{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.\nMasa 𝑚 leku ℒ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością\nwykładniczą\n𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(0,6)0,25𝑡\ngdzie:\n𝑚0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili 𝑡= 0 dawki leku,\n𝑡 - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu 𝑡= 0 zażycia leku.\nMasa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą m(t) = m_0⋅(0,6)^0,25t gdzie: m_0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0 dawki leku, t - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0 zażycia leku. Liczby m(2,5), m(4,5), m(6,5) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(a = 2\\))\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 1\\), \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = a+5\\):\n\n\\[4 = \\frac{1 + (a+5)}{2}\\]\n\n\\[8 = 1 + a + 5\\]\n\n\\[8 = a + 6\\]\n\n\\[\\boxed{a = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - stała różnica ciągu\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczmy ją \\(r\\).\n\nZ pierwszych dwóch wyrazów:\n\\[r = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3\\]\n\nZatem trzeci wyraz musi być:\n\\[a_3 = a_2 + r = 4 + 3 = 7\\]\n\nAle \\(a_3 = a + 5\\), więc:\n\\[a + 5 = 7\\]\n\\[\\boxed{a = 2}\\]\n\n**Weryfikacja:** ciąg \\((1, 4, 7)\\) - różnice: \\(4-1=3\\), \\(7-4=3\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1. W Sposobie 2 korzystamy z definicji różnicy: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(a=0\\)) | Uczeń liczy różnicę \\(r = 4 - 1 = 3\\), ale zamiast \\(a+5 = 7\\) rozwiązuje \\(a + 5 = 5\\), myląc wynik z wartością \\(a_1\\) |\n| B (\\(a=7\\)) | Uczeń wyznacza \\(a_3 = 7\\), ale **zapomina odjąć 5** - bierze \\(a = a_3 = 7\\) zamiast \\(a = a_3 - 5\\) |\n| D (\\(a=11\\)) | Uczeń oblicza \\(a_3 = a_1 + 2 \\cdot r = 1 + 2 \\cdot 4 = 9\\)… lub myli \\(r\\) z \\(a_2\\) i liczy \\(a+5 = 1 + 2\\cdot 4 = 9\\), albo bierze \\(r = 4\\) i dostaje \\(a + 5 = 4 + 4 = 8\\) → \\(a = 3\\), skąd już blisko do pomyłki z \\(a=11\\) przy błędnym \\(r=8-1=7\\) → \\(a+5=4+7=11\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wartości \\(a_3\\) z szukaną liczbą \\(a\\)! Wyznaczamy \\(a_3 = 7\\), a potem rozwiązujemy \\(a + 5 = 7\\), czyli \\(a = 2\\). Zatrzymanie się na \\(a_3 = 7\\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę \\(r\\) liczymy zawsze jako \\(a_{n+1} - a_n\\), nie odwrotnie! Pomylenie kolejności daje złą różnicę i błędne \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **sprawdź wynik** podstawiając \\(a = 2\\) z powrotem do ciągu: \\((1, 4, 7)\\) - trzy liczby w równych odstępach \\(3\\). Weryfikacja zajmuje 5 sekund i chroni przed głupim błędem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej arytmetycznej\nŚrodkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią sąsiednich:\n\\(4 = \\dfrac{1 + (a+5)}{2} \\Rightarrow 8 = a+6 \\Rightarrow a = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Stała różnica\n\\(r = 4-1 = 3\\), więc \\(a+5 = 4+3 = 7 \\Rightarrow a = 2.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 0** - wtedy trzeci wyraz to \\(5\\), różnice \\(3,1\\), nie stałe.\n- **B. 7** - wtedy trzeci wyraz \\(12\\), różnice \\(3,8\\), nie stałe.\n- **D. 11** - wtedy trzeci wyraz \\(16\\), różnice \\(3,12\\), nie stałe.\n\n**Trik:** \\(a_{2} = \\tfrac{a_{1}+a_{3}}{2}\\) to najszybszy sposób na średni wyraz.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":null,"page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15.
Masa 𝑚 leku ℒ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością
wykładniczą
𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(0,6)0,25𝑡
gdzie:
𝑚0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili 𝑡= 0 dawki leku,
𝑡 - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu 𝑡= 0 zażycia leku.
Masa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą m(t) = m_0⋅(0,6)^0,25t gdzie: m_0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0 dawki leku, t - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0 zażycia leku. Liczby m(2,5), m(4,5), m(6,5) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (\\(a = 2\\))

\n

Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego

\n

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:

\n

\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]

\n

Podstawiamy \\(a_1 = 1\\), \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = a+5\\):

\n

\\[4 = \\frac{1 + (a+5)}{2}\\]

\n

\\[8 = 1 + a + 5\\]

\n

\\[8 = a + 6\\]

\n

\\[\\boxed{a = 2}\\]

\n

Sposób 2 - stała różnica ciągu

\n

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczmy ją \\(r\\).

\n

Z pierwszych dwóch wyrazów:
\\[r = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3\\]

\n

Zatem trzeci wyraz musi być:
\\[a_3 = a_2 + r = 4 + 3 = 7\\]

\n

Ale \\(a_3 = a + 5\\), więc:
\\[a + 5 = 7\\]
\\[\\boxed{a = 2}\\]

\n

Weryfikacja: ciąg \\((1, 4, 7)\\) - różnice: \\(4-1=3\\), \\(7-4=3\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1. W Sposobie 2 korzystamy z definicji różnicy: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (\\(a=0\\)) | Uczeń liczy różnicę \\(r = 4 - 1 = 3\\), ale zamiast \\(a+5 = 7\\) rozwiązuje \\(a + 5 = 5\\), myląc wynik z wartością \\(a_1\\) |
| B (\\(a=7\\)) | Uczeń wyznacza \\(a_3 = 7\\), ale zapomina odjąć 5 - bierze \\(a = a_3 = 7\\) zamiast \\(a = a_3 - 5\\) |
| D (\\(a=11\\)) | Uczeń oblicza \\(a_3 = a_1 + 2 \\cdot r = 1 + 2 \\cdot 4 = 9\\)… lub myli \\(r\\) z \\(a_2\\) i liczy \\(a+5 = 1 + 2\\cdot 4 = 9\\), albo bierze \\(r = 4\\) i dostaje \\(a + 5 = 4 + 4 = 8\\) → \\(a = 3\\), skąd już blisko do pomyłki z \\(a=11\\) przy błędnym \\(r=8-1=7\\) → \\(a+5=4+7=11\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić wartości \\(a_3\\) z szukaną liczbą \\(a\\)! Wyznaczamy \\(a_3 = 7\\), a potem rozwiązujemy \\(a + 5 = 7\\), czyli \\(a = 2\\). Zatrzymanie się na \\(a_3 = 7\\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Różnicę \\(r\\) liczymy zawsze jako \\(a_{n+1} - a_n\\), nie odwrotnie! Pomylenie kolejności daje złą różnicę i błędne \\(a_3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź wynik podstawiając \\(a = 2\\) z powrotem do ciągu: \\((1, 4, 7)\\) - trzy liczby w równych odstępach \\(3\\). Weryfikacja zajmuje 5 sekund i chroni przed głupim błędem.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Własność średniej arytmetycznej
\n

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią sąsiednich:
\\(4 = \\dfrac{1 + (a+5)}{2} \\Rightarrow 8 = a+6 \\Rightarrow a = 2.\\)

\n
Sposób 2 - Stała różnica
\n

\\(r = 4-1 = 3\\), więc \\(a+5 = 4+3 = 7 \\Rightarrow a = 2.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(a_{2} = \\tfrac{a_{1}+a_{3}}{2}\\) to najszybszy sposób na średni wyraz.

"}]}