 = 0\\) <strong>są mniejsze od 10</strong> - też je liczymy! Warunek to \\(a_n &lt; 10\\), nie \\(0 &lt; a_n &lt; 10\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Graniczna wartość \\(a_{32} = 10\\) <strong>nie</strong> spełnia nierówności \\(&lt; 10\\) (ostrej). To klasyczna pułapka - wyraz graniczny zawsze sprawdzaj ręcznie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po rozwiązaniu \\(n &lt; 32\\) łatwo pomylić &quot;ile jest naturalnych \\(n\\) mniejszych od \\(32\\) i nie mniejszych od \\(1\\)&quot;. To po prostu \\(31 - 1 + 1 = 31\\), nie \\(32\\) ani \\(30\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Nierówność</h5>\n<p>\\(\\dfrac{n-2}{3} &lt; 10 \\Rightarrow n-2 &lt; 30 \\Rightarrow n &lt; 32.\\)<br>Liczby naturalne \\(n\\in\\{1,2,\\ldots,31\\}\\) to \\(31\\) wartości.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(a_{31} = \\tfrac{29}{3}\\approx 9{,}67 &lt; 10\\) ✓<br>\\(a_{32} = \\tfrac{30}{3} = 10\\), nie spełnia \\(&lt;10\\).<br>Pozostaje \\(n=1,\\ldots,31\\), czyli \\(31\\) wyrazów.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 28</strong> - błąd rachunkowy.</li><li><strong>C. 32</strong> - obejmuje \\(a_{32}=10\\), co nie jest \\(&lt;10\\).</li><li><strong>D. 27</strong> - błędny warunek.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy ostrej nierówności \\(&lt;\\) równość na granicy jest wykluczona.</p>"}]}