{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 饾憮 jest okre艣lona wzorem 饾憮(饾懃) = 饾憥饾懃2 + 饾憦饾懃+ 1, gdzie 饾憥 oraz 饾憦 s膮\npewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, 偶e 饾憥< 0 i 饾憦> 0. Na jednym z rysunk贸w A-D\nprzedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezja艅skim uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych (饾懃, 饾懄).\nDoko艅cz zdanie. Wybierz w艂a艣ciw膮 odpowied藕 spo艣r贸d podanych.\nFragment wykresu funkcji 饾憮 przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n饾懃\n1\n1\n饾懄\n饾懃\n1\n1\n饾懄\n饾懃\n1\n1\n饾懄\n饾懃\n1\n1\n饾懄\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest okre艣lona wzorem f(x)=ax^2+bx+1, gdzie a oraz b s膮 pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, 偶e a<0 i b>0. Na jednym z rysunk贸w A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezja艅skim uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych (x,y). Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie og贸lne\nWymaganie szczeg贸艂owe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowa艅, tak偶e\nkilkuetapowych, podawanie argument贸w\nuzasadniaj膮cych poprawno艣膰 rozumowania,\nodr贸偶nianie dowodu od przyk艂adu.\nZdaj膮cy:\nV.8) interpretuje wsp贸艂czynniki wyst臋puj膮ce\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nog贸lnej, kanonicznej i iloczynowej (je艣li\nistnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowied藕 poprawna.\n0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwi膮zanie\nD","solution":"## Poprawna odpowied藕: C\n\nCi膮g \\((a_n)\\) jest **ci膮giem geometrycznym o ilorazie \\(2\\)**.\n\n## Spos贸b 1 - Sprawdzenie ilorazu kolejnych wyraz贸w\n\nCi膮g geometryczny to taki, w kt贸rym stosunek ka偶dego wyrazu do poprzedniego jest sta艂y (i r贸wny ilorazowi \\(q\\)).\n\nWyznaczamy pierwsze wyrazy ci膮gu:\n\\[a_1 = -2^1 = -2\\]\n\\[a_2 = -2^2 = -4\\]\n\\[a_3 = -2^3 = -8\\]\n\\[a_4 = -2^4 = -16\\]\n\nSprawdzamy iloraz:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-4}{-2} = 2\\]\n\\[\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-8}{-4} = 2\\]\n\\[\\frac{a_4}{a_3} = \\frac{-16}{-8} = 2\\]\n\nIloraz jest sta艂y i r贸wny \\(2\\) - to ci膮g geometryczny.\n\n**Sprawdzamy te偶, czy to ci膮g arytmetyczny** (r贸偶nice):\n\\[a_2 - a_1 = -4 - (-2) = -2\\]\n\\[a_3 - a_2 = -8 - (-4) = -4\\]\n\nR贸偶nice nie s膮 sta艂e (\\(-2 \\neq -4\\)), wi臋c **NIE jest to ci膮g arytmetyczny**.\n\n**Odpowied藕: ci膮g geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).**\n\n## Spos贸b 2 - Dow贸d og贸lny (ze wzoru)\n\n呕eby udowodni膰, 偶e ci膮g jest geometryczny, wystarczy pokaza膰, 偶e iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) jest sta艂y dla ka偶dego \\(n \\geq 1\\).\n\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{-2^{n+1}}{-2^n}\\]\n\nMinusy si臋 skracaj膮:\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2\\]\n\nIloraz wynosi \\(2\\) dla **ka偶dego** \\(n \\geq 1\\) - to formalny dow贸d, 偶e ci膮g jest geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).\n\nMo偶emy te偶 zapisa膰 wz贸r w standardowej postaci ci膮gu geometrycznego:\n\\[a_n = -2^n = (-2) \\cdot 2^{n-1} = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\ngdzie \\(a_1 = -2\\) i \\(q = 2\\). Zgadza si臋 ze wzorem \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzia艂 8 (Ci膮gi, s. 9-10)** - definicja i wz贸r og贸lny ci膮gu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz warunek bycia ci膮giem geometrycznym:\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\]\n\nSkorzystali艣my z tego w obu sposobach - w Sposobie 1 wprost obliczaj膮c iloraz, w Sposobie 2 pokazuj膮c to og贸lnie ze wzoru.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n\n| Odp. | B艂膮d |\n| A | Ucze艅 myli typ ci膮gu i my艣li, 偶e \"skoro wyrazy rosn膮, to jest arytmetyczny z r贸偶nic膮 \\(2\\)\" - ale wyrazy malej膮 (\\(-2, -4, -8, \\ldots\\)), a poza tym r贸偶nice nie s膮 sta艂e |\n| B | Ucze艅 liczy \\(a_2 - a_1 = -4 - (-2) = -2\\) i zatrzymuje si臋 na pierwszej r贸偶nicy, nie sprawdzaj膮c kolejnych - pu艂apka pochopnego wnioskowania |\n| D | Najgro藕niejsza pu艂apka! Ucze艅 widzi \\(-2^n\\) i my艣li \"iloraz to \\(-2\\)\", zapominaj膮c 偶e \\(-2^n \\neq (-2)^n\\). Wyra偶enie \\(-2^n\\) oznacza \\(-(2^n)\\), a \\((-2)^n\\) to zupe艂nie co innego |\n\n## Typowe pu艂apki i uwagi\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** \\(-2^n\\) to **minus** przed pot臋g膮 dw贸jki, czyli \\(-(2^n)\\). To **nie to samo** co \\((-2)^n\\)! Dla \\((-2)^n\\) wyrazy by艂yby naprzemiennie dodatnie i ujemne: \\(-2, 4, -8, 16, \\ldots\\), a iloraz wynosi艂by \\(-2\\). Tu tak nie jest!\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** 呕eby stwierdzi膰, 偶e ci膮g jest arytmetyczny lub geometryczny, trzeba sprawdzi膰 **co najmniej dwie kolejne r贸偶nice/ilorazy** - jedna para wyraz贸w to za ma艂o!\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Ci膮g geometryczny mo偶e mie膰 **ujemne wyrazy** - wa偶ne jest, 偶eby iloraz by艂 sta艂y. Tutaj wszystkie wyrazy s膮 ujemne (\\(-2, -4, -8, \\ldots\\)), ale iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 > 0\\), bo minusy si臋 skracaj膮.\n\n**Poprawna odpowied藕: C**\n\n### Spos贸b 1 - Iloraz kolejnych wyraz贸w\n\\(\\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \\dfrac{-2^{n+1}}{-2^{n}} = 2.\\)\nIloraz sta艂y \\(= 2\\), wi臋c ci膮g jest geometryczny o ilorazie \\(2\\).\n\n### Spos贸b 2 - Pierwsze wyrazy\n\\(a_{1} = -2,\\ a_{2}=-4,\\ a_{3}=-8,\\ a_{4}=-16.\\) R贸偶nice \\(-2,-4,-8\\) - nie sta艂e, nie arytmetyczny. Ilorazy \\(2,2,2\\) - sta艂y, geometryczny o ilorazie \\(2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n- **A, B.** R贸偶nice nie s膮 sta艂e.\n- **D. \\(-2\\)** - b艂膮d znaku: \\(\\dfrac{-4}{-2}=2\\), nie \\(-2\\).\n\n**Trik:** \\(a_{n}=-2^{n}\\) to \\(-1\\cdot 2^{n}\\), czyli posta膰 geometryczna \\(a_{1}q^{n-1}\\) z \\(a_{1}=-2\\), \\(q=2\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka 路 Matura 路 czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Funkcja kwadratowa 饾憮 jest okre艣lona wzorem 饾憮(饾懃) = 饾憥饾懃2 + 饾憦饾懃+ 1, gdzie 饾憥 oraz 饾憦 s膮
pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, 偶e 饾憥< 0 i 饾憦> 0. Na jednym z rysunk贸w A-D
przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezja艅skim uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych (饾懃, 饾懄).
Doko艅cz zdanie. Wybierz w艂a艣ciw膮 odpowied藕 spo艣r贸d podanych.
Fragment wykresu funkcji 饾憮 przedstawiono na rysunku
A.
B.
C.
D.
饾懃
1
1
饾懄
饾懃
1
1
饾懄
饾懃
1
1
饾懄
饾懃
1
1
饾懄

\n

MMAP-P0_100
Funkcja kwadratowa f jest okre艣lona wzorem f(x)=ax^2+bx+1, gdzie a oraz b s膮 pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, 偶e a<0 i b>0. Na jednym z rysunk贸w A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezja艅skim uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych (x,y). Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie og贸lne
Wymaganie szczeg贸艂owe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowa艅, tak偶e
\n

kilkuetapowych, podawanie argument贸w
uzasadniaj膮cych poprawno艣膰 rozumowania,
odr贸偶nianie dowodu od przyk艂adu.
Zdaj膮cy:
V.8) interpretuje wsp贸艂czynniki wyst臋puj膮ce
we wzorze funkcji kwadratowej w postaci
og贸lnej, kanonicznej i iloczynowej (je艣li
istnieje).
Zasady oceniania
1 pkt - odpowied藕 poprawna.
0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwi膮zanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowied藕: C

\n

Ci膮g \\((a_n)\\) jest ci膮giem geometrycznym o ilorazie \\(2\\).

\n

Spos贸b 1 - Sprawdzenie ilorazu kolejnych wyraz贸w

\n

Ci膮g geometryczny to taki, w kt贸rym stosunek ka偶dego wyrazu do poprzedniego jest sta艂y (i r贸wny ilorazowi \\(q\\)).

\n

Wyznaczamy pierwsze wyrazy ci膮gu:
\\[a_1 = -2^1 = -2\\]
\\[a_2 = -2^2 = -4\\]
\\[a_3 = -2^3 = -8\\]
\\[a_4 = -2^4 = -16\\]

\n

Sprawdzamy iloraz:
\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-4}{-2} = 2\\]
\\[\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-8}{-4} = 2\\]
\\[\\frac{a_4}{a_3} = \\frac{-16}{-8} = 2\\]

\n

Iloraz jest sta艂y i r贸wny \\(2\\) - to ci膮g geometryczny.

\n

Sprawdzamy te偶, czy to ci膮g arytmetyczny (r贸偶nice):
\\[a_2 - a_1 = -4 - (-2) = -2\\]
\\[a_3 - a_2 = -8 - (-4) = -4\\]

\n

R贸偶nice nie s膮 sta艂e (\\(-2 \\neq -4\\)), wi臋c NIE jest to ci膮g arytmetyczny.

\n

Odpowied藕: ci膮g geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).

\n

Spos贸b 2 - Dow贸d og贸lny (ze wzoru)

\n

呕eby udowodni膰, 偶e ci膮g jest geometryczny, wystarczy pokaza膰, 偶e iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) jest sta艂y dla ka偶dego \\(n \\geq 1\\).

\n

\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{-2^{n+1}}{-2^n}\\]

\n

Minusy si臋 skracaj膮:
\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2\\]

\n

Iloraz wynosi \\(2\\) dla ka偶dego \\(n \\geq 1\\) - to formalny dow贸d, 偶e ci膮g jest geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).

\n

Mo偶emy te偶 zapisa膰 wz贸r w standardowej postaci ci膮gu geometrycznego:
\\[a_n = -2^n = (-2) \\cdot 2^{n-1} = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

gdzie \\(a_1 = -2\\) i \\(q = 2\\). Zgadza si臋 ze wzorem \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dzia艂 8 (Ci膮gi, s. 9-10) - definicja i wz贸r og贸lny ci膮gu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
oraz warunek bycia ci膮giem geometrycznym:
\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\]

\n

Skorzystali艣my z tego w obu sposobach - w Sposobie 1 wprost obliczaj膮c iloraz, w Sposobie 2 pokazuj膮c to og贸lnie ze wzoru.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne

\n

| Odp. | B艂膮d |
| A | Ucze艅 myli typ ci膮gu i my艣li, 偶e "skoro wyrazy rosn膮, to jest arytmetyczny z r贸偶nic膮 \\(2\\)" - ale wyrazy malej膮 (\\(-2, -4, -8, \\ldots\\)), a poza tym r贸偶nice nie s膮 sta艂e |
| B | Ucze艅 liczy \\(a_2 - a_1 = -4 - (-2) = -2\\) i zatrzymuje si臋 na pierwszej r贸偶nicy, nie sprawdzaj膮c kolejnych - pu艂apka pochopnego wnioskowania |
| D | Najgro藕niejsza pu艂apka! Ucze艅 widzi \\(-2^n\\) i my艣li "iloraz to \\(-2\\)", zapominaj膮c 偶e \\(-2^n \\neq (-2)^n\\). Wyra偶enie \\(-2^n\\) oznacza \\(-(2^n)\\), a \\((-2)^n\\) to zupe艂nie co innego |

\n

Typowe pu艂apki i uwagi

\n
鈿狅笍 Uwaga: \\(-2^n\\) to minus przed pot臋g膮 dw贸jki, czyli \\(-(2^n)\\). To nie to samo co \\((-2)^n\\)! Dla \\((-2)^n\\) wyrazy by艂yby naprzemiennie dodatnie i ujemne: \\(-2, 4, -8, 16, \\ldots\\), a iloraz wynosi艂by \\(-2\\). Tu tak nie jest!
\n
鈿狅笍 Uwaga: 呕eby stwierdzi膰, 偶e ci膮g jest arytmetyczny lub geometryczny, trzeba sprawdzi膰 co najmniej dwie kolejne r贸偶nice/ilorazy - jedna para wyraz贸w to za ma艂o!
\n
鈿狅笍 Uwaga: Ci膮g geometryczny mo偶e mie膰 ujemne wyrazy - wa偶ne jest, 偶eby iloraz by艂 sta艂y. Tutaj wszystkie wyrazy s膮 ujemne (\\(-2, -4, -8, \\ldots\\)), ale iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 > 0\\), bo minusy si臋 skracaj膮.
\n

Poprawna odpowied藕: C

\n
Spos贸b 1 - Iloraz kolejnych wyraz贸w
\n

\\(\\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \\dfrac{-2^{n+1}}{-2^{n}} = 2.\\)
Iloraz sta艂y \\(= 2\\), wi臋c ci膮g jest geometryczny o ilorazie \\(2\\).

\n
Spos贸b 2 - Pierwsze wyrazy
\n

\\(a_{1} = -2,\\ a_{2}=-4,\\ a_{3}=-8,\\ a_{4}=-16.\\) R贸偶nice \\(-2,-4,-8\\) - nie sta艂e, nie arytmetyczny. Ilorazy \\(2,2,2\\) - sta艂y, geometryczny o ilorazie \\(2\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne
\n\n

Trik: \\(a_{n}=-2^{n}\\) to \\(-1\\cdot 2^{n}\\), czyli posta膰 geometryczna \\(a_{1}q^{n-1}\\) z \\(a_{1}=-2\\), \\(q=2\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, wsp贸艂czynnik $a$ jest liczb膮 ujemn膮, wi臋c ramiona paraboli skierowane s膮 ku do艂owi, pierwsza wsp贸艂rz臋dna wierzcho艂ka paraboli okre艣lona wzorem $p=\\frac{-b}{2a}$ jest dodatnia, poniewa偶 $a<0$ oraz $b>0$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Poniewa偶 a<0 , ramiona paraboli s膮 skierowane w d贸艂. Pierwsza wsp贸艂rz臋dna wierzcho艂ka:

\n

p=-(b)/(2a).

\n

Mamy -b<0 i 2a<0 , wi臋c p>0 . Warunki spe艂nia wykres D.

"}]}